Resolução das atividades complementares
Matemática
1
M2 — Trigonometria nos triângulos
p. 42
ˆ mede 60°. Qual é a medida
1 A hipotenusa BC de um triângulo retângulo mede 30 cm e o ângulo ABC
dos catetos? 15 cm; 15 3 cm
Resolução:
B
60o
30 cm
y
30o
A
x
C
AC
x
3
x
sen Bˆ 5
→ sen 60° 5
→
5
→ x 5 15 3 cm
BC
30
2
30
y
y
AB
1
sen Cˆ 5
→ sen 30° 5
→
5
→ y 5 15 cm
BC
30
2
30
Os catetos medem 15 cm e 15 3 cm.
2 Um avião se aproxima de um aeroporto A, em linha reta. Ao atingir um ponto B,
o piloto é avisado de que deve alterar sua rota para aterrissar em um outro aeroporto,
C, distante 60 km de A.
Um mapa indica que a reta que liga A a C é perpendicular à
trajetória que o avião percorria, e o piloto verifica que deve
fazer um giro de 60° com o avião. Qual distância o avião
deverá percorrer para chegar a C? 40 3 km
Resolução:
C.E.: x é a distância que o avião deverá percorrer para chegar a C.
x
AC
3
60
→
5
→ x 5 40 3
BC
2
x
Portanto, a distância é 40 3 km.
sen 60° 5
3 Um prédio foi construído de forma que sua porta de entrada está
1,20 m acima do nível da calçada. O arquiteto projetou uma rampa que
ligará a calçada à porta de entrada do prédio e terá uma inclinação de
30° com a horizontal. Qual é o comprimento dessa rampa? 2,40 m
Resolução:
Fazendo x o comprimento da rampa, vem:
1,20
1,20
1
sen 30° 5
→
5
→ x 5 2,40
x
2
x
O comprimento da rampa é 2,40 m.
4 Um barco navega em um rio, segundo uma
linha reta PQ, distante 20 m de uma das margens.
Ao atingir um ponto A, o piloto faz um giro de 120°
para a direita do movimento do barco e se dirige,
em linha reta, para um ponto B da margem. Calcule
a distância que separa A de B. 40 3
m
3
Resolução:
Esquematizando o problema, temos:
B
x
20 m
120o
60o
Q
A
C
P
O triângulo ABC é retângulo; portanto:
20
3
3
5
→ x 5 40
x
2
3
3
Logo, a distância entre A e B é 40
m.
3
sen 60° 5
5 Um homem viaja de ônibus em uma estrada
com um longo trecho MN em linha reta ao lado de
um campo. Ao passar por um ponto A, ele avista uma
casa C, de modo que o ângulo CÂN mede 60°. Após
percorrer 600 m, ele está em um ponto E e vê a casa
de forma que CÊN mede 135°. Calcule a distância
que a casa está da estrada. (Se necessário, use
2 5 1, 41 e 3 5 1, 73.)  380,22 m
Resolução:
CÊN é um ângulo externo do triângulo; portanto, o ângulo interno mede 45°.
C
Seja x a distância entre a casa e a estrada.
Os triângulos ACD e CDE são retângulos, então:
x
no triângulo ACD, temos tg 60° 5
5 3, e
y
x
no triângulo CDE, temos tg 45° 5
5 1.
600 2 y
x
135o
45o
60o
M
A
y
D
600 � y
E
N
x 5 y 3
(II)
Das duas equações, obtemos o sistema: 
(II)
 x 5 600 2 y
Isolando y em (II), temos: y 5 600 2 x.
Substituindo y em (I) e considerando 3 5 1,73, vem:
x 5 (600 2 x) 3 → x 5 1 038 2 1,73x → 2,73x 5 1 038 → x  380,22 m
6 Uma torre de transmissão de energia elétrica está
localizada em um terreno plano. Uma pessoa em um ponto X
a avista sob um ângulo de 60°. Ao se afastar, segundo uma linha
reta que liga a torre ao ponto X, essa pessoa percebe que, após
percorrer 20 m, avista a torre segundo um ângulo de 30°.
Qual é a altura da torre? 10 3 m
Resolução:
A
h
60o
B
a
30o
X
20 m
Y
Os triângulos ABX e ABY são retângulos em B.
h .
No triângulo ABX, temos tg 60° 5 3 5 h , e no triângulo ABY, temos tg 30° 5 3 5
a
3
a 1 20

h 3
(I)
a 5
Com as duas equações, obtemos o sistema: 
3
 3 (a 1 20) 5 3h
(II)
Substituindo (I) em (II), temos:
h 3

3h 1 60 3
3 ?
1 20 5 3h → 3h 1 20 3 5 3h →
5 9h → 6h 5 60 3 → h 5 10 3 m
3
3
3
3
7 Em um triângulo retângulo ABC, de hipotenusa AC, prolonga-se o cateto BC até um ponto D tal que
ˆ ) 5 30°. Calcule a medida de CD, sabendo que o ângulo  do triângulo mede
C está entre B e D e med (BDA
30° e AB 5 50 3 . 100
Resolução:
Esquematizando o problema, temos:
A
30o
50 3
30o
B
y
C
x
D
O triângulo ABC é retângulo, então:
y
tg 30° 5 3 5
→ y 5 50
3
50 3
O triângulo ABD também é retângulo, portanto:
50 3
50 3
tg 30° 5 3 5
5
→ (50 1 x) 3 5 150 3 → x 5 100
3
y1x
50 1 x
Logo, CD 5 100.
8 Uma praça tem forma triangular e é delimitada pelas
ruas Acre, Pará e Amazonas. Deseja-se abrir uma passagem para
ciclistas ligando a rua Amazonas à rua Pará, perpendicularmente
à rua Amazonas. Qual deverá ser a largura dessa passagem para
que a abertura d (ver figura) na rua Pará tenha no mínimo 2 m?
(Se necessário, use 3 5 1, 71.) no mínimo 1,71 m
Resolução:
Seja EC // x.
x A
30o
30o
B
E
D
C
2m
No triângulo DEC, Cˆ 5 30°, Eˆ 5 90° e EC 5 x, então:
cos 30° 5 3 5 x → x 5 3 5 1,71 m
2
2
Ou seja, a largura mínima é 1,71 m.
p. 48
9 Os lados de um triângulo medem 6 cm, 8 cm e 12 cm. Calcule o cosseno do maior ângulo interno
desse triângulo. 2 11
24
Resolução:
Ao maior lado opõe-se o maior ângulo; portanto, Â é o maior ângulo.
A
8 cm
x
6 cm
C
12 cm
B
Aplicando a lei dos cossenos, temos:
122 5 62 1 82 2 2 ? 6 ? 8 ? cos x
144 5 36 1 64 2 96 cos x
cos x 5 2 44 5 2 11
96
24
1
10 Calcule o cosseno do maior ângulo de um triângulo de lados 12 cm, 15 cm e 18 cm. 8
Resolução:
Ao maior lado opõe-se o maior ângulo; portanto, Â é o maior ângulo.
A
15 cm
x
12 cm
C
18 cm
B
Aplicando a lei dos cossenos, temos:
182 5 122 1 152 2 2 ? 12 ? 15 ? cos x
324 5 144 1 225 2 360 cos x
245 5 2360 cos x
cos x 5 45 → cos x 5 1
360
8
11 Os lados menores de um paralelogramo medem 3 cm e sua diagonal menor mede 13 cm.
Determine a medida dos lados maiores, sabendo que o menor ângulo desse paralelogramo mede 60°. 4 cm
Resolução:
Esquematizando o problema, temos:
x
A
3 cm
B
3 cm
13 cm
60
o
D
x
C
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ADC, temos:
( 13 )2 5 32 1 x 2 2 2 ? 3 ? x ? cos 60°
13 5 9 1 x 2 2 6x ? 1 → x 2 2 3x 2 4 5 0 → (x 2 4) ? (x 1 1) 5 0 → x 521 (não convém) e x 5 4
2
Portanto, a medida dos lados maiores é 4 cm.
12 Em um ABC tem-se AC 5 4 cm, BC 5 3 cm e o ângulo  medindo 30°. O seno do ângulo B̂ vale:
a) 1 2
b) 2 3
2 2
d) 3
4
e) 3
4
c)
Resolução:
Esquematizando o problema, temos:
A
30o
B
Pela lei dos senos, temos:
3
5 4 → 3 5 4 → sen B 5 2
sen 30°
sen B
1
sen B
3
2
4 cm
3 cm
C
13 A área de um paralelogramo ABCD é 30 3 m2. O lado AB mede 6 m e forma com AD um ângulo de 30°.
Calcule a medida de AD. 10 3 m
Resolução:
Esquematizando o problema, temos:
B
C
6m
30o
A
x
D
área do paralelogramo 5 30 3 m2
Os triângulos ABD e BDC são congruentes pelo caso LLL; logo, a área do triângulo ABD 515 3 m2.
6?x? 1
6 ? x ? sen 30°
2 5 15 3 → x 5 10 3 m
S5
5 15 3 →
2
2
Logo, AD 5 10 3 m.
14 A figura mostra os pontos A e B, um em cada margem de
um rio, que deverão ser ligados por uma ponte. Para determinar
o comprimento da ponte, um engenheiro marcou um ponto C, na
ˆ , obtendo 64º
ˆ e BCA
mesma margem de A, e mediu os ângulos BAC
e 50º, respectivamente. Mediu também a distância AC, obtendo 14 m.
Determine qual é a medida de AB, usando as seguintes aproximações:
sen 50º 5 0,77; sen 64º 5 0,90; e sen 66° 5 0,91. 11,85 m
Resolução:
Esquematizando o problema, temos:
B
x
64°
A
50°
14 m
C
A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°; portanto, B 5 180° 2 64° 2 50° 5 66°.
Pela lei dos senos, temos:
14
x
5
→ 14 5 x → x 5 11,85
sen 66°
sen 50°
0,91
0,77
Portanto, AD mede 11,85 m.
15 Na figura, AC 5 2 cm, AB 5 2 2 cm e med (Aˆ ) 5 45°.
Calcule a área do ABC. 2 cm2
Resolução:
C
2 cm
45°
A
2 2 cm
B
4 2 ? 2
2 ? 2 2 ? sen 45°
2 52
S ABC 5
→ S ABC 5
2
2
A área do ABC é 2 cm2.