Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada - UFRGS
Processo Seletivo de Mestrado 2014/1
Nome:
Documento:
Instruções:
(1) Escolha, indique e desenvolva quaisquer 4 dentre as 6 questões abaixo, contemplando
as três áreas do exame;
(2) Seja claro e objetivo;
(3) Use lápis ou lapiseira, de preferência;
(4) Use a caneta para assinar.
ÁREA 1: Cálculo Avançado
Questão 1: Seja I um intervalo e f : I → R uma função Hölder contı́nua, isto é, existem
M > 0 e α > 0 tal que
|f (x) − f (y)| ≤ M |x − y|α
para todo x, y ∈ I.
a) Prove que se α > 1 então f é constante.
b) Prove que se α = 1 então f não é necessariamente diferenciável em I.
c) Prove usando a definição acima que a função g(x) = x2 definida no intervalo [0, 4] é
Hölder contı́nua com α = 1.
Questão 2: Uma sequência {xn }n∈N tem variação limitada quando a sequência {vn }n∈N
n
X
dada por vn =
|xi+1 − xi | é limitada. Prove as seguintes afirmações:
k=1
a) Seja {xn }n∈N uma sequência de variação limitada e seja {vn }n∈N a sequência definida
acima associada a ela. Prove que ambas as sequências convergem.
b) Dê um exemplo de uma sequência convergente que não seja de variação limitada.
c) Seja {xn }n∈N uma sequência onde x1 = 1 e xn+1 = 1 + x1n . Verifique que
1
|xn+2 − xn+1 | ≤ |xn+1 − xn | para todo n ∈ N.
2
Conclua que existe a = lim xn e determine a.
n→∞
ÁREA 2: Álgebra Linear
Questão 3: Seja A uma matriz m × n de posto n e seja P = A(AT A)−1 AT .
a) Mostre que P b = b para todo b ∈ R(A), onde R(A) = {Av : v ∈ Rn }.
b) Se b ∈ R(A)⊥ , mostre que P b = 0, onde R(A)⊥ é o complemento ortogonal de R(A).
c) Mostre que P k = P T para todo k = 1, 2, 3, 4, ...
1
2
Questão 4: Considere:






x1
y1
a a2 − 1 0
2a
a , para a parâmetro, x =  x2  e y =  y2 
• A matriz A =  0
x3
y3
0
a
2a
3
3
T
• A aplicação h., .i : R × R → R definida por hx, yi = x Ay.
a) Encontre o determinante de A e verifique para que valores de a o sistema Ax = 0 é
determinado ou indeterminado.
b) Encontre os autovalores da matriz A em função de a.
c) Faça a = 2 e neste caso encontre bases para os autoespaços de A e verifique se A é
diagonalizável (explique).
d) Determine para quais valores de a h., .i define um produto interno em R3 .
ÁREA 3: Métodos de Matemática Aplicada
Questão 5:
Encontre a distribuição estacionária de temperatura em uma placa retangular
fina, onde dois extremos são mantidos isolados, um dos lado é mantido à
temperatura zero e a temperatura do lado restante é dada por f (x), isto é:
∇2 u = 0,
0 < x < a, 0 < y < b,
u(0, x) = f (x), 0 ≤ x ≤ a,
u(x, b) = 0,
0 ≤ x ≤ a,
ux (0, y) = 0, ux (a, y) = 0.
Questão 6: Esta questão é sobre variável complexa:
a) Se γ é uma curva de Jordan que contém ±i mas não contém 0, mostre que
Z
ez
dz = −2πisen1.
2 2
γ z (z + 1)
cos z
b) Encontre o resı́duo de f (z) = 2
.
z senz