Processos Estocásticos
Quinta Lista de Exercı́cios
12 de fevereiro de 2014
1 Suponha que um organismo unicelular pode estar somente em dois estágios distintos A ou B. Um indivı́duo
no estágio A passa para o estágio B com uma taxa exponencial α. Um indivı́duo no estágio B se divide
em dois novos indivı́duos de tipo A com uma taxa exponencial β. Defina uma CTMC apropriada para a
população desses organismos e determine os parâmetros para esse modelo (tempo gasto em cada estado e
probabilidades de transição).
2 Considere duas máquinas que são reparadas por um único técnico. A máquina i funciona por um tempo
exponencial com taxa λi antes de quebrar (com i = 1, 2). Os tempos de reparo (para quaisquer das duas
máquinas) são exponenciais com taxa µ. É possı́vel analisar esse sistema como um PNM? Se sim, quais são
os parâmetros? Se não, seria possı́vel analisá-lo?
3 Considere um PNM com taxas de chegadas λi = (i + 1)λ e taxas de saı́da µi = iµ, i ≥ 0.
a. Determine o tempo esperado para se sair do estado 0 e chegar no estado 4.
b. Determine o tempo esperado para se sair do estado 2 e chegar no estado 5.
4 Assume-se que cada indivı́duo de uma população procria com uma taxa exponencial λ e morre com uma taxa
exponencial µ. Além disso, há uma taxa exponencial θ de crescimento da população devido à imigração.
No entanto, a imigração não é permitida se o tamanho da população é maior ou igual a N . Modele essa
situação como um PNM.
5 Uma pequena barbearia, operada por um único barbeiro, pode acomodar no máximo dois clientes ao mesmo
tempo. Clientes em potencial chegam com uma taxa de Poisson de 3 por hora e os tempos de serviço são
VAs exponenciais independentes com média de 1/4 hora.
a. Qual é o número médio de clientes na barbearia?
b. Qual é a proporção de clientes em potencial que entram na loja?
6 Um centro de atendimento é composto por dois servidores, cada um trabalhando com uma taxa exponencial
de dois serviços por hora. Clientes chegam com uma taxa de Poisson de três por hora. Assuma que a
capacidade do centro é de no máximo três clientes.
a. Que fração dos clientes em potencial entram no sistema?
b. Qual seria o valor do item anterior se houvesse somente um servidor no sistema com uma taxa duas
vezes mais rápida, isto é, µ = 4?
7 Considere um ponto de taxi onde taxis e clientes chegam de acordo com processos de Poisson com respectivas taxas de um e dois por minuto. Um taxi fica sempre em espera, independente do número de taxis já
parados no ponto. Entretanto, um cliente que chega e não encontra um taxi disponı́vel vai embora, isto é,
não existe uma fila de espera de clientes.
a. Calcule o número médio de taxis esperando.
b. A proporção de clientes que chegam e conseguem um taxi.
8 Para uma fila M/M/1, calcule
a. o número esperado de chegadas durante um perı́odo de serviço; e
1
b. a probabilidade de que nenhum cliente chegue durante um perı́odo de serviço.
9 As máquinas de uma fábrica quebram com uma taxa exponencial de 6 por hora. A fábrica emprega apenas
um técnico que conserta as máquinas com uma taxa exponencial de 8 por hora. O custo causado pela
produção perdida quando há máquinas com defeito é de $10 por hora por máquina. Qual é o custo médio
causado por máquinas defeituosas?
10 Considere um sistema M/M/1 onde clientes chegam com taxa λ e são servidos com taxa µ. No entanto,
assuma que em qualquer momento que o servidor estiver ocupado existe uma probabilidade dele quebrar,
levando o sistema a parar. A probabilidade de quebra é descrita por uma taxa exponencial α. Quando o
sistema para, todos os clientes que estavam no sistema partem e não são mais permitidas chegadas até que
o defeito for consertado. O tempo de reparo é exponencialmente distribuı́do com taxa β.
a. Defina os estados apropriadamente.
b. Descreva as equações de balanço de fluxo.
2