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Universidade
Federal
de
Uberlândia
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Disciplina: Fundamentos de Matemática (GFI166) Curso: Filosofia
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Prof.: Germano Abud
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3 Lista de Exercı́cios - 09/01/2015
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a
1. Um teorema pode ser verdadeiro, partindo-se de hipóteses falsas? Justifique.
2. “Se 0=1 então 3=2” é um teorema?Justifique.
3. Dê exemplo de uma sentença condicional que não é nem teorema e nem definição.
4. Identifique a(s) hipótese(s) e a tese em cada sentença abaixo, reescrevendo-a na sua forma
condicional.
a) Quando a soma dos algarismos de um número é divisı́vel por 3, este número também é
divisı́vel por 3.
b) O determinante de uma matriz que possui alguma linha ou coluna nula, é nulo.
c) Três pontos num plano, que não são colineares determinam um cı́rculo.
d) O comprimento de um lado de um triaângulo é menor do que a soma dos comprimentos
dos outros dois lados.
n
e) 22 não é primo, quando n = 5.
f ) Por duas retas paralelas passa um só plano.
5. Reescreva cada teorema abaixo utilizando o termo “condição necessária” e depois utilizando
o termo “condição suficiente”.
a) Se dois números terminam em 76, então o mesmo ocorre com o produto destes números.
b) Se uma matriz quadrada possui duas colunas proporcionais, então seu determinante é
nulo.
y2 − y1
y3 − y2
c) Os pontos (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 ) do plano são colineares se
=
x2 − x1
x3 − x2
d) Um número inteiro é divisı́vel por 4, se o número formado pelos seus dois últimos algarismos for divisı́vel por 4.
6. Reescreva cada teorema abaixo na forma “Se... então...”.
1
a) Uma condição necessária para que um número seja divisı́vel por 6, é que ele seja divisı́vel
por 2 e por 3.
b) Uma condição suficiente para que um triângulo seja isósceles é que ele tenha dois ângulos
congruentes.
c) Uma condição necessária para que dois números terminem em 1, é que seu produto
também termine em 1.
7. Enuncie a recı́proca de cada teorema abaixo:
a) Se duas retas forem cortadas por uma transversal, e as medidas dos ângulos correspondentes forem iguais, então essas retas são paralelas.
b) Todo número da forma 4n + 3 é ı́mpar.
c) Uma condição suficiente para que o logaritmo de um número real seja negativo, é que
este número esteja no intervalo (0, 1).
8. A recı́proca do Teorema de Pitágoras é verdadeira. Enuncie o Teorema de Pitágoras e sua
recı́proca.
9. Dê exemplos de sentenças matemáticas implicativas onde:
a) A sentença e sua recı́proca sejam verdadeiras.
b) A sentença e sua recı́proca sejam falsas.
c) A sentença seja verdadeira e sua recı́proca seja falsa.
d) A sentença seja falsa e sua recı́rpoca seja verdadeira.
10. Considere três proposições P1 , P2 , P3 tais que P1 ⇒ P2 ⇒ P3 ⇒ P1 . Mostre que estas
proposições são equivalentes, isto é, P1 ⇔ P2 ⇔ P3 .
11. Verifique que:
a) (P → (Q → R)) ⇔ (Q → (P → R))
b) (P ∧ Q → R) ⇔ P → (Q → R)
12. Em cada “equivlência” abaixo existe uma implicação que não é válida. Identifique-a e mostre
a não validade, exibindo um contra-exemplo.
a) a = b ⇔ |a| = |b|.
b) a2 = b2 ⇔ a = b.
c) a < b ⇔ a2 < b2 .
d) ab = 0 ⇔ a = 0 e b = 0.
2
e) Dois números terminam em 6 se, e somente se, seu produto termina em 6.
13. Relembre a demonstração (em sala) de que a soma de dois racionais é um racional. Agora
mostre que:
a) o produto de dois números racionais e um número racional.
b) Se b é um número racional não nulo, então
b4 − 2b
é racional.
b + b12
14. Suponha que o seguinte teorema já foi demonstrado: “Se um inteiro k divide o produto a.b
então k divide a ou k divide b”. Usando este resultado prove, por redução ao absurdo, o
seguinte teorema:
O produto de dois números ı́mpares é um número ı́mpar.
15. Na lógica matemática, qual seria a negação da frase “Todo gato é preto” ?
16. Escreva a negação das seguintes sentenças:
a) ∼ (P ∧ Q) ∨ (P ∨ ∼ Q)
b) ∼ (P ∧ Q) ⇒ P
17. Escreva a contrapositiva das sentenças:
a) H1 ∧ H2 ∧ H3 → T .
b) H → T1 ∨ T2 ∨ T3 .
18. Determine a contrapositiva de cada sentença abaixo:
a) Se xy = 0 então x = 0 ou y = 0.
b) n ∈ N; −2 > n > −4 ⇒ n = −3
19. Provando a contrapositiva, demonstre a sentença: “ Se a e b são números reais tais que
a4 + b6 = 0 então a = b = 0”.
20. O problema a seguir encontra-se no livro “O Homem que Calculava”. No livro, Beremiz Samir é um viajante e calculista persa que, em seu caminho, depara-se com diversos problemas
lógico-matemáticos aparentemente sem solução. Ele os resolve de forma simples e transparente, explicando aos seus observadores e aos leitores como chegou a tais conclusões, e, em
algumas situações, recebe lindos presentes e, em outros, se livra de situações complicadas e
potencialmente perigosas. Suas aventuras tornam-se lendárias por toda a antiga Arábia e ele
encanta a reis, xeiques e sábios. No penúltimo capı́tulo do livro, Beremiz pede, ao Rei, a mão
da jovem Telassim, filha do xeique Iezid Abud-Hamid, em troca das riquezas e glórias prometidas por ele. O Rei após conferência com o xeique Iezid decide que Beremiz poderá casar-se
3
com Telassim desde que resolva um problema criado por um dervixe (religioso mulçumano)
do Cairo que consistia na seguinte questão:
O rei possuı́a cinco escravas, duas tinham os olhos negros e as três restantes tinham os
olhos azuis. “As duas escravas de olhos negros, quando interrogadas,” diziam sempre a
verdade, enquanto as de olhos azuis sempre mentiam. Beremiz poderia interrogar três das
escravas, que estariam com o rosto totalmente cobertos, mas poderia fazer apenas uma
única pergunta a cada uma delas, para então descobrir a cor dos olhos de cada
escrava.Beremiz usando de astúcia e lógica, pergunta à primeira escrava de que cor eram os
olhos dela, mas esta responde em um dialeto desconhecido e Beremiz, apesar do rei
determinar que as próximas perguntas devessem ser respondidas adequadamente, perdeu a
resposta da primeira escrava. Sem se abalar, o calculista seguiu para a segunda escrava e
perguntou qual fora a resposta que a primeira escrava acabara de proferir. A segunda
escrava respondera que fora: “Os meus olhos são azuis”. À terceira escrava o calculista
perguntou qual era a cor dos olhos das duas primeiras. Ela respondeu que a primeira tinha
olhos negros e a segunda tinha olhos azuis.
Assim, Beremiz determinou a cor dos olhos das 3 escravas.
a) Diga qual foi a conclusão de Beremiz, explicando como Beremiz chegou a esta conclusão.
b) Seria possı́vel a Beremiz determinar a cor dos olhos de n escravas, com uma única pergunta! Bastaria que ele se dirigisse a qualquer uma das escravas e perguntasse: “Se meu
amigo lhe indagasse a cor dos olhos de cada uma de vocês, o que você lhe responderia?”
Qual a lógica na afirmação de que, com esta única pergunta, seria possı́vel determinar
a cor dos olhos de todas as escravas?
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Como TRABALHO , os seguintes exercı́cios da LISTA 3 deverão ser entregues no dia 23/01:
Alice Carolina Bastos Carvalho Machado - 1 - 5 - 9 - 13
Everson Rodrigues Carrijo - 2 - 6 - 10 - 14
Gabriel Galbiatti Nunes - 3 - 7 - 11 - 15
Karla Cristina Pereira - 4 -8 - 12 - 16
Marina Valesquino Affonso dos Santos - 5 -9 - 13 - 17
Roberto Marcio Soares - 6 - 10 - 14 - 18
Rosalia Maria Medeiros - 7 - 11 - 15 - 19
Victor Mariotto Palma - 8 - 12 - 16 - 20
No dia 16/01 NÃO haverá aula. Estarei viajando no perı́odo 16/01 a 21/01.
No dia 23/01 faremos uma aula de dúvidas/revisão e nos primeiros 20min da aula será sorteado
um exercı́cio desta lista para ser feito (sem consulta), valendo 3 pontos a serem somados na nota
da prova 1 (substitui a questão que foi anulada).
A prova 2 ocorrerá no dia 30/01.
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