geometria e medidas O experimento Experimento Qual é o cone com maior volume? Objetivos da unidade 1. Dado um círculo de cartolina, investigar qual seria o cone com maior volume que se poderia montar; 2. Explorar a maximização e minimização de funções. licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons Secretaria de Educação a Distância Ministério da Ciência e Tecnologia Ministério da Educação O experimento Qual é o cone com maior volume? Sinopse Reunidos em grupos, os alunos construirão seis cones diferentes usando o mesmo material inicial (um círculo de cartolina com 8 cm de raio) e tentarão organizá-los em ordem de volume. Feito isso, calcularão seus volumes a partir de suas medidas e tentarão descobrir como o cone deveria ser montado para que se obtivesse o maior volume possível. Conteúdos Geometria Espacial – Aplicação: Problema de Otimização. Objetivos 1. Dado um círculo de cartolina, investigar qual seria o cone com maior volume que se poderia montar; 2. Explorar a maximização e minimização de funções. Duração Uma aula dupla. Material relacionado Experimento: Caixa de Papel; Experimento: Qual é o prisma de maior volume? Introdução A otimização de embalagens, peças e recipientes é um processo frequente em indústrias de maneira geral. Normalmente, o que se quer é obter o maior volume consumindo uma quantidade fixa de material ou obter um certo volume usando a menor quantidade de material possível. Nesse experimento faremos algo parecido. Com um certo material inicial, círculos de cartolina, os alunos vão construir vários cones e, a partir deles e de algumas análises, poderão, experimentalmente, levantar hipóteses de como o sólido deveria ser construído para que tivesse o maior volume possível. Qual é o cone com maior volume? O Experimento 2/9 O Experimento O problema Material necessário Cartolina; Compasso; Régua; Tesoura; Transferidor; Fita adesiva. ºº Sugerimos o uso de calculadora. Dado um círculo de cartolina, é possível construir cones recortando-se fatias com vértices no centro do círculo (chamadas setores circulares de ângulo θ),×conforme V mostram as figuras 2 e 3. Qual a medida do ângulo θ,× para V que o volume do cone construído seja o maior possível. Θ fig. 2 fig. 1 fig. 3 Qual é o cone com maior volume? O Experimento 3 / 9 Neste experimento, os alunos tentarão solucionar esse problema trabalhando em grupos. Haverá duas etapas: Na primeira, estão envolvidas a cons trução de alguns cones e a organização aproximada de seus volumes, segundo a intuição do grupo que os construíram. Já na segunda etapa, os alunos calcularão os volumes dos cones a partir de suas medidas e levantarão hipóteses sobre o ângulo da fatia que deveria ser retirada para que ele tivesse o maior volume possível. etapa Construção dos cones Divida a classe em grupos e dê uma cartolina para cada um. O ideal é que se construam pelo menos 6 cones por grupo e, por isso, sugerimos que eles sejam compostos por 3 pessoas, ficando cada aluno encarregado da montagem de 2 cones. Oriente seus alunos a realizarem os seguintes procedimentos: Em uma cartolina, traçar 6 circunferências com raio de 8 cm, marcando os centros, e depois recortar os círculos correspondentes; Em cada círculo, desenhar uma fatia com vértice no centro, anotar o seu ângulo 1 no setor circular restante e recortá-la, como na figura 2. Fazer fatias com ângulos diferentes em cada círculo; Agora, com cada setor circular restante (os que estão sem as fatias), montar um cone, como na figura 3. Os alunos precisarão de uma fita adesiva. Incentive os alunos a fazerem fatias de ângulos variados. Quanto mais dados diferentes eles tiverem, melhor será o gráfico que vocês farão no Fechamento deste Experimento. Feito isso, peça aos alunos de cada grupo para que, intuitivamente, organizem os cones em ordem decrescente de volume, numerando-os de 1 a 6. Essa numeração será usada na tabela da etapa seguinte. 1 !! Professor, o ângulo da fatia a ser retirada para que o cone tenha o maior volume possível é, aproxi madamente, 66◦ . Por isso, incentive alguns grupos a fazer algumas fatias com ângulos próximos desse. Qual é o cone com maior volume? 4 2 3 5 6 fig. 4 O Experimento 4 / 9 etapa Cálculo dos volumes !! 2 O zero da régua não coincide com seu início. Para evitar erros, peça a seus alunos para que façam a medida com cuidado. Nessa etapa, os alunos deverão calcular os volumes dos cones construídos. Como VCone = 1 3 fig. 6 Medição da altura do cone. × ABase × H, onde ABase é a área da base do cone e H sua altura, eles terão que medir, de maneira aproximada, o raio da base e a altura de cada cone. Uma maneira de fazer essas medidas está mostrada nas figuras a seguir. Explique essa maneira de medir os raios e alturas, e depois peça para que preencham uma tabela como a seguinte: Cone Ângulo Altura Raio Volume da fatia 1 !! Professor, certifique-se de que seus alunos estão dividindo o diâmetro por dois para encontrar o raio. 2 ºº Professor, alerte os alunos a tomar cuidado para não deformar os cones na hora de coletar esses dados. 3 4 5 6 fig. 5 Medição do diâmetro da base do cone. tabela 1 Será utilizada para o registro dos dados dos cones. Depois que os alunos preencherem suas tabelas, cada grupo saberá exatamente qual foi o cone de maior volume que construiu. Contudo, eles podem não ter concluído qual o melhor (maior em volume) cone entre todos Qual é o cone com maior volume? O Experimento 5 / 9 os que podem ser construídos pelo método utilizado. Isso será feito no Fechamento deste Experimento. Antes de ir para o Fechamento, pergunte se eles sabem como calcular o ângulo que a fatia retirada deveria ter para conseguir maximizar o volume do cone. Observe se alguns alunos conseguem pensar em maximização de função. Fechamento Depois que os grupos concluírem o preenchi mento das tabelas, faça um gráfico na lousa do volume do cone em função do ângulo da fatia retirada (θ × V ), socializando os dados experimentais dos diversos grupos da classe. Ele deverá ter aproximadamente a seguinte forma: ºº Professor, para fazer esse gráfico, existem alguns ângulos que são mais interessantes que outros. Utilize sua habilidade para coletar da classe esses valores que fazem o gráfico tomar sua forma (veja figura 9). fig. 7 Este gráfico sugere que o volume do cone é máximo quando o ângulo da fatia retirada está entre 55◦ e 75◦. Modelagem do problema Para compreendermos como o volume varia em função do ângulo da fatia retirada, vamos estabelecer uma expressão precisa. Para isto será necessário : Qual é o cone com maior volume? O Experimento 6 / 9 º Lembre se que em nosso experimento R = 8 cm . 1. Escrever o raio da base do cone formado em função de θ:× V H Pelas figuras 2 e 3, vemos que o comprimento do setor circular sem a fatia é igual ao comprimento da circunferência da base do cone. Assim, sendo R o raio do setor circular e r o raio da base do cone, temos: 2πR =⇒ 360 2πr =⇒ 360 − θ 360 − θ R· 2πR = 2πr 360 360 360− −θθ rr = = RR·· 360 360 R r ! 360 − θ Note que é um 360 número menor do que 1, que corresponde à porção do disco utilizado para o cone em relação ao disco total. 2. Escrever a altura do cone formado em função de θ:× V Analisando a figura 8, vemos que os segmentos que representam a altura, o raio da base e a geratriz do cone formam um triângulo retângulo. Desse modo, lembrando que a geratriz tem comprimento R, temos, pelo Teorema de Pitágoras: Qual é o cone com maior volume? fig. 8 R2 = r2 + H2 H2 = R 2 − r 2 H2 = R 2 − R2 · H2 = R2 · H = R· 360 − θ 2 360 2 1− 360−θ 360 360 − θ 1− 360 2 3. Finalmente expressar o volume do cone formado em função de θ:× V VCone = 1 3 · ABase · H VCone = 1 3 · π · r2 · H O Experimento 7/9 VCone (θ) = 1 3 VCone (θ) = πR3 · πR2 3 360 − θ 360 360 − θ · 360 2 360 − θ 2 · R· 1− 360 2 360 − θ 2 · 1− 360 Desse modo, encontramos a função que relaciona o volume do cone com o ângulo da fatia retirada do círculo inicial. Ela permitirá calcular o volume para qualquer valor de e poderá ser usada para verificar todos θ× V os cálculos de volume efetuados com as medidas experimentais. Peça aos alunos que escolham um dos cones para fazer essa verificação. Plotando o gráfico dessa função, obtemos a curva abaixo: º No aNEXO é fornecido um eixo cartesiano já em uma escala compatível com os valores deste experimento. Os grupos podem utilizála para construírem o gráfico ao lado. ��� ��� �� � �° ��° ���° ���° ���° ���° do ângulo θ × essa V função tem um ponto de máximo. No entanto, você pode propor um desafio: Questão para os alunos Quem consegue obter o valor do ângulo que a fatia deve ter para que o cone tenha o maior volume possível? Para tanto os alunos deverão observar o gráfico e testar valores para θ,× com V ajuda de uma calculadora. A solução é θ ≈ 66, 06◦ e V ≈ 206, 37 cm3 . Porém, é interessante que você comente com eles sobre a existência de métodos para esse tipo de cálculo. Aproveite a oportunidade para incentivá-los a seguir os estudos num curso superior. º Professor, a explicação algébrica de como calcular os 66◦ encontrase no Guia DO PrOfESSOr. Se achar interessante, dê uma olhada! ���° fig. 9 Como esta função não é do segundo grau, seus alunos provavelmente não saberão como calcular exatamente para qual valor Qual é o cone com maior volume? O Experimento 8/9 Ficha técnica Autor Sueli Irene R. Costa Projeto gráfico Preface Design Coordenação de Redação Rita Santos Guimarães Ilustrador Lucas Ogasawara de Oliveira Redação Felipe Mascagna Bittencourt Lima Fotógrafo Augusto Fidalgo Yamamoto Revisores Matemática Antônio Carlos Patrocínio Língua Portuguesa Carolina Bonturi Pedagogia Ângela Soligo Universidade Estadual de Campinas Reitor José Tadeu Jorge Vice-Reitor Fernando Ferreira da Costa Grupo Gestor de Projetos Educacionais (ggpe – unicamp) Coordenador Fernando Arantes Gerente Executiva Miriam C. C. de Oliveira Matemática Multimídia Coordenador Geral Samuel Rocha de Oliveira Coordenador de Experimentos Leonardo Barichello Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp) Diretor Jayme Vaz Jr. Vice-Diretor Edmundo Capelas de Oliveira Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons Secretaria de Educação a Distância Ministério da Ciência e Tecnologia Ministério da Educação
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