Instituto Superior Politécnico Gaya
Escola Superior de Ciência e Tecnologia
Engenharia Informática
Engenharia Electrónica e de Automação
Engenharia das Telecomunicações e Computadores
Matemática I
Ficha de exercícios 5: Transformações lineares
1. Mostre que a transformação F : ℝ 3 → ℝ definida por F ( x, y, z ) = 2 x − 3 y + 4 z é
linear.
2. Mostre que a transformação F : ℝ 2 → ℝ 3 definida por F ( x, y ) = ( x + 1, 2 y, x + y )
não é linear.
3. Seja V o espaço vectorial das matrizes quadradas n × n sobre K. Seja M uma matriz
arbitrária de V. Seja T : V → V definida por T ( A) = AM + MA , onde A ∈ V .
Mostre que T é linear.
4. Seja T : ℝ 2 → ℝ 2 a transformação linear para a qual T (1, 2) = (2,3) e
T (0,1) = (1, 4) . Encontre a expressão geral de T, ou seja, T (a, b) .
5.1 Seja T : ℝ5 → ℝ 3 a transformação linear definida por
T ( x, y , z, s, t ) = ( x + 2 y + z − 3s + 4t , 2 x + 5 y + 4 z − 5s + 5t , x + 4 y + 5 z − s − 2t ) .
Encontre uma base e a dimensão da imagem de T.
5.2 Encontre o núcleo de T.
6. Seja G : ℝ 3 → ℝ 3 a transformação linear definida por
G ( x, y, z ) = ( x + 2 y − z, y + z, x + y − 2 z ) . Encontre uma base e a dimensão do
núcleo de G.
7. Consideremos os vectores do plano e uma base ortonormada. Seja T uma rotação
dos vectores do plano em torno da origem, no sentido directo de um ângulo de θ .
7.1 Mostre que T é uma transformação linear e encontre a matriz que a representa.
7.2 Considere uma rotação U de uma ângulo de ϕ . Calcule U ⋅ T e T ⋅ U .
8. Considere a transformação linear T : ℝ 4 → ℝ3 à qual está associada a matriz
1 2 3 1 
A = 1 3 5 −2  . Encontre uma base e a dimensão de:


3 8 13 −3
8.1 A imagem de A.
8.2 O núcleo de A.
8.3 A transformação é ou não degenerada? Justifique.
9. Considere o espaço ℝ 3 e uma base ortonormada. Seja T a transformação linear que
a cada x ∈ ℝ 3 faz corresponder o vector T ( x ) cuja extremidade é simétrica da
extremidade de x em relação ao plano xoy .
Calcule a matriz associada à transformação e mostre que T é não degenerada.
Matemática I: Transformações lineares
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10. Seja Pn o espaço vectorial dos polinómios de grau menor ou igual a n, sobre ℝ .
Seja D a transformação que a cada p( x) ∈ Pn faz corresponder a sua derivada
p′( x) ∈ Pn . Considere a base e0 = 1 , e1 = x , e2 = x 2 / 2! , ... , en = x n / n !.
Mostre que D é uma transformação linear encontrando a matriz associada e
verifique se D é degenerada.
11. Considere a transformação linear P : ℝ 3 → ℝ 3 à qual está associada a matriz
1 2 5
B =  3 5 13  . Encontre uma base e a dimensão de:


 −2 −1 −4 
11.1
O núcleo de B.
11.2
A imagem de B.
12. Encontre uma transformação linear F : ℝ 3 → ℝ 4 cuja imagem é gerada pela
base {(1, 2, 0, −4); (2, 0, −1, −3)}
1 2 
13. Seja V o espaço vectorial das matrizes de 2 × 2 sobre ℝ e seja M = 
.
0 3
Seja ainda F : V → V a transformação linear definida por F ( A) = AM − MA .
Encontre uma base e a dimensão do núcleo de F.
14. Considere a transformação T : ℝ3 → ℝ 2 tal que T ( x, y , z ) = ( x + y , y − z ) .
Considere as bases u1 = (1,1, 0) , u2 = (1, 0,1) e u3 = (0,1,1) e v1 = (1, −1) ,
v2 = (1,1) , respectivamente, do conjunto de partida e chegada.
14.1
Calcule a matriz A associada à transformação.
14.2
Considere as bases canónicas de do espaço e do plano e determine a
matriz associada à transformação A′ para as novas bases.
14.3
Sem cálculos explique o motivo desta aplicação ser degenerada.
15. Seja P5 o espaço vectorial dos polinómios de grau menor ou igual a 5, sobre ℝ .
Seja D a transformação indicada no problema 10 com a respectiva base.
Considere ainda uma nova base: e0′ = 1 , e1′ = x , e2′ = x 2 , e3′ = x 3 , e4′ = x 4 e
e5′ = x 5 . Encontre a matriz mudança de base e a matriz associada à nova base à
custa da matriz associada à base antiga.
16. Considere em ℝ 2 a transformação T ( x1 , x2 ) = ( x2 , x1 ) . Encontre os valores
próprios e os vectores próprios. Diga qual a sua dimensão.
17. Seja IF o espaço vectorial das funções reais de variável real com derivadas de
todas as ordens em ℝ . Considere a transformação linear D que a cada
f ( x ) ∈ IF associa a respectiva função derivada D [ f ( x )] = f ′( x ) . Encontre os
valores próprios e os vectores próprios que lhes estão associados.
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18. Considere os espaço vectorial de ℝ 3 sobre ℝ e a transformação
T ( x, y , z ) = ( x + y, x + z , y + z ) .
18.1
Considerando a base canónica calcule os valores próprios e respectivos
vectores próprios.
18.2
Considere a base u1 = (1,1,1) , u2 = (1,1, 0) , u3 = (1, 0, 0) e calcule de novo
os valores próprios e vectores próprios.
 1 6 −2 
19. Considere a transformação à qual está associada a matriz A =  −3 2 0  .
 0 3 −4 
19.1
Calcule o polinómio característico e encontre as suas raízes.
19.2
Calcule os vectores próprios e diga qual a sua dimensão.
19.3
Calcule o núcleo da transformação.
19.4
Encontre uma base para as imagens da transformação e diga qual a sua
dimensão.
19.5
A partir da matriz A obtenha a expressão da transformação linear na
forma de expressão analítica.
 −3 1 −1
20. A matriz B =  −1 0 2  representa uma transformação linear.
 0 1 1 
20.1
Determine o polinómio característico e suas raízes.
20.2
Calcule os vectores próprios e refira a sua dimensão.
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