NOÇÃO DE LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Questão: Será que, à medida que x se aproxima de um número real a (mas
x ≠ a ), f (x) fica cada vez mais próxima de algum número real L?
Em caso de resposta afirmativa, dizemos que limite de f (x) , quando x
tende para a, é igual a L, e escrevemos
lim f ( x) = L
x→a
Considere-se f ( x ) = 2 x + 6 e a = 1
f (0.9 ) = 7.8
f (0.99 ) = 7.98
f (0.999 ) = 7.998
f (0.9999 ) = 7.9998
Se 0.9 < x < 1.1
Se 0.99 < x < 1.01
Se 0.999 < x < 1.001
Se 0.9999 < x < 1.0001
f (1.1) = 8.2
f (1.01) = 8.02
f (1.001) = 8.002
f (1.0001) = 8.0002
então
então
então
então
7.8 < f ( x ) < 8.2
7.98 < f ( x ) < 8.02
7.998 < f ( x ) < 8.002
7.9998 < f ( x ) < 8.0002
Se 1 − δ < x < 1 + δ então 8 − ε < f ( x) < 8 + ε
Definição: Seja f ( x ) é uma f. r. v. r., a e L números reais (com a não
necessariamente pertencente ao domínio de f ( x) ). Diz-se que
lim f ( x) = L sse ∀ε > 0 ∃δ > 0 : 0 < x - a < δ ⇒ f ( x) - L < ε
x→a
LIMITES LATERAIS
Se f ( x) tende para um número real L quando x tende para a, por valores
inferiores a a, diz-se que L é o limite à esquerda de f ( x) quando x
tende para a e representa-se por: lim f ( x) = L
x→a −
lim f ( x) = L sse ∀ε > 0 ∃δ > 0 : 0 < a - x < δ ⇒ f ( x) - L < ε
x→a −
Se f ( x) tende para um número real L quando x tende para a, por valores
superiores a a, diz-se que L é o limite à direita de f ( x) quando x tende
para a e representa-se por: lim f ( x) = L
x→a +
lim f ( x) = L sse ∀ε > 0 ∃δ > 0 : 0 < x - a < δ ⇒ f ( x) - L < ε
x→a +
A definição é ainda extensível aos casos em que x → ±∞
lim f ( x) = L sse ∀ε > 0 ∃ N > 0 :
x → ±∞
x > N ⇒ f ( x) - L < ε
TEOREMAS SOBRE CÁLCULO DE LIMITES
Teorema: O limite de uma função, quando existir, é único.
Teorema: O limite de uma função constante é a própria constante.
Teorema: Uma função tem limite num dado ponto sse os limites laterais
nesse ponto são iguais.
Teorema: Sejam f ( x) e g ( x) duas funções tais que:
lim f ( x) = b e lim g ( x) = c
x→a
x→a
1. lim ( f ( x) + g ( x) ) = lim f ( x) + lim g ( x) = b + c
x→a
x→a
x →a
2. lim ( f ( x) ⋅ g ( x) ) = lim f ( x) ⋅ lim g ( x) = b ⋅ c
x→a
x →a
x→a
lim f ( x)
f ( x) x → a
b
3. lim
=
= , desde que c ≠ 0
lim g ( x) c
x → a g ( x)
x→a
p
4. lim ( f ( x) ) =  lim f ( x)  , desde que p ∈ IR \ {0}

 x→a
x→a
5. lim p f ( x) = p lim f ( x) , para p inteiro
p
x→a
x→a
Exemplo: Calcule, se possível, os seguintes limites:
1
x + x + 5x + 5
1− x + 4
x ;
a) lim
; b) lim
; c) lim
x +1
x+3
x → −1
x → −3
x →0 2 x + 1
3
2
x2
d) lim
x3 + 5x
x → −∞ 7 x
2
−3
e) lim x 3 − 5 x ;
;
x → −∞
f) lim
x → +∞
x2 + x − x2 − 1 ;
Teorema: Sejam f (x) , g (x) e h(x) três f. r. v. r.. Se numa vizinhança de a
f ( x) ≤ g ( x) ≤ h( x) e lim f ( x) = b = lim h( x) então
x→a
x→a
lim g ( x) = b .
x→a
1
Exemplo: Calcule lim x sen  .
x →0
 x
FUNÇÕES CONTÍNUAS
Definição: Uma f. r. v. r. diz-se contínua no ponto a sse
(i)
(ii)
f é definida num intervalo aberto contendo a
lim f ( x) existe
x→ a
(iii)
lim f ( x) = f (a)
x→a
Nota: Se f não é contínua no ponto a diz-se que é descontínua em a ou que
a é ponto de descontinuidade da função.
Atendendo à definição de limite, pode dizer-se que:
“Uma função f é contínua num ponto a do seu domínio sse
∀ε > 0 ∃δ > 0 : x - a < δ ⇒ f ( x) - f (a ) < ε ”
Exemplo: Considere a seguinte função real de variável real
se x ≥ 2
 2k + x
 2
f ( x) =  x − 2 x
 x 2 − 5 x + 6 se x < 2
Determine o valor de k, que torna a função contínua para x = 2 .
Definição: Uma f. r. v. r. diz-se contínua sse é contínua em todos os pontos
do seu domínio.
Definição: Uma f. r. v. r. diz-se contínua num intervalo ]a, b[ sse é
contínua em todos os pontos desse intervalo.
Definição: Uma f. r. v. r. diz-se contínua num intervalo [a, b[ sse é
contínua em todos os pontos do intervalo aberto e contínua à direita de a, isto
é, lim f ( x) = f (a ) .
x→a +
Definição: Uma f. r. v. r. diz-se contínua num intervalo ]a, b] sse é
contínua em todos os pontos do intervalo aberto e contínua à esquerda de b,
isto é, lim f ( x) = f (b) .
x →b −
Definição: Uma f. r. v. r. diz-se contínua num intervalo [a, b] sse é
contínua em todos os pontos do intervalo aberto e contínua à direita de a e à
esquerda de b.
Teorema: Sejam f (x) e g (x) duas funções reais de variável real. Se f (x) e
f ( x)
g (x) são contínuas num ponto a então f ( x) + g ( x ) , f ( x) ⋅ g ( x) e
g ( x)
(com g (a ) ≠ 0 ) são ainda funções contínuas no ponto a.
Teorema: Se f (x) for uma função contínua num ponto a e p um número
natural, então as funções [ f ( x)] p e p f ( x) (excepto se p é par e a função
tomar algum valor negativo em qualquer ponto do domínio de f (x) ) são
ainda funções contínuas no ponto a.
Teorema: Se f (x) for uma função contínua num ponto a e g (x) uma
função contínua num ponto b = f (a ) então a função ( g f )(x) é ainda
contínua no ponto a.
Exemplo: Estude a continuidade da seguinte função real de variável real
f ( x) =
x2 − 4
.
x−2