Métodos Matemáticos da Fı́sica 1
Transformadas Integrais e Problemas de Cauchy.
A. Determine as transformadas de Fourier das funções abaixo. Você pode determiná-las a partir
da definição ou a partir das propriedades das transformadas de Fourier.
x, |x| < 1
4. f (x) = e−|x|
1. f (x) =
0, |x| ≥ 1
5. f (x) = sin(3x)
|x|, |x| < π
2. f (x) =
6. f (x) = cos(2x)
0, |x| ≥ π
3. f (x) = δ(x − x0 )
7. f (x) = H(x − 1)
B. Determine as transformadas de Fourier inversas das funções abaixo:
1. F (k) = δ(k)
2. F (k) = cos(ak)
C. [Transformada de Fourier e representação de funções por integrais.] As transformadas de Fourier podem ser usadas para dar uma representação integral de funções (contı́nuas
ou não) e, portanto, podem ser utilizadas para determinar valores de integrais impróprias complicadas.
1, |x| ≤ 1
é dada por F (k) =
1. Mostre que a transformada de Fourier da função f (x) =
0, |x| > 1
r
2 sin(k)
.
π k
2. Agora, usando a expressão acima para F (k), calcule sua inversa. Para tal, expanda
exp(ikx) em senos e cossenos. Note que você chegará numa integral que representará
sin(k)
f (x). Para simplificá-la, use o fato de que
é uma função par em k. Note que f (x)
k
é uma função real.
3. Comparando as duas representações para f (x), mostre que
Z ∞
π
sin k
dk = .
k
2
0
4. Note que f (x) é uma função descontı́nua em x = ±1. Para onde converge o f (±1) se
fizermos os cálculos pela representação integral de f (x) do item 2? Este valor faz sentido?
D. Resolva os problemas abaixo:
1. Considere uma barra semi-infinita unidimensional, que inicialmente está a uma temperatura de 0o C. No instante t = 0, o lado em x = 0 é colocado a 100o C e é mantido nesta
temperatura por todo o tempo. Determine a distribuição de temperatura na barra em
função do tempo. Considere que a difusividade térmica da barra seja α2 .
Métodos Matemáticos da Fı́sica 1 - 02/14 - Prof. Yuri Dumaresq Sobral - MAT/UnB
2. [Condições de contorno não-homogêneas e variáveis] Considere uma corda semiinfinita, que inicialmente está sem deflexão e em repouso. A extremidade em x = 0 é
excitada com uma oscilação f (t) = sin(t). Sabendo que a velocidade de propagação na
corda é c, determine as oscilações que se propagarão na corda. Tente desenhar um esquema
desta solução.
3. [Problema em domı́nio finito] Resolva a equação do calor ut = uxx no domı́nio (0, L)
πx
. Esta solução é compatı́vel com
em que u(0, t) = u(L, t) = 1 e com u(x, 0) = 1 + sin
L
sua intuição de séries de Fourier?
4. *[Problemas com forçamentos variados] Resolva a equação da onda forçada
100
∂2u
∂2u
∂u
=
− 100
− 25u,
∂t2
∂x2
∂t
em uma corda semi-infinita em 0 ≤ x ≤ ∞ com condição de contorno u(0, t) = sin(t) e com
condições iniciais u(x, 0) = ut (x, 0) = 0. Reflita em como você resolveria este problema
usando o método de separação de variáveis (complicado!).
5. [Equação da advecção] As equações da advecção que estudamos no começo do curso
também podem ser resolvidas por transformadas de Laplace, agora em domı́nios semiinfinitos. Resolva ux + xut = x com u(0, t) = 1 e u(x, 0) = 1.
E. Considere o problema de Cauchy para a equação da onda utt = c2 uxx , com u(x, 0) = f (x) e
ut (x, 0) = g(x). Faça uma mudança de variáveis η = x − ct e ξ = x + ct e, integrando a equação
da onda em sua forma canônica nas variáveis caracterı́sticas, encontre a solução de d’Alembert.
F. Resolva os problemas abaixo:
1. Ache as soluções da equação do calor forçada ut = uxx + g(x) em uma barra infinita, com
g(x) dada pela função A.2 e com condição inicial u(x, 0) = 0.
2. Resolva a equação utt = uxx + h(x) em −∞ < x < ∞ com condições iniciais u(x, 0) =
ut (x, 0) = 0. Explique o que está acontecendo fisicamente.
3. Resolva a equação do calor com um termo de convecção ut = α2 uxx +cux em −∞ < x < ∞,
com condição inicial u(x, 0) = f (x).
4. Determine a solução da equação do calor ut = α2 uxx em uma barra infinita com condição
inicial u(x, 0) = δ(x). O que acontece com a singularidade em t = 0 à medida em que o
tempo passa?
5. Determine a solução da equação da onda utt = c2 uxx em uma corda infinita com condições
iniciais u(x, 0) = δ(x) e ut (x, 0) = 0. Compare sua solução com a solução do item anterior.
Qual é a diferença mais notável que você percebe?
6. *[Equação de Laplace] É possı́vel usar a transformada de Fourier para resolver problemas de Laplace. Neste caso, a transformada deverá ser aplicada na direção em que
o domı́nio não apresentar condições de contorno. Com isto em mente, resolva a equação
∇2 u = 0 no domı́nio
0 < y < 1, −∞ <
com condições de contorno u(x,
0) = 0 e
Z x∞<
Z ∞,
∞
f (ξ)sinh(ky) cos(kx − kξ)
dξdk .
u(x, 1) = f (x). Resposta: u(x, y) =
πsinh(k)
0
−∞
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