Processos Estocásticos
Quinta Lista de Exercı́cios
12 de fevereiro de 2014
1 Suponha que um organismo unicelular pode estar somente em dois estágios distintos A ou B. Um indivı́duo
no estágio A passa para o estágio B com uma taxa exponencial α. Um indivı́duo no estágio B se divide
em dois novos indivı́duos de tipo A com uma taxa exponencial β. Defina uma CTMC apropriada para a
população desses organismos e determine os parâmetros para esse modelo (tempo gasto em cada estado e
probabilidades de transição).
Seja NA (t) o número de organismos no estágio A no instante t e, de forma análoga, seja NB (t) o número de
organismos no estágio B. Assim, podemos tomar os pares ordenados hNA (t), NB (t)i para representar os estados
da CTMC. Isto é, o PE {hNA (t), NB (t)i, t ≥ 0} é uma CTMC com parâmetros
vhn,mi = αn + βm
αn
Phn,mi;hn−1,m+1i =
αn + βm
βn
Phn,mi;hn+2,m−1i =
αn + βm
.
2 Considere duas máquinas que são reparadas por um único técnico. A máquina i funciona por um tempo
exponencial com taxa λi antes de quebrar (com i = 1, 2). Os tempos de reparo (para quaisquer das duas
máquinas) são exponenciais com taxa µ. É possı́vel analisar esse sistema como um PNM? Se sim, quais são
os parâmetros? Se não, seria possı́vel analisá-lo?
Este não é um PNM porque somente a informação de quantas máquinas estão funcionando em um dado instante
não é suficiente para se analisar o sistema. Para tal é necessário saber também quais máquinas estão funcionando
em cada instante. Assim, podemos construir uma CTMC com os seguintes estados:
• 0: ambas as máquinas estão funcionando.
• 1: máquina 1 funcionando, 2 com defeito.
• 2: máquina 2 funcionando, 1 com defeito.
• 3: ambas máquinas com defeito, máquina 1 sendo consertada.
• 4: ambas máquinas com defeito, máquina 2 sendo consertada.
Essa CTMC pode ser representada pelo seguinte diagrama:
µ
µ
1
3
λ1
λ2
0
λ2
λ1
µ
2
µ
1
4
A CTMC acima possui os parâmetros tempo gasto em cada estado
v0 = λ 1 + λ 2
v1 = λ1 + µ
v2 = λ2 + µ
v3 = v4 = µ
e probabilidades de transição
P01 =
P10 =
µ
λ1 + µ
λ2
λ1 + λ2
P14 =
P02 =
λ1
λ1 + λ2
λ1
λ1 + µ
P20 =
P31 = P42 = 1
µ
λ2 + µ
P23 =
λ2
λ2 + µ
.
3 Considere um PNM com taxas de chegadas λi = (i + 1)λ e taxas de saı́da µi = iµ, i ≥ 0.
a. Determine o tempo esperado para se sair do estado 0 e chegar no estado 4.
b. Determine o tempo esperado para se sair do estado 2 e chegar no estado 5.
Começando com E[T0 ] =
i = 1, 2, 3, 4. Assim
1
1
1
µi
= , usamos a identidade E[Ti ] =
+ E[Ti−1 ] para computar E[Ti ] para
λ0
λ
λi
λi
µ
µ1
1
µ 1
1
1
+
E[T0 ] =
+
· =
·
λ1
λ1
2λ 2λ λ
2λ
λ
2
1
µ2
1
2µ 1
µ
µ
1
E[T2 ] =
+
E[T1 ] =
+
·
·
·
=
λ2
λ2
3λ 3λ 2λ
λ
3λ
λ
2
3
3µ 1
µ
µ
1
µ3
1
1
+
·
·
·
E[T3 ] =
+
E[T2 ] =
=
λ3
λ3
4λ 4λ 3λ
λ
4λ
λ
E[T1 ] =
e, generalizando, vemos que
E[Ti ] =
1
·
(i + 1)λ
i
µ
λ
e portanto,
E[T4 ] =
1
·
5λ
4
µ
λ
.
a. Como Ti é o tempo que o processo leva para transitar do estado i para o estado i + 1, o tempo esperado é
E[T0 ] + E[T1 ] + E[T2 ] + E[T3 ].
b. Mesma explicação do item anterior: E[T2 ] + E[T3 ] + E[T4 ].
4 Assume-se que cada indivı́duo de uma população procria com uma taxa exponencial λ e morre com uma taxa
exponencial µ. Além disso, há uma taxa exponencial θ de crescimento da população devido à imigração.
No entanto, a imigração não é permitida se o tamanho da população é maior ou igual a N . Modele essa
situação como um PNM.
Tomando cada estado X(t) como o tamanho da população no instante t, temos um PNM com
λn = nλ + θ,
n<N
λn = nλ,
n≥N
µn = nµ
.
2
5 Uma pequena barbearia, operada por um único barbeiro, pode acomodar no máximo dois clientes ao mesmo
tempo. Clientes em potencial chegam com uma taxa de Poisson de 3 por hora e os tempos de serviço são
VAs exponenciais independentes com média de 1/4 hora.
a. Qual é o número médio de clientes na barbearia?
b. Qual é a proporção de clientes em potencial que entram na loja?
Tomando o número de clientes na barbearia como o estado, temos um PNM com
λ0 = λ1 = 3,
µ1 = µ2 = 4 .
Graficamente temos
λ0
λ1
0
1
µ1
2
µ2
e calculando as equações de fluxo para os estados 0 e 2, vem
3
π0
4
2
3
3
µ2 π2 = λ1 π1 ⇒ π2 = π1 =
π0
4
4
λ0 π0 = µ1 π1 ⇒ π1 =
.
Como π0 + π1 + π2 = 1, podemos resolver o sistema de equações para π0
2
3
π0 = 1
4
16
37
.
2 3
3
30
π1 + 2π2 =
+2
· π0 =
4
4
37
.
3
π0 + π0 +
4
⇒
π0 =
a. O número médio de clientes na barbearia é
b. A proporção de clientes em potencial que entram na loja é
λ(1 − π2 )
9 16
28
= 1 − π2 = 1 −
·
=
λ
16 37
37
.
6 Um centro de atendimento é composto por dois servidores, cada um trabalhando com uma taxa exponencial
de dois serviços por hora. Clientes chegam com uma taxa de Poisson de três por hora. Assuma que a
capacidade do centro é de no máximo três clientes.
a. Que fração dos clientes em potencial entram no sistema?
b. Qual seria o valor do item anterior se houvesse somente um servidor no sistema com uma taxa duas
vezes mais rápida, isto é, µ = 4?
Tomando o número de clientes no centro como o estado, temos um PNM com
λ0 = λ1 = λ2 = 3,
µ1 = 2,
3
µ2 = µ3 = 4 .
Assim, as equações de fluxo se reduzem a
3
π0
2
3
9
π2 = π1 = π0
4
8
27
3
π0
π3 = π2 =
4
32
π1 =
e portanto
−1
3 9 27
32
π0 = 1 + + +
=
2 8 32
143
.
a. A fração de clientes em potencial que entram no sistema é
λ(1 − π3 )
27 32
116
= 1 − π3 = 1 −
·
=
≈ 81.1%
λ
32 143
143
.
b. Com um único servidor trabalhando duas vezes mais rápido temos um PNM com
λ0 = λ1 = λ2 = 3,
µ1 = µ2 = µ3 = 4 .
Agora, as equações de fluxo se reduzem a
3
π0
4
2
3
3
π0
π2 = π1 =
4
4
3
3
3
π3 = π2 =
π0
4
4
π1 =
e portanto
2 3 −1
3
3
3
64
π0 = 1 + +
+
=
4
4
4
175
.
E finalmente, a nova fração de clientes que entram no sistema é
1 − π3 = 1 −
148
27 64
·
=
≈ 84.6%
64 175
175
.
7 Considere um ponto de taxi onde taxis e clientes chegam de acordo com processos de Poisson com respectivas taxas de um e dois por minuto. Um taxi fica sempre em espera, independente do número de taxis já
parados no ponto. Entretanto, um cliente que chega e não encontra um taxi disponı́vel vai embora, isto é,
não existe uma fila de espera de clientes.
a. Calcule o número médio de taxis esperando.
b. A proporção de clientes que chegam e conseguem um taxi.
Sejam os estados denotados pelo número de taxis esperando. Assim, temos um PNM com λn = 1 e µn = 2. Note
que essa CTMC corresponde a um modelo de fila M/M/1, cujas métricas já são conhecidas.
a. A média de taxis esperando é o tamanho médio da fila =
1
.
µ−λ
b. A proporção de clientes que chegam e conseguem um taxi é a proporção de clientes que chegam e encontram
ao menos um taxi esperando. A taxa de chegada desses clientes é 2(1 − π0 ). A proporção dessas chegadas
4
é portanto
2(1 − π0 )
λ
λ
1
= 1 − π0 = 1 − 1 −
= =
2
µ
µ
2
.
8 Para uma fila M/M/1, calcule
a. o número esperado de chegadas durante um perı́odo de serviço; e
b. a probabilidade de que nenhum cliente chegue durante um perı́odo de serviço.
a. Seja S uma VA indicando o tempo de serviço. Como a taxa de serviço é exponencial, sabemos que E[S] =
1/µ. O número esperado de chegadas buscado corresponde então a E[λS] = λE[S] = λ/µ. (O segundo
passo das equações é justificado pelo fato de λ ser uma constante com relação ao tempo de serviço, pois
chegadas e saı́das são eventos independentes.)
b. Novamente tomamos S como uma VA indicando o tempo de serviço. Buscamos a probabilidade condicional
de haver 0 chegadas dado que o perı́odo de serviço é S. Mas essa probabilidade é exatamente igual à
probabilidade o servidor terminar antes de uma nova chegada (caso contrário o sistema muda de estado e o
µ
.
tempo S é “resetado” – tente entender o motivo). Assim, a probabilidade pedida é
λ+µ
9 As máquinas de uma fábrica quebram com uma taxa exponencial de 6 por hora. A fábrica emprega apenas
um técnico que conserta as máquinas com uma taxa exponencial de 8 por hora. O custo causado pela
produção perdida quando há máquinas com defeito é de $10 por hora por máquina. Qual é o custo médio
causado por máquinas defeituosas?
Este problema pode ser modelado por uma fila M/M/1 com λ = 6 e µ = 8. O custo médio é dado por
$10 por hora por máquina × número médio de máquinas quebradas.
Mas o número médio de máquinas quebradas é exatamente L, o tamanho da fila, cujo valor já foi calculado:
L=
λ
6
= =3 .
µ−λ
2
Portanto, o custo médio é de $30 por hora.
10 Considere um sistema M/M/1 onde clientes chegam com taxa λ e são servidos com taxa µ. No entanto,
assuma que em qualquer momento que o servidor estiver ocupado existe uma probabilidade dele quebrar,
levando o sistema a parar. A probabilidade de quebra é descrita por uma taxa exponencial α. Quando o
sistema para, todos os clientes que estavam no sistema partem e não são mais permitidas chegadas até que
o defeito for consertado. O tempo de reparo é exponencialmente distribuı́do com taxa β.
a. Defina os estados apropriadamente.
b. Descreva as equações de balanço de fluxo.
a. O estados são n (n ≥ 0) e b. O estado n indica que há n clientes no sistema e o estado b que uma quebra
ocorreu. A CTMC que modela o sistema descrito é dada pelo diagrama abaixo.
5
b
β
α
λ
0
α
λ
1
µ
α
α
λ
λ
n
2
µ
µ
···
µ
b. As equações de fluxo são
απ0 = µπ1 + βπb
(λ + µ + α)πn = λπn−1 + µπn+1
βπb = α(1 − π0 ) .
6
n+1
···