Universidade Federal de Campina Grande
AULA 01 - NÚMEROS REAIS
Autores
Prof. Anselmo Ribeiro Lopes ∗
Mayra Clara Albuquerque Venâncio dos Santos†
Cuité, 06 Dezembro de 2012
Nesta aula, iremos de uma maneira pouco formal apresentar as principais
propriedades do conjunto dos números reais, denotado aqui por R.
1
Reta Real
A Evolução é a Lei da Vida, o Número é a Lei do Universo, a Unidade é a Lei de Deus.
Pitágoras
Indicaremos por N, Z e Q os conjuntos dos números naturais, inteiros e
racionais, respectivamente. Assim,
N = {1, 2, 3, . . .} ,
(1)
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} e
(2)
na
o
Q =
; a, b ∈ Z, b 6= 0 .
(3)
b
Neste curso iremos utilizar o conjunto dos números naturais iniciando do
número 1, uma vez que esse conjunto iniciou da idéia de contagem, e quando
fazemos uma contagem, iniciamos a partir da unidade e não do número 0.
Além da questão histórica que permeia esse fato, já que o número zero surgiu
muito tempo depois da unidade1 .
∗
email: [email protected]
Colaboradora direta - email: [email protected]
1
Assistam ao vı́deo interessantı́ssimo que aborda sobre essa questão e outras, no link:
http://www.youtube.com/watch?v=3rijdn6L9sQ
†
1
Uma outra observação pertinente a se fazer, é observar o porquê no
conjunto dos números racionais Q, sempre devemos ter que o denominador é
um número não-nulo. O que é normalmente expressado pelos professores em
suas aulas, dizendo que não podemos dividir um número por 0. Na verdade,
expressões do tipo 0/0 e 1/0 são desprovidas de significado matemático. De
fato, da própria definição de divisão de números, sabemos que
a
= c, significa a = b.c,
b
portanto se escrevermos
0
1
=c e
= d,
0
0
estas igualdades significariam que 0 = 0.c e 1 = 0.d. Porém, para todo
número c temos que 0.c = 0 e nenhum número d satisfaz 0.d = 1. Assim,
dizemos que
0
0
é uma ”expressão indeterminada”e que
1
é uma ”divisão impossı́vel”.
0
De maneira geral, toda divisão do tipo a/0, com a 6= 0 é impossı́vel. Uma
noção importante no conjunto Q é a:
Definição 1 (Fração Irredutı́vel) Uma fração a/b, com b 6= 0 é dita irredutı́vel2 quando o m.d.c {a, b} = 1, ou seja, quando o numerador e o
denominador são primos entre si. Dito de outra forma, uma fração é irredutı́vel, quando o único divisor comum entre eles é 1.
Exemplo:
2 3 71
, ,
3 5 17
são irredutı́veis, pois m.d.c {2, 3} = m.d.c {3, 5} = m.d.c {71, 17} = 1.
Porém,
2 6 18
, ,
não são irredutı́veis,
4 9 54
pois m.d.c {2, 4} = 2, m.d.c {6, 9} = 3 e m.d.c {18, 54} = 9.
Mas, é importante observar que toda fração que não é irredutı́vel, pode
ser simplificada até se tornar uma.
Os números racionais podem ser representados por pontos em uma reta
horizontal ordenada.
2
Para revisar sobre Máximo Dividor Comum, indicamos o site da Só Matemática:
http://www.somatematica.com.br/fundam/mdc.php
2
Antigamente acreditava-se que o conjunto dos números racionais eram
suficientes para expressar qualquer número, principalmente na época Pitagórica. Porém, foi observado ainda nessa época que isso não era verdade,
como veremos a seguir3 .
Suponhamos que temos um triângulo retângulo com catetos medindo 1,
a seguinte situação é representada na figura abaixo:
Qual a medida de d, ou seja, da hipotenusa desse triângulo? Pelo Teorema de Pitágoras, sabemos que
√
d2 = 12 + 12 ⇒ d2 = 2 ⇒ d = 2.
√
Projetando esse valor sobre o eixo x obtemos o ponto P cujo valor é 2.
A pergunta que fazemos a partir de agora é:
√
Conjectura 1
2 ∈ Q?
Para responder essa questão, vejamos antes, dois interessantes e importantes resultados sobre os números inteiros.
Proposição 1 Seja a ∈ Z. Afirmamos que,
(i) Se a for ı́mpar, então a2 também é ı́mpar,
(ii) Se a2 for par, então a é par.
3
Para saber mais sobre a história matemática envolvida nesse fato, veja o link: http:
//pt.wikipedia.org/wiki/Hipaso_de_Metaponto
3
Prova.
(i) Como a é ı́mpar, então podemos escrever a na forma a = 2k + 1, k ∈ Z.
Então,
a2 = (2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1 = 2m + 1,
onde m = 2m + 1 e portanto, m ∈ Z.
Como conseguimos mostrar que a2 pode ser escrito na forma que caracteriza um número ı́mpar, concluimos que a2 é também um número ı́mpar.
(ii) Iremos fazer a demonstração usando o que chamamos na matemática de
demonstração por absurdo4 . Para isto, suponhamos por contradição que o
que afirmamos esteja errado, isto é, que a é um número ı́mpar. Logo pelo
ı́tem (i), a2 seria ı́mpar. O que é um absurdo, uma vez que estamos supondo
que a2 é par.
De posse dessa proposição, podemos responder a nossa pergunta.
Prova da Conjectura 1.
√
Suponhamos que isso seja verdade. Ou seja, 2 ∈ Q. Logo, podemos
escrever
√
p
2=
(4)
q
fração irredutı́vel5 , com q 6= 0, isto é, m.d.c {p, q} = 1. Então, elevando
ambos os membros de (4) ao quadrado, obtemos:
2=
p2
⇒ p2 = 2q 2 = 2m
q2
(5)
onde m = q 2 . Assim, observamos que p2 é par. Logo, pelo ı́tem (ii) da
Proposição 1, temos que p é par. Portanto, podemos escrever
k ∈ Z.
p = 2k,
(6)
De (5) e usando (6), obtemos ainda que,
q2 =
p2
(2k)2
4k 2
=
=
= 2k 2 = 2r,
2
2
2
(7)
onde r = k 2 . Logo q 2 é par e novamente por (ii) da Proposição 1, q é par.
Ora, supomos no inı́cio que m.d.c {p, q} = 1, isto é, a fração é irredutı́vel, mas mostramos que p e q são números pares. O que implica, que
4
Para saber mais sobre essa técnica matemática consulte: http://amatematicapura.
blogspot.com.br/2012/07/demonstracao-por-absurdo.html
5
Podemos escolher uma fração irredutı́vel e, caso ela não seja, podemos simplificá-la
de modo a torná-la uma.
4
tanto p como q são pelo menos divisı́veis por 2, ou seja, que pelo menos
m.d.c {p, q} = 2. O que é√uma contradição. E essa contradição foi obtida
do fato de supormos que 2 ∈√Q.
Portanto, concluimos que 2 6∈ Q.
Acabamos de provar que
√
2 ∈ Qc .
Definição 2 Ao conjunto dos números Qc , chamamos o conjunto dos números
irracionais.
Outros números conhecidı́ssimos que são irracionais6 π e e, mas a demonstração desses fatos, foge ao conteúdo desse curso.
Definição 3 O conjunto dos números reais, denotado por R, é definido
como a união disjunta de Q e Qc , isto é,
R = Q ∪ Qc .
Em termos do diagrama de Venn, temos
Agora podemos representar os números reais em uma reta orientada,
chamada reta real ou simplesmente reta.
6
Os interessados em ver uma demonstração de que e ∈ Qc assistam ao vı́deo: http:
//www.youtube.com/watch?v=S2G8f-vkaOQ
5
Em R, temos a relação de ordem ”≤”, menor ou igual. A notação
a < b, significa a ≤ b e a 6= b. A notação a > b é a negação de a ≤ b e a
negação de a < b.
Dados a, b, c ∈ R, a relação ”≤”, por ser de ordem, gozam das três
propriedades a seguir:
Propriedades 1 Sejam a, b ∈ R, vale as seguintes propriedades
(i) a ≤ a; (Reflexiva)
(ii) Se a ≤ b e b ≤ a, então a = b; (Anti-Simétrica)
(iii) Se a ≤ b e b ≤ c, então a ≤ c. (Transitiva)
Como conseqüência dessas propriedades temos:
(iv) Para todo a, b ∈ R, tem-se a ≤ b ou b ≤ a;
(v) Se a ≤ b e c ≤ d então a + c ≤ b + d.
(vi)
a≤b⇒
c.a ≤ c.b , quando c > 0
c.a ≥ c.b , quando c < 0
A propriedade (iv) quer dizer que dois elementos a, b ∈ R são sempre
comparáveis. A propriedade (v) é chamada de invariância por translação.
Uma consequência imediata de (vi) é que se a, b ∈ R e a < b, multiplicando
ambos os membros por −1 então −a > −b, ou seja, multiplicando uma desigualdade por um número negativo, invertemos o sentido dessa desigualdade.
Agregam-se a reta real dois sı́mbolos, +∞ (abreviado por ∞) e −∞, que
não são números. Denotaremos
R∗ = R ∪ {−∞, ∞}
a reta real estendida. Neste caso,
∀x ∈ R,
− ∞ < x < ∞.
temos
Definição 4 Dados a, b ∈ R, com a ≤ b e −∞ < c ≤ ∞, os seguintes
subconjuntos de R são chamados intervalos,
1. (a, b) = {x ∈ R; a < x < b} ;
2. [a, b] = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b} ;
3. [a, b) = {x ∈ R; a ≤ x < b} ;
6
4. (a, b] = {x ∈ R; a < x ≤ b} ;
5. (−∞, a) = {x ∈ R; x ≤ a} ;
6. (−∞, c) = {x ∈ R; −∞ < x < c} ;
7. [a, ∞) = {x ∈ R; x ≥ a} ;
8. (a, ∞) = {x ∈ R; x > a} .
Ao considerarmos a = b, obtemos ainda outros intervalos, a saber:
• O conjunto vazio ∅ = (a, a] e
• o conjunto unitário, {a} = [a, a], chamado de intervalo degenerado.
Se considerarmos c = ∞, então R = (−∞, ∞), também é visto como um
intervalo.
Podemos ainda classificar os intervalos como:
• Intervalo aberto, item 1;
• Intervalos fechado, item 2;
• Intervalos Infinitos, como nos itens 5, 6, 7 e 8.
Informações Importantes
Estudem e assistam aos vı́deos abaixo que podem ajuda-los a complementar
o assunto tanto aqui descrito como o abordado na sala de aula.
• Conjuntos - Parte 1 a Parte 3 e Intervalos Reais - Parte 1 a Parte 5
• Para próxima aula, assistam: Inequações - Parte 1 a Parte 10 e Módulo
-Parte 1 a Parte 5
Bom estudo a todos!
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