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Ralph S. Silva
Séries Temporais
Lista de exercı́cios
Justifique suas respostas
1. Leia o arquivo “dados01.txt”
(a) Esboce o gráfico da série. O que você pode dizer sobre esta série temporal? Você diria que é estacionária? Apresenta alguma sazonalidade
ou tendência?
(b) Estime a função de autocorrelação até a defasagem 25 e esboce o gráfico
correspondente. Você consegue identificar alguma sazonalidade? Você
estimaria um modelo AR(1) ou MA(1) baseado nos resultados do
gráfico da função de autocorrelação? Por que? Qual seria o intervalo de confiança das autocorrelações para esses dados?
(c) Aplique a primeira diferença aos dados (zt = yt − yt−1 ) e esboce o
gráfico da série transformada. Que análise você faria desta série transformada? Sazonalidade? Tendência? Heterocedasticidade?
(d) Estime a função de autocorrelação de zt e faça as análises pertinentes.
(e) Qual modelo seria mais adequado para zt ? Um modelo AR(1) ou
MA(1)? Justifique sua resposta.
(f) Se você tivesse que estimar um modelo MA(q), qual valor de q seria o
mais indicado de acordo com gráfico da função de autocorrelação da
série transformada zt ?
(g) Conditional a primeira observação z1 , estime os parâmetros do modelo
zt = µ + φ(zt−1 − µ) + σεt por mı́nimos quadrados. Neste modelo
εt ∼ WN(0, 1). Que modelo é este? Você diria que a série temporal é
bastante persistente?
(h) Com o valor estimado de φ, φ̂, esboce o gráfico da função de autocorrelação teórica de um modelo AR(1) e compare com a função de
autocorrelação estimada de zt .
Ralph S. Silva
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2. Leia o arquivo “dados02.txt”
(a) Esboce o gráfico da série. O que você pode dizer sobre esta série temporal? Você diria que é estacionária? Apresenta alguma sazonalidade
ou tendência?
(b) Estime a função de autocorrelação até a defasagem 30 e esboce o gráfico
correspondente. Você consegue identificar alguma sazonalidade? Qual
seria o intervalo de confiança das autocorrelações para esses dados?
(c) Remova a tendência ajustando uma regressão polinomial de primeira
ordem. Esboce o gráfico da série transformada. Que análise você faria
desta série transformada? Sazonalidade? Alguma outra tendência?
Heterocedasticidade?
(d) Estime a função de autocorrelação de zt e faça as análises pertinentes.
Você confirma a presença de sazonalidade ou não? Se existir a sazonalidade, qual é o perı́odo da mesma?
(e) Qual é o próximo passo da decomposição clássica?
(f) Ajuste uma regressão com um único harmônico com perı́odo 10 e tome
os resı́duos como a nova série com a sazonalidade removida. Estime a
função de autocorrelação até a defasagem 20 e o intervalo de confiança
para essas autocorrelações. Esta nova série pode ser considerada iid
ou ruı́do branco?
(g) Se você tivesse que ajustar um modelo, você ajustaria um AR(1) ou
MA(1)? Justifique sua resposta.
(h) Dado que você não sabe estimar um modelo MA(1), como você poderia
estimar um modelo que aproximasse bem o modelo MA(1)?
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Ralph S. Silva
3. Seja {Xt } um processo médias móveis de ordem 2 dado por
Xt = εt + θεt−2
sendo εt ∼ WN(0, 1).
(a) Encontre a função de autocovariância e a função de autocorrelação
para este processo quando θ = 0, 8.
(b) Calcule a variância da média amostral (X1 + X2 + X3 + X4 )/4 quando
θ = 0, 8.
(c) Repita os itens (b) quando θ = −0, 8 e compare suas respostas com os
resultados obtidos em (b).
4. Seja {Xt } um processo autoregressivo de ordem 1 dado por
Xt = φXt−1 + εt
sendo εt ∼ WN(0, 1).
(a) Calcule a variância da média amostral (X1 + X2 + X3 + X4 )/4 quando
φ = 0, 9.
(b) Calcule a variância da média amostral (X1 + X2 + X3 + X4 )/4 quando
φ = −0, 9.
(c) Compare os resultados obtidos em (a) e (b).
5. Se {Xt } e {Yt } são sequências estacionárias não correlacionados, isto ,́ Xr e
Ys são não correlacionados para cada r e s, mostre que {Xt +Yt } é estacionŕio
com função de autocovariância equal a soma das funções de autovariâncias
de {Xt } e {Yt }.
6. Seja {εt } um ruı́do iid N(0,1) e defina
εt ,
se t é par;
√
Xt =
2
(εt − 1)/ 2, se t é ı́mpar.
Mostre que {Xt } ẂN(0,1) mas não é ruı́do iid(0,1).
7. Encontre a função de autocovariância da série temporal
Xt = εt + 0, 3εt−1 − 0, 4εt−2 ,
sendo εt ∼ WN(0, 1).