Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Ciências Exatas e Biológicas – Departamento de Matemática
MTM 510 – Estatística – Turma 22
Professor: Rodrigo Luiz Pereira Lara
LISTA DE EXERCÍCIOS 2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Questão 1 – Decida se a variável aleatória
raciocínio.
a)
b)
c)
d)
é discreta ou contínua. Explique seu
representa o número de acidentes com motos durante um ano em Belo Horizonte.
representa o volume de sangue colhido para um exame de sangue.
representa o período necessário para chegar ao trabalho.
representa o número de dias chuvosos no mês de julho em Mariana, MG.
Parte I – Variáveis Aleatórias Discretas
Questão 2 – Decida se cada uma das tabelas a seguir representa uma distribuição de
probabilidade. Caso não seja, identifique a(s) propriedade(s) que não foram atendidas.
a) Uma empresa gravou o número de linhas telefônicas em uso por hora durante um dia
útil. A variável aleatória representa o número de linhas telefônicas em uso.
x
p(x)
0
0,135
1
0,186
2
0,226
3
0,254
4
0,103
5
0,64
6
0,032
b) Um sociólogo pesquisou as famílias em uma cidade pequena. A variável aleatória
representa o número de crianças por família.
x
p(x)
0
0,07
1
0,20
2
0,38
3
0,22
4
0,13
c) Um inspetor de qualidade verificou as imperfeições em rolos de tecido por uma
semana. A variável aleatória representa o número de imperfeições encontradas.
x
p(x)
0
3
4
1
1
10
2
1
20
3
1
25
4
1
50
5
1

100
d) Um centro de serviços do 911 (telefone para emergência dos Estados Unidos)
registrou o número de ligações recebidas por hora. A variável aleatória representa o
número de chamadas por hora durante um determinado dia.
x
p(x)
0
0,01
1
0,10
2
0,26
3
0,33
4
0,18
5
0,06
6
0,03
7
0,03
Questão 3 – Seja E o experimento referente ao lançamento de um dado não viciado. E
seja X a variável aleatória face obtida no lançamento desse dado.
a) X é uma variável aleatória discreta ou contínua? Justifique.
b) Obtenha a distribuição de probabilidade de X.
c) Obtenha a função de probabilidade de X.
d) Trace o gráfico da função de probabilidade de X.
Questão 4 – Seja E o experimento referente ao lançamento de um dado viciado de tal
forma que a probabilidade de obtenção de cada face é diretamente proporcional ao valor
de cada face. E seja X a variável aleatória face obtida no lançamento desse dado.
a) Obtenha a distribuição de probabilidade de X.
b) Obtenha a função de probabilidade de X.
c) Trace o gráfico da função de probabilidade de X.
Questão 5 – Uma comissão de formatura decide realizar uma rifa contendo 1500
bilhetes que serão vendidos a R$ 2,00 cada. Serão sorteados 4 prêmios nos valores de
R$ 500,00; R$ 250,00; R$ 150,00 e R$ 75,00. Você compra um bilhete.
a) Qual o valor esperado do seu lucro?
b) Interprete esse valor.
Questão 6 – Uma moeda viciada tem probabilidade de cara igual a 0,4. Para dois
lançamentos consecutivos dessa moeda faça o seguinte estudo da variável aleatória X :
número de caras obtidas no experimento.
Obtenha:
a) A distribuição de probabilidade.
b) A função de probabilidade.
c) O gráfico da função de probabilidade.
d) E (X ) .
e) Interprete o valor E (X ) .
f) V (X ) .
Questão 7 – Um agricultor cultiva laranjas e também produz mudas para vender. Após
alguns meses a muda pode ser atacada por fungos com probabilidade 0,05 e, nesse caso,
ela é escolhida para ser recuperada com probabilidade 0,5. Admita que o processo de
recuperação é infalível. O custo de cada muda produzida é R$ 1,00; acrescido de R$
0,50 se precisar ser recuperada. Cada muda é vendida a R$ 3,00 e são descartadas as
mudas não recuperadas de ataque de fungos. Seja X a variável aleatória ganho por
muda produzida.
Obtenha:
a) A distribuição de probabilidade.
b) A função de probabilidade.
c) O gráfico da função de probabilidade.
d) E (X ) .
e) Interprete o valor E (X ) .
f) V (X ) .
Questão 8 – Um caminho para chegar a uma festa pode ser dividido em três etapas. Sem
enganos o trajeto é feito em 1 hora. Se enganos acontecem na primeira etapa, acrescente
10 minutos ao tempo do trajeto. Para enganos na segunda etapa, o acréscimo é 20 e,
para a terceira, 30 minutos. Admita que a probabilidade de engano é 0,1; 0,2 e 0,3 para a
primeira, segunda e terceira etapas, respectivamente.
a) É provável haver atraso na chegada à festa?
b) Determine a probabilidade de haver atraso.
c) Determine a probabilidade do atraso não passar de 40 minutos.
Parte II – Variáveis Aleatórias Contínuas
Questão 9 – Uma v.a.c. possui a seguinte função densidade de probabilidade:
 0
 kx

f ( x)  
k (10  x)
 0
a) Determine o valor de k.
b) Trace o gráfico da f.d.p.
, para x  0
, para 0  x  5
, para 5  x  10
, para x  10
c) Calcule P( X  3) .
Questão 10 – Uma v.a.c. possui a seguinte função densidade de probabilidade:
, para 0  x  1
 k

f ( x)  k (2  x) , para 1  x  2
 0
, caso contrário

Pede-se:
a) A constante k para que f (x) seja uma f.d.p.
b) O gráfico da f.d.p.
d) P ( X  1) .
1

e) P   X  1 .
2

3
1
c) P   X  
2
2
f) P ( X  2) .
Questão 11 – Suponha que uma variável aleatória contínua possua a seguinte f.d.p:
 1
 6

 1 x  1
f ( x)   2
3
 1
5
 x 
3
 2
 0
Determine:
, 0  x 1
, 1 x  2
, 2 x3
, c.c.
a) E (X ) .
b) V (X ) .
Questão 12 – Uma variável contínua tem função densidade de probabilidade dada por:
1
 x,
f ( x)   4

0 ,
1 x  3
c.c.
a) Faça o gráfico da função acima e verifique que ela satisfaz as condições para ser
f.d.p.
b) Determine P( X  2) , P( X  2) e P( X  2) .
3
3
3



c) Calcule P  0  X   , P  X   , P  X   .
2
2
2



5
3

d) Obtenha P   X  | X  2  .
2
2

Questão 13 – Suponha que uma variável aleatória contínua tenha densidade de
probabilidade dada por:
1
 xk , 0 x3
f ( x)   6

, c.c.
 0
a) Qual é o valor de k ?
b) Quanto vale b, tal que P( X  b) 
5
?
9
Questão 14 – Suponha que o peso de recém-nascidos (em kg) pode ser considerado uma
variável aleatória com a seguinte f.d.p:
1
 1
 10 x  10 , 0  x  2

 3 x 9 , 2 x6
f ( x )  
20
 40

 0
, c.c.

Qual a probabilidade de, escolhendo ao acaso uma criança, ela ter peso:
a) Inferior a 3 kg?
b) Entre 1 e 4 kg?
c) Pelo menos 3 kg?
Questão 15 – Suponha que o tempo, em meses, para a recuperação de pacientes
submetidos a um certo tipo de cirurgia do aparelho digestivo pode ser modelado por
uma variável aleatória contínua X, cuja f.d.p. é dada por:
1

, 0  x 1

3

5
 1
, 1 x  5
f ( x )   x 
12
 12


0
, c.c.

a) Determine o tempo médio de recuperação.
b) Calcule a variância.
Questão 16 – Suponha que o comprimento de fósseis encontrados em uma certa região,
dado em centímetros, pode ser representado por uma variável aleatória X com função
densidade de probabilidade dada por:
 1
, 0  x  12
 24

 1 ( x  4) , 12  x  20
f ( x)  
192

 0
, c.c.

a) Calcule a média e a variância de X.
b) Se um museu decide comprar os fósseis encontrados pagando R$ 100,00 para os de
comprimento menor que 10 cm e R$ 200,00 para os demais, quanto paga em média por
exemplar?
Questão 17 – O consumo de combustível de um certo automóvel é uma variável
aleatória, medida em quilômetros por litro. Admita que a densidade de probabilidade
dessa variável é expressa pela seguinte função:
 x  10 , 10  x  11

f ( x)  12  x , 11  x  12
 0
, c.c.

a) Determine a média e a variância do consumo.
b) Sendo R$ 0,70 o preço do litro do combustível, qual será a média da despesa em uma
viagem de 100 quilômetros com esse automóvel?
ALGUMAS RESPOSTAS OU AUXÍLIO DE SOLUÇÃO:
Questão 1
a) v.a.d.
b) v.a.c.
c) v.a.c.
d) v.a.d.
Questão 2
a) Não.
b) Sim.
c) Não.
d) Sim.
Questão 3
b)
x
p(x)
c)
2
1
6
3
1
6
4
1
6
5
1
6
6
1
6
3
3
21
4
4
21
5
5
21
6
6
21
1
 ,  x  1, 2, 3, 4, 5, 6
P( x)   6

0 , para outros valores de x
Questão 4
a)
x
p(x)
b)
1
1
6
1
1
21
2
2
21
x
,  x  1, 2, 3, 4, 5, 6

P( x)   21

0 , para outros valores de x
Questão 5 – Seja X a variável aleatória lucro obtido por um comprador.
Distribuição de probabilidade:
x
–2
1496
p(x)
1500
73
1
1500
148
1
1500
248
1
1500
498
1
1500
a) E ( X )   x p( x)  – R$ 1,35
b) Como o valor esperado é negativo, você pode esperar perder R$ 1,35 por cada bilhete
que comprar.
Questão 6
a)
X
p(x)
0
0,36
1
0,48
2
0,16
d) 0,8.
f) 0,48.
Questão 7
a)
x
p(x)
–1
0,025
1,5
0,025
2,0
0,95
d) R$ 1,91.
f) 0,23315 reais2.
Questão 8 – Seja A a variável aleatória atraso (minutos) para chegar à festa.
a
p(a)
0
0,504
10
0,056
a) P( A  0)  0,496
20
0,126
30
0,23
40
0,024
50
0,054
60
0,006
b) P(0  A  40)  0,436
Questão 9
a)
1
25
c)
41
50
Questão 10
a)
2
3
c)
7
12
Questão 11
a)
7
4
b)
25
48
Questão 12
b)
5 5
, e 0.
8 8
Questão 13
a) k 
Questão 14
a)
Questão 15
a) 1,72 meses.
Questão 16
a) E ( X )  11,21 ; V ( X )  36,11 .
b) R$ 158,33.
Questão 17
a) E ( X )  11 ; V ( X )  0,167 .
b) R$ 6,36.
1
.
12
53
.
80
d) 0
e)
c)
5 27 27
,
e
.
32 32 32
c)
27
.
80
1
3
b) b  1,86 .
b)
7
.
10
b) 1,369 meses2.
f) 0
d)
7
.
12