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Aula 8
6.2.4 Momento de uma Força em Relação a um Eixo
6.2.5 Momentos Axiais Coordenados
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6.2.4 Momento de uma Força em Relação a um Eixo (Momento Axial)
F
a
ua
F1
u a : vetor unitário
F1 : componente paralela
ao eixo a-a
Fe : componente eficaz.
Está contida no plano π.
Ma
Fe
d
Módulo de M a :
π
Ma = Fe . d
a
Vetorialmente, também podemos colocar uma equação que representa o momento axial,
Ma, acima
como:
a
b
O momento em O é calculado
Mo = r × F
θ
O momento axial que atua no
eixo a-a é a projeção de Mo sobre este
eixo, e o seu módulo pode ser calculado
como:
M1
0
b
onde ua é um vetor de módulo unitário.
Logo, pela definição de produto escalar entre dois
vetores, ou seja:
vem que
M a = ua • M o
A
r
Ma = Mo cos θ
= ua Mo cos θ
u • v = uv cos θ
F
Ma
Mo
u
θ
v
a
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Logo,
(
M a = ua • r × F
)
Em álgebra vetorial, esta combinação de produto escalar e vetorial, produzindo o escalar
Ma, é chamada de Produto Misto de três vetores.
Em componentes cartesianas:
i
j
k
M a = u ax i + u ay j + u az k • rx
ry
rz
Fx
Fy
Fz
(
)
ou, finalmente:
u ax
u ay
u az
M a = u a • r × F = rx
Fx
ry
Fy
rz
Fz
(
)
onde a primeira linha da matriz é composta pelas componentes do vetor unitário que define a
direção do eixo a-a; a segunda linha são as componentes do vetor posição, traçado de qualquer
ponto O do eixo a-a até qualquer ponto A da linha de ação da força; a última linha é composta
pelas componentes do vetor força.
Analisando os resultados encontrados acima, podemos concluir que o vetor posição
poderá ser traçado de qualquer posição sobre o eixo a-a até a força, produzindo sempre o mesmo
resultado, ou seja, o momento axial Ma. A seguir, demonstra-se esta afirmação:
Se, ao contrário, supormos que ao adotar vetores
posição diferentes teremos momentos axiais
diferentes, então estes momentos segundo
a figura ao lado seriam calculados como:
(
M a = ua • r × F
)
(
M a '= u a • r '
×F
)
a
ua
O
r
F
Ainda, podemos verificar que
→
r'
O’
r '= O 'O + r
a
possibilitando-nos escrever que
M a '= u a •
→
O'O + r × F
ou seja:
→
[
M a '= u a • O 'O× F + u a • r × F
]
donde tiramos que Ma’ = Ma, o que rejeita a suposição e confirma a afirmação feita, afinal, a
primeira parcela da soma anterior é sempre nula. Isto decorre porque o produto vetorial de dois
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vetores é um vetor perpendicular a eles e o produto escalar de dois vetores perpendiculares é
zero.
6.2.5 Momentos Axiais Coordenados
Os momentos axiais coordenados são os momentos da força, F, em relação aos eixos x, y e
z, ou seja, são as componentes ortogonais cartesianas do momento Mo.
z
Mo = r × F
r
M zk
F
M o = M xi + M y j + M z k
Mo
γ
β
O
y
My j
α
x
M xi
Ainda, observa-se que:
(
)
M x = i • r × F = i • M o = M o cos α = 1.M x + 0.M y + 0.M z
M y = j • M o = M o cos β
M z = k • M o = M o cos γ
Além disso, conhecidos os três momentos axiais coordenados, tem-se diretamente o momento
polar e vice-versa.