Exemplo:
Matemática
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→IR, definida por y = f(x) = –––––, determine X.
Dada a função f: X→
x+1
Professora Joana D’ARC Ribeiro
Observe que a regra é uma divisão. Sabemos que não existe divisão por
zero. Logo, X = {x
Aula 19
∈ IR / x+ 1 ≠ 0}. Portanto, D(f) = X = {x ∈ IR/ x ≠ -
1}= IR-{-1}.
Estudo das funções
GRÁFICOS CARTESIANOS DE FUNÇÕES
→B, definida por f(x) = x + 2,
1) O gráfico a seguir representa a função f: A→
CONCEITO
Dados dois conjuntos não vazios, A e B, chamamos de função A em B (f:
A→B) toda relação de A em B, tal que para cada x∈A está associado um
único y∈B.
→B), sendo x um elemento de
Quando temos uma função de A em B (f: A→
A e y um elemento de B, dizemos que:
x e y são as variáveis da função;
x é denominada variável independente (livre);
y é denominada variável dependente;
y está em função de x e escrevemos: y = f(x)
sendo A = {0, 1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5, 7}.
2) A função f: IR → IR, definida por f(x)= x + 2, é representada pelo gráfico
a seguir:
DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM
Sejam A ={-2, -1, 0, 1, 2}, B= {-5, -3, -1, 1, 3, 4} e f uma função de A em
→B) definida por f(x) = 2x – 1. Assim, os pares ordenados de f são
B (f: A→
(-2, -5), (-1, -3), (0,-1), (1, 1) e (2, 3) e sua representação no diagrama de
flechas pode ser vista no quadro abaixo.
Nesta situação, o conjunto A recebe o nome de domíno da funcão, o conjunto B recebe o nome de contradomínio da função e escrevemos D(f) =
A e CD(f) = B. O subconjunto de B, cujos elementos estão associados aos
elementos de A, recebe o nome de conjunto-imagem da função ou simplesmente imagem da função. Assim, no exemplo dado, o conjunto-imagem é representado por IM(f) = {-5, -3, -1, 1, 3}. Dizemos ainda que a
cada elemento de A está associado um único elemento de B, denominado
imagem daquele elemento de A.
Observe que nos gráficos 1 e 2 a regra da função é a mesma, porém os
domínios e contradomínios são diferentes; por este motivo, a representação
gráfica é diferente.
ANÁLISE DE GRÁFICOS
Quando analisamos graficamente uma relação, é possível determinar se ela
é ou não uma função. Sendo uma função, podemos também, pelo gráfico,
identificar o domínio, a imagem, o(s) valor(es) para o(os) qual(is) a função é
nula, positiva ou negativa, entre outras propriedades que a caracterizam.
Observe a análise dos exemplos de gráficos a seguir:
Im(F)= {-5, -3, -1, 1, 3}
FUNÇÃO REAL DE VARIÁVEL REAL
Obs.: A função y = x, cujo gráfico é a bissetriz dos quadrantes ímpares, é
→B,
Será de grande interesse para a Matemática o estudo das funções f: A→
em que A ⊂ IR e B ⊂ IR. Tais funções são denominadas de funções reais
de variável real. É comum indicarmos estas funções apenas pela sua lei de
associação y = f(x), subentendo-se que o contradomínio é IR e o domínio
é subconjunto de IR.
denominada função identidade.
FUNÇÃO INJETORA, SOBREJETORA E BIJETORA
Injetora: Não há elemento em B que seja imagem de mais de um elemento
de A.
DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO REAL DE VARIÁVEL REAL
Sobrejetora: Todo elemento de B é imagem de pelo menos um elemento
Seja f uma função de X ⊂ IR em IR, dada pela sua lei de associação (ou
regra) y = f(x), em que X é o domínio de f. O problema que colocamos é
determinar X, isto é, dada uma função real de variável real pela sua regra y
= f(x), determine o seu domínio X.
de A, isto é, quando Im(f) = B.
Bijetora: Uma função é bijetora se ela é, simultaneamente, injetora e
sobrejetora.
Sejam as funções f, g e h, representadas a seguir:
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