Métodos Matemáticos da Fı́sica 1
Equação do Calor - Parte 1
A. Resolva os problemas do calor abaixo. Identifique os tipos de condições de contorno e
interprete fisicamente o que elas significam.


ut = 2uxx , 0 < x < 1
ut = uxx , 0 < x < 2






 u(0, t) = u(1, t) = 0, 0 < t < ∞
u(0, t) = 0, 0 < t < ∞
.
3.
1.
.
1
1
u(2, t) = 4, 0 < t < ∞



u(x, 0) = sin(4πx) + sin(6πx),



3
5
u(x, 0) = x2 , 0 ≤ x ≤ 2

0≤x≤1

ut = 3uyy , 0 < x < L




u(0,
t) = 1, 0 < t < ∞


u
=
u
,
0
<
x
<
π
4.
.
u(L,
t) = 1, 0< t <∞
 t
xx


ux (0, t) = ux (π, t) = 0, 0 < t < ∞ .
2.

 u(x, 0) = 2 sin 3πy , 0 ≤ x ≤ L


u(x, 0) = x, 0 ≤ x ≤ π
L
B. Analise as afirmações abaixo, referentes a problemas simples associados à equação do calor.
Formule o problema correspondente a cada uma delas e resolva-os. A idéia é perceber a relação
entre fenômenos facilmente observáveis e os termos da solução da equação do calor.
1. Uma barra isolada com temperatura inicial constante permancerá a temperatura constante
para t > 0.
2. Uma barra inicialmente a temperatura constante T0 , e com temperaturas idênticas T0
especificadas nas fronteiras permanecerá com temperatura constante T0 para t > 0.
C. Vamos analisar um pouco mais em detalhe a solução do problema de Neumann para a equação
do calor do tipo:

ut = κuxx , 0 < x < L



ux (0, t) = α, 0 < t < ∞
,
u (L, t) = β, 0 < t < ∞


 x
u(x, 0) = f (x), 0 ≤ x ≤ L
com α, β ∈ IR. Considere as questões abaixo.
1
1. Suponha, inicialmente, α = β = 0. Mostre que lim u(x, t) =
t→∞
L
de f (x) no domı́nio [0, L].
Z
L
f (x)dx, que é a média
0
2. Suponha, agora, que α = β = Q 6= 0. Explique fisicamente o que está acontecendo neste
problema (atenção na interpretação!). Fazendo u(x, t) = w(x, t) + U (x) e, escolhendo
adequadamente w(x, t) e U (x), encontre os problemas que devem ser resolvidos para estas
novas incógnitas.
3. Resolva o problema para U (x). Note que sua escolha anterior não especifica unicamente
U (x). Neste ponto, não há nada que você possa fazer para determinar unicamente esta
função. Isto faz sentido?
Métodos Matemáticos da Fı́sica 1 - 02/14 - Prof. Yuri Dumaresq Sobral - MAT/UnB
4. Suponha, agora, que f (x) = A, com A constante. Resolva o problema para w(x, t) e
encontre, finalmente, u(x, t). Seu resultado é único, isto é, há algum problema em não
podermos determinar unicamente U (x)? Determine lim u(x, t) e comente seu resultado.
t→∞
5. Suponha que, agora, tenhamos α 6= β e que α, β 6= 0. Mostre que não é possı́vel resolver
este problema com o procedimento sugerido no item 2. Por quê? Aprenderemos a resolver
este problema mais para frente.
D. (Condições de contorno distintas em cada extremidade) Considere que uma barra
unidimensional de comprimento π e difusividade térmica κ = 1 é dividida em duas partes de
tamanhos iguais. Uma parte é resfriada a uma temperatura de T = 0 e a outra é aquecida a
uma temperatura T = 1. No instante t = 0, as duas partes da barra são colocados uma ao
lado da outra, em contato, formando novamente a barra de comprimento π. A extremidade da
parte que estava resfriada (x = 0) é mantida a T = 0, enquanto a outra extremidade (x = π) foi
isolada. Formule este problema matematicamente e encontre a solução T (x, t). Note que este
é um problema com condições de contorno de tipos diferentes em cada uma das extremidades.
Desta forma, fique atento na hora de resolver o problema de autovalores-autofunções! Use o
computador para traçar a solução obtida e analise seu resultado.
E. (Condições de contorno de Robin) Considere o problema da equação do calor abaixo,
em que umas das condições de contorno é uma condição do tipo mista (Robin):

ut = uxx , 0 < x < 1



u(0, t) = 0, 0 < t < ∞
u(1,
t) + ux (1, t) = 0, 0 < t < ∞



u(x, 0) = x, 0 < x < 1
1. Aplique o método de separação de variáveis u(x, t) = F (x)G(t) e formule o problema de
valor de contorno para a função F (x). Mostre, então, que os autovalores σ são aqueles
que satisfazem a equação transcendental tan σ = −σ. Trace um gráfico das funções tan σ
e −σ e identifique quantos autovalores existem. As três primeiras raı́zes da equação transcendental acima são σ1 ≈ 2.02, σ2 ≈ 4.91 e σ2 ≈ 7.98. Note que os autovalores σ não são
mais múltiplos inteiros de π e, portanto, as autofunções associadas a cada um deles não
desenvolvem um número inteiro de perı́odos no intervalo [0, 1]. (Se quiser, verifique isto
num computador)
2. Obtenha que o problema de valor inicial requer a função u(x, 0) seja escrita em uma série
de Fourier de senos. Usando a ortogonalidade das funções sin(σn x), mostre que:
Z
1
x sin(σn x)dx
0
bn = Z
=
1
sin2 (σn x)dx
2σn
sin(σn ) − σn cos(σn )
.
σn − sin(σn ) cos(σn )
σn2
0
3. Calcule os três primeiros bn e mostre que
u(x, t) ≈ 0.24e−4t sin(2.02x) + 0.22e−24t sin(4.91x) + 0.03e−63t sin(7.98x) + · · ·
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