DESAFIO – OLIMPÍADAS DE MATEMÁTICA
PULLIG
Problema 01
Considere a função f : A  A c om A = ¡ – { 1 } , dada por
f(x)=
x +1
. Então:
x −1
Problema 03
a) Se A = {1,2} e B = {3,4,5,6}, quantas funções injetivas
existem de A em B?
a) Calcule f(f(x)), ∀x ∈ Α
b) Se A tem n elementos e B tem m elementos (n < m),
quantas funções injetivas existem de A em B?
b) Interprete o resultado encontrado em a).
Problema 04
c) Calcule f1981(x), onde f1981 = f o f o...o f
14243
Os lados de um triângulo medem 3, 7 e 8, respectivamente.
Mostre que os ângulos deste triângulo, medidos em graus,
estão em progressão aritmética.
1981 vezes
Problema 02
Considere o polígono estrelado de 5 (cinco) pontas, conforme
a figura.
a) Encontre a soma dos ângulos internos do polígono da
figura;
Problema 05
Na figura, o cubo sólido tem aresta de 3 m. No centro de todas
as faces foram feitas aberturas em forma quadrada de lado
igual a 1 m até a face oposta e retiradas estas partes. Calcule
o volume do corpo que restou após a retirada de todas as
partes.
b) Deduza a expressão da soma dos ângulos internos de um
polígono estrelado (construído de forma análoga ao
polígono da figura) com n pontas.
PULLIG
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Problema 06
Problema 09
Sobre o fundo horizontal de um vaso cilíndrico circular reto,
contendo água, coloca-se uma esfera (sólida) de raio R com a
propriedade de que a superfície superior do líquido fique
tangente à esfera. Deseja-se que o mesmo aconteça se, em
vez da esfera de raio R for colocada, outra esfera de raio
m ⋅ R. Calcule o raio x do cilindro e a variação dos valores de
m para os quais a situação é realizável.
Num triângulo ABC, seus lados de comprimentos a , b e c
satisfazem a igualdade ( a + b + c )( a + b – c ) = 3 ab .
Determine a medida, em graus, do ângulo oposto ao lado de
comprimento c.
Problema 07
Problema 10
Moram com Paulo seu pai, sua esposa, seu filho e sua filha.
Um recenseador ao chegar à casa de Paulo perguntou: ‘Qual
a idade das pessoas que moram aqui?’. Paulo respondeu:
“Todas as nossas idades, exceto a idade de meu pai que é um
número primo, são quadrados perfeitos. Minha idade é a soma
das idades de minha esposa, minha filha e meu filho. A idade
de meu pai é a soma da minha idade com a idade de minha
esposa e minha filha”. Ajude o recenseador a determinar as
idades das pessoas que moram na casa de Paulo.
OBS: Suponha que nenhuma das pessoas envolvidas tenha
mais que 120 anos.
a) Uma "gang" tem infinitos bandidos, e cada um desses
meliantes tem um único inimigo no interior da "gang", que
ele quer matar. Prove que é possível reunir uma
quantidade infinita de bandidos desta "gang" sem que haja
o risco de que um bandido mate um outro durante a
reunião.
b) Se cada bandido tiver um número finito, mas indefinido, de
inimigos (um bandido pode ter 2 inimigos, um outro
somente 1, um terceiro pode ter 20 e assim por diante),
será possível promover uma reunião com infinitos
"gangsters" sem risco de derramamento de sangue?
Problema 08
Determine o algarismo final do número S = 1 + 2 + 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + n,
3
3
3
3
sabendo-se que o último algarismo de S´ = 1 + 2 + 3 ⋅ ⋅ ⋅ + n
é igual a 1.
PULLIG
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