5
FUNÇÕES DE VARIÁVEL ALEATÓRIA
Dada uma variável aleatória contínua X com função de densidade f (x). Considerando
Y = g(X), uma função de X, também é uma variável aleatória. A definição da variável Y como
função de X é conhecida coma transformação de uma variável aleatória. A palavra "transformação"é utilizada porque quando uma nova variável aleatória Y é especificada como uma função
de uma dada variável aleatória X, então a função de distribuição F(x) fica transformada na função de distribuição da nova variável Y . Assim, o espaço induzida (Ω, F, PX ) fica modificada
por ter uma distribuição adicional,F(y). Em alternativa, a transformação pode ser visto como
resultado de um novo espaço induzido, (Ω, F, PY ).
Assim, quando temos Y = g(X) é interessante conhecer a função de distribuição e função
de densidade da variável aleatória Y .
5.1
MÉTODO DA FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO
Seja X uma variável aleatória contínua, com função de distribuição FX (x). Qualquer função
Y = g(X) também é uma variável aleatória. Considerando a função g(X) é inversível, temos
que em que X = h(Y ) = g−1 (Y ) Então a função de distribuição de Y é
FY (y) = P(Y ≤ y) = P(g(X) ≤ y) = P(X ≤ h(y)) = FX (h(y))
Assim é possível obter a função de distribuição acumulada de Y e para obter a função de
densidade basta fazer a derivada
dFY (y)
fY (y) =
dy
Exemplo 5.1: Seja X uma variável aleatória com função de densidade dada por:
(
f (x) =
1
2
−1 ≤ x ≤ 1
0 caso contrário
Seja Y = X 2 , determine a função de densidade de Y .
Funções de variável aleatória
2
Temos que
√
√
FY (y) = P(Y ≤ y) = P(X 2 ≤ y) = P(− y ≤ X ≤ y)
Z √y
1
=
√ 2 dx
− y
√
1 √ √
1 y
x
= ( y + y)
=
2 −√y 2
√
y
=
Assim, temos que a função de distribuição de Y , é dada por
FY (y) =
√
yI[0,1] (y) + I(1,∞) (y)
Derivando a função de distribuição temos
fY (y) =
dFY (y)
1
= √ I[0,1] (y)
dy
2 y
Exemplo 5.2: Seja X uma variável aleatória com função de densidade e função de distribuição dada por:
(
f (x) =
1
3
se 0 ≤ x < 3
0 caso contrário


 0 se x < 0
1
F(x) =
3 x se 0 ≤ x < 3


1 se x > 3
Seja Y = eX , determine a função de densidade de Y . Temos que
FY (y) = P(Y ≤ y) = P(eX ≤ y) = P(X ≤ ln(y)) = FX (ln(y))
1
=
ln(y)
3
Assim, temos que a função de distribuição de Y , é dada por
1
FY (y) = ln(y)I[1,e3 ] (y) + I(e3 ,∞) (y)
3
Derivando a função de distribuição temos
fY (y) =
dFY (y)
1
= I[1,e3 ] (y)
dy
3y
Funções de variável aleatória
5.2
3
MÉTODO DA FUNÇÃO DE DENSIDADE
Teorema 5.1: Seja X uma variável aleatória contínua com função de densidade f (x) e seja
Y = g(X) uma outra variável aleatória. Se a função g(X) é inversível e diferenciável, então a
função de densidade de Y é dada por:
fY (y) = |h0 (y)| fX (h(y))
em que h(Y ) = g−1 (Y )
Exemplo 5.3: Seja X uma variável aleatória com função de densidade dada por:
(
f (x) =
x2
81
0
−3 < x < 6
caso contrário
Seja Y = 13 (12 − x), determine a função de densidade de Y .
Temos que
1
(12 − x) ⇒ h(y) = 12 − 3y
3
h0 (Y ) = 3
(12 − 3y)2
(4 − y)2 (4 − y)2
fY (y) = 3
= 3×9
=
81
81
3
y =
Para X variando no intervalo (−3, 6), Y varia no intervalo (2, 5), assim:
(
fY (y) =
(4−y)2
3
0
2<y<5
caso contrário
Corolário 5.1: Quando a função Y = g(X) tem duas raízes, x1 e x2 , a função de densidade
de fY (y) é dada por
fY (y) = |h01 (y)| fX (h1 (y)) + |h02 (y)| fX (h2 (y))
−1
em que h1 (Y ) = g−1
1 (Y ) e h2 (Y ) = g2 (Y ), representam os intervalos das duas raízes x1 e x2
Exemplo 5.4: Seja X uma variável aleatória com função de densidade dada por:
(
f (x) =
2
9 (x + 1)
0
−1 < x < 2
caso contrário
Seja Y = X 2 , determine a função de densidade de Y .
Funções de variável aleatória
4
Temos que
√
y = x2 ⇒ h(y) = ± y
1
h0 (Y ) = ± √
2 y
1
1 2 √
√
fY (y) = √ (± y + 1) = √ (± y + 1)
2 y9
9 y
Temos que y = x2 então vamos analisar o intervalos
se −1 < x < 0 ⇒ 0 < y < 1
se 0 ≤ x < 1 ⇒ 0 ≤ y < 1
se 1 ≤ x < 2 ⇒ 1 ≤ y < 4
Assim
1 √
1 √
1
√
fY (y) =
√ (− y + 1) + √ ( y + 1) I(0,1) (y) + √ ( y + 1))I[1,4) (y)
9 y
9 y
9 y
1 √
2
fY (y) = √ I(0,1) (y) + √ ( y + 1))I[1,4) (y)
9 y
9 y
5.3
5.3.1
EXERCÍCIOS
Teóricos
5.1) A fdp de uma variável aleatória X é fX (x). Uma variável aleatória Y é definida como
Y = aX + b, a < 0. Determine a fdp de Y em termos da fdp de X.
5.2) Suponha que o raio R de uma esfera seja uma variável aleatória continua com fdp dada por
f (r) = 6r(1 − r), 0 < r < 1. Determine a fdp do volume V e da área superficial S da esfera.
5.3) Suponha que X tenhaa distribuição contínua em R com função distribuição F e função de
densidade f . Mostre que Y = |X|
a) Tem função de distribuição FY (y) = Fx (x) − Fx (−x) para y > 0.
b) Tem função de densidade fY (y) = fx (x) + fx (−x) para y > 0.
5.3.2
Práticos
5.1) Sejam as funções de densidade de probabilidade abaixo. Determine a função de densidade
e a função geradora de momentos Y
a) f (x) = 2xI[0,1] (x), Y = X 2
b) f (x) = 13 x2 , se − 1 ≤ x < 2, Y = X 2
Funções de variável aleatória
5
c) f (x) = 3(1 − x)2 , se x ≥ 1, Y = (1 − X)3
2
d) f (x) = 2xe−x , se 0 ≤ x ≤ ∞, Y = X 2
e) f (x) = e−x , se 0 ≤ x ≤ ∞, Y =
X
1+X
5.2) Suponha que P(X ≤ 0, 29) = 0, 75, em que X é uma variável aleatória continua com alguma
distribuição definida sobre (0,1). Seja Y = 1 − X determine k de modo que P(Y ≤ k) = 0, 25
5.3) Suponha que X seja uma variável aleatória continua distribuída uniformemente sobre o
intervalo (0, 1). Ache a fdp das seguintes variáveis aleatórias e determine sua Moda e Mediana.
a) Y = X 2 + 1
b) Z =
1
X+1