Teorema de Tales
Introdução
Tales de Mileto foi um filósofo e matemático grego, ele dedicou sua vida ao
comércio e aos estudos.
Em uma de suas viagens como comerciantes, Tales despertou a admiração de
um faraó no Egito, ao calcular a altura de uma pirâmide, sem a necessidade de
escalá-la.
Você deve estar se perguntando: Como isso foi possível?
Tales fincou uma estaca verticalmente no chão. Em seguida, verificou-se que a
certa hora do dia, a altura da estaca e o comprimento da sombra projetada por
ela eram iguais.
Na Figura 1 se pode analisar a observação feita por Tales:
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Figura 1
Nesta Figura, podemos observar que a altura da estaca é igual à medida de
sua sombra, logo, a medida de do ponto F ao ponto SombraP é igual a altura
da pirâmide.
Feixe de retas Paralelas Cortadas por retas Transversais
Um exemplo de situação onde podemos aplicar o Teorema de Tales é em um
feixe de retas paralelas cortadas por transversais. Como mostrado na Figura 2:
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Figura 2
Na Figura 2, têm-se três retas horizontais, paralelas, e duas retas transversais,
que são as retas a e b.
Traçando um seguimento do ponto A ao ponto F, teremos dois triângulos,
Como se pode observar na Figura 3:
Figura 3
O ∆ABG e o ∆ACF são semelhantes pelo critério ângulo-ângulo, pois: o ângulo
em A é comum e o ângulo X é igual ao ângulo Y.
Assim, podemos estabelecer a primeira relação:
A partir dessa relação, podemos subtrair uma unidade de cada membro,
obtendo:
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Realizando operações matemáticas, tem-se a primeira relação:
Para obtermos a segunda relação, iremos analisar os triângulos ∆ADF e ∆GEF.
Esses triângulos também são semelhantes pelo caso AA(ângulo/ângulo). Logo,
podemos estabelecer que:
Subtraindo 1 de ambos os membros, tem-se:
Por fim, obtém-se a nossa segunda relação:
Finalmente, comparando as relações 1 e 2, tem-se:
Conforme pode ser observado na Figura 4.
Figura 4
Observe que as duas relações (1 e 2) tem o termo
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em comum, logo:
Essa relação constitui o seguinte teorema:
Quando um feixe de retas paralelas é cortado por duas retas transversais, os
seguimentos determinados em uma das retas transversais são proporcionais
aos seguimentos determinados em outra.
Esse Teorema é mais conhecido como:
TEOREMA DE TALES
Referências
BONJORNO, J. R.; BONJORNO, R. A.; OLIVARES, Ayrton. Matemática: Fazendo a
diferença. São Paulo: FTD, 2006.
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