Capı́tulo 1
Sequências e Séries de Funções
1.1
Tipos de Convergência
Definição[Convergência Pontual] Dizemos que uma seqüência de funções fn : D → R converge
pontualmente para a funcão f : D → R, se para cada x ∈ D fixo a seqüência numérica (fn (x))
converge para f (x). Isto é, para cada > 0 podemos encontrar n0 = n0 (, x) ∈ N, tal que |fn (x) −
fn0 (x)| < para todo n ≤ n0 .
Definição [Convergência Uniforme] Na definição anterior, dizemos que a convergência é uniforme
em D se é possı́vel encontrar n0 independente de x ∈ D, isto é, se para cada > 0 dado existe
n0 = n0 () ∈ N tal que |fn (x) − fn0 (x)| < para todo n ≤ n0 e para todo x ∈ D.
Exemplo: A Seqüência de funções fn (x) = xn converge pontualmente para a função identicamente
nula em D =]0, 1[. De fato fixemos x ∈]0, 1[ e > 0, logo
|fn (x) − 0| < ⇔ |x|n < ⇔ n ln(x) < ln ln ⇔ n>
ln(x)
(1.1)
(1.2)
(1.3)
portanto, se fixamos n0 ∈ N tal que n0 > lnln|x|
(observe que depende de x), assim para n ≥ n0 teremos
que |fn (x) − 0| < .
Vejamos agora que a convergência não é uniforme. De fato, procedamos pelo absurdo, suponhamos
que a convergência é uniforme, logo para = 1/3 deve existir n0 ∈ N tal que
1
|fn (x)| < ,
3
∀n ≥ n0 ,
∀x ∈]0, 1[.
√
Por outro lado se considerarmos os pontos xn = 1/ n 2, evidentemente xn ∈]0, 1[ e fn (xn ) = 1/2
o que contradiz a desigualdade anterior. Vejamos agora que a esta sequência de funções converge
uniformemente em qualquer subsintervalo ]0, r[ com r < 1. De fato, Seja > 0, sem perda de
generalidade podemos considerar < 1. observe que para x ∈]0, r[ temos que ln(x) < ln(r), logo
1
1
<
ln(r)
ln(x)
ln()
ln()
>
.
ln(r)
ln(x)
⇒
Assim, se fixamos n0 > ln()/ ln(r) (observe que não depende de x) temos que, para n ≥ n0 tem-se
n>
ln()
ln()
>
,
ln(r)
ln(x)
1
e de (1.1) podemos concluir que
|fn (x) − 0| < qualquer que seja x ∈]0, r[,
ı́sto é, a convergência é uniforme em ]0, r[.
Exemplo: A Sequência de funções fn (x) =
n
X
xk =
k=0
1 − xn+1
converge pontualmente para f (x) =
1−x
1
em D =] − 1, 1[, de fato fixemos x ∈] − 1, 1[ e > 0, logo
1−x
|x|n+1
<
|1 − x|
⇔ |x|n+1 < |1 − x|
⇔ (n + 1) ln(|x|) < ln(|1 − x|)
ln(|1 − x|)
⇔ n+1>
ln(|x|)
|fn (x) − f (x)| < ⇔
portanto fixamos n0 ∈ N tal que n0 >
ln(|1−x|)
,
ln(|x|)
assim para n ≥ n0 teremos que |fn (x) − f (x)| < .
Theorem 1.1.1 (Critério de Cauchy) Uma sequência de funções fn converge uniformente em D,
se somente se, para cada > 0 existe n0 ∈ N tal que
|fn (x) − fm (x)| < ,
∀n ≥ n0 ,
∀x ∈ D.
Proof: (⇒): Seja f a função para a qual a sequência (fn ) converge uniformemente, logo fixando
> 0 temos que existe n0 ∈ N tal que
|fn (x) − f (x)| < /2,
∀n ≥ n0 ,
∀x ∈ D.
Sejam n, m ≥ n0 então, para todo x ∈ D temos que
|fn (x) − fm (x)| ≤ |fn (x) − f (x)| + |fm (x) − f (x)| <
+ ,
2 2
de onde seque o resultado desejado.
(⇐): Desde que, para cada x ∈ D a sequência (fn (x)) é de Cauchy, temos que fn (x) converge para
algum f (x) ∈ R quando n → ∞. Fixemos > 0, logo por hipótese, existe n0 ∈ N tal que para
n, m ≥ n0 e todo x ∈ D temos que
|fn (x) − fm (x)| < /2.
Fixando n ≥ n0 e x ∈ D temos que fn (x) − fm (x) → fn (x) − f (x) quando m → ∞, portanto
|fn (x) − fm (x)| → |fn (x) − f (x)| quando m → ∞ e em vista de ? temos que
|fn (x) − f (x)| ≤ /2
logo, para n ≥ n0 e para todo x ∈ D temos que
|fn (x) − f (x)| < ,
2
2
ı́sto é, fn converge uniformente para f em D.
Exemplo: considere a função h : R → R da dada por h(x) = 1 − |x| para |x| ≤ 1 e h(x) = 0 para
|x| > 1, consideremos a sequencia de funções fn : R → R dada por fn (x) = h(x − n), logo esta
sequência converge pontualmente para a função identicamente nula em R porém a convergencia não
é uniforme, pois
|fn (n) − fm (n)| = 1
para todo n 6= m.
Theorem 1.1.2 Seja (fn ) uma seqüência de funções que converge uniformente para f no intervalo
I. Se fn é contı́nua em I para cada n ∈ N então f é contı́nua
Proof: Seja x0 ∈ I e > 0, pela covergência uniforme temos que existe n0 ∈ N talque |fn (x) −
f (x)| < /3 para todo n ≥ n0 e para todo x ∈ I, por outro lado, pela continuidade de fn0 em x0 ,
existe δ > 0 tal que, para todo x ∈ I com |x − x0 | < δ tem-se |fn0 (x) − fn0 (x0 )| < /3, assim para
todo x ∈ I com |x − x0 | < δ temos que
|f (x) − f (x0 )| ≤ |f (x) − fn0 (x)| + |fn0 (x) − fn0 (x0 )| + |fn0 (x0 ) − f (x0 )| < ,
logo f é contı́nua em x0 . Da arbitrariedade do ponto considerado, segue que f é contı́nua em I.
Exemplo: fn : [0, 1] → R dado por f (x) = xn converge para a função f : [0, 1] → R dada por
f (x) = 0 se x ∈ [0, 1[ e f (1) = 1, porém a convergência não é uniforme, pois a função limite é
discontinua.
2
Dizemos Que uma sequência de funções (fn ) converge monotonicamente para uma função f no
conjunto D, se para cada x ∈ D a sequência numérica (fn (x)) é monótona e converge para f (x).
Observe que neste caso temos que
|fn+1 (x) − f (x)| ≤ |fn (x) − f (x)|,
para todo x ∈ D e para todo n ∈ N.
Theorem 1.1.3 (Dini) Seja (fn ) uma sequência de funções contı́nuas que converge monotonicamente para a função contı́nua f no conjunto D. Se D é compacto então a convergência é uniforme.
Proof: Seja > 0, para cada n ∈ N consideremos o conjunto Dn = {x ∈ D : |fn (x) − f (x)| ≥ }.
Observe que estes conjuntos são compactos por causa da continuidade das funções fn , f . Alem disso,
temos que
D1 ⊃ D2 ⊃ D3 ⊃ · · · .
Por causa da convergência fn (x) → f (x) segue que
∞
\
Dn = ∅.
n=1
3
De onde segue que para algum n0 ∈ N tem-se que Dn0 = ∅, logo Dn = ∅ para todo n ≥ n0 , isto é
|fn (x) − f (x)| < ,
∀n ≥ n0 ,
∀x ∈ D.
2
Exemplo: Consideremos a sequência de funções
fn (x) =
n
X
xk
k=0
xn
x x2
+ ··· + n,
=1+ +
2k
2
4
2
a qual converge para a função
f (x) =
2
1
=
1 − (x/2)
2−x
desde que |x| < 2. Observe que a sequência é monotônica no intervalo [0, 2[, portanto, pelo Teorema
de Dini a convergência será uniforme quem qualquer subintervalo compacto [0, r] com r < 2.
Theorem 1.1.4 (Permuta de Limite com Integrais) Seja fn : [a, b] → R uma seqüencia de
funções integráveis que convergem uniformente para uma função f : [a, b] → R, então, f é integrável
e
Z b
Z b
fn (x) dx.
f (x) dx = lim
n→∞
a
a
Em outras palavras, se a convergência é uniforme
Z b
Z b
lim fn (x) dx = lim
fn (x) dx .
a
n→∞
n→∞
a
Proof: Mostremos que f é integrável. Seja > 0, como a convergência fn → f é uniforme em [a, b]
existe n0 ∈ N tal que
|fn (x) − f (x)| <
,
4(b − a)
∀n ≥ n0 ,
∀x ∈ [a, b].
Como fn0 é integrável em [a, b], existe uma partição P = {x0 , . . . , xn } tal que
n
X
i=1
ωi (fn0 )(xi − xi−1 ) < .
2
Por outro lado, para qualquer x, y ∈ [a, b] tem-se que
|f (y) − f (x)| ≤ |f (y) − fn0 (y)| + |fn0 (y) − fn0 (x)| + |fn0 (x) − f (x)|,
de onde concluimos que, para a partição P tem-se
ωi (f ) ≤
+ ωi (fn0 ) ∀i = 1, . . . , n,
2(b − a)
4
assim
n
X
ωi (f )(xi − xi−1 ) < .
i=1
O que mostra a integrabilidade de f . Agora mostremos a segunda parte do teorema, seja > 0,
como a convergênciafn → f é uniforme em [a, b], então existe n0 ∈ N tal que
|fn (x) − f (x)| < /(b − a),
∀n ≥ n0 , ∀x ∈ [a, b].
então, para n ≥ n0 temos que
Z b
Z b
Z b
[fn (x) − f (x)] dx ≤
|fn (x) − f (x)| dx <
dx = .
b−a a
a
a
2
dai segue o resultado.
Exemplo: Consideremos a sequência de funções fn : [0, 1] → R dadas por fn (x) = nxn (1 − xn ).
Evidentemente fn (0) = 0 = fn (1) para todo n ∈ N e para x ∈]0, 1[ temos que
fn (x) = nen ln(x) (1 − xn ) → 0 quando n → ∞.
Desde que
Z
1
fn (x) dx =
0
n
n
1
−
→
n + 1 2n + 1
2
quando n → ∞,
Podemos concluir do teorema anterior que a convergência de fn para a função nula não é uniforme
no intervalo [0, 1].
Theorem 1.1.5 (Permuta de Limite com Derivadas) Seja fn : [a, b] → R uma seqüencia de
funções de classe C 1 (fn e fn0 contı́nuas em [a, b]) tal que, para algum x0 ∈ [a, b] a sequência numérica
(fn (x0 )) converge. Se fn0 convergem uniformente para alguma função g no intervalo [a, b] e então (fn )
converge uniformemente para alguma função f derivável em [a, b] e f 0 (x) = g(x) para todo x ∈ [a, b].
Este último significa que
dfn
d lim fn = lim
.
n→∞
dx n→∞
dx
Proof: Do teorema fundamental do cálculo temos que
Z x
fn (x) = fn (x0 ) +
fn0 (r) dr
x0
Do teorema anterior segue que, para cada x ∈ [a, b], a sequência (fn (x)) converge pontualmente para
algum f (x) ∈ R me da identidade anterior concluimos que
Z x
f (x) = f (x0 ) +
g(r) dr.
x0
5
Pelo teorema ? a função g é contı́nua, e do teorema fundamental do cálculo, segue que f é derivável
com f 0 = g. Resta provar que a convergência de (fn ) para f é uniforme em [a, b]. Seja > 0, para
cada n ∈ N temos que
Z x
0
fn (x) − g(x) dx
|fn (x) − f (x)| ≤ |fn (x0 ) − f (x0 )| + Z
x0
b
≤ |fn (x0 ) − f (x0 )| +
|fn0 (x) − g(x)| dx.
a
das hipoteses, existe n0 ∈ N tal que, para todo n ≥ n0 tem-se que
|fn (x0 ) − f (x0 )| <
2
e |fn0 (x) − g(x)| <
,
2(b − a)
∀x ∈ [a, b].
Aplicando estas desigualdades em ?, temos que
|fn (x) − f (x)| < ,
∀n ≥ n0 ,
∀x ∈ [a, b].
2
Exemplo: consideremos a sequência de funções fn :]0, 1] → R dada por
fn (x) =
sin(nx)
n
Esta sequência converge uniformemente para a função nula, porêm a sequência de suas derivadas
fn0 (x) = cos(nx) não converge em nenhum ponto do intervalo ]0, 1]. De fato,
6
1.2
Exercı́cios
1. Considere a sequência de funções fn (x) =
n
X
xk .
k=0
(a) Mostre que a sequência de funções não converge para |x| ≥ 1.
(b) Usando a definição, mostre que a sequência converge pontualmente todo ponto de ] − 1, 1[
porem a convergência não é uniforme.
(c) Usando a definição, mostre que a sequência converge uniformemente em [−r, r] para qualquer 0 < r < 1 fixado.
2. Considere a sequência de funções fn : [0, ∞[→ R dadas por
fn (x) =
xn
1 + xn
Determine a função limite e mostre que a convergência não é uniforme.
3. Sejam (fn ) e (gn ) sequências de funções que convergem uniformemente para as funções f e g
repectivamente no conjunto D. Prove que
(a) fn + gn converge uniformemente para f + g em D.
(b) Se f e g são funções limitadas, então fn · gn converge uniformemente para f · g em D.
(c) Se existe α > 0 tal que |g(x)| ≥ α para todo x ∈ D, então 1/gn converge uniformemente
para 1/g em D.
4. Considere a sequência de funções fn : [0, 1] → R dadas por fn (x) = nx(1 − x)n . Calcule a
função limite e mostre que a convergência não é uniforme, porêm verifique que vale
Z 1
Z 1
lim
fn (x) dx =
lim fn (x) dx.
n→∞
0
0
7
n→∞