Álgebra Matricial (conceitos básicos)
➢ Matriz
Am×n
aij - Elemento da matriz
➢ Matriz Linha (1×n)
➢ Matriz Coluna (m×1)
M atem ática para as ciências sociais
 a11 a12 Λ a1n 
a
a22 Λ a2 n 
21

=
 Μ Μ Μ Μ


a
a
a
 m1 m 2 Λ
mn 
i-índice de linha
A = [a11 a12 Λ
 a11 
a 
A =  21 
 Μ
 
am1 
j-índice de coluna
a1n ]
Álgebra Matricial (conceitos básicos)
➢ Submatriz é a matriz que se obtém a partir de outra, eliminando algumas
linhas e/ou colunas, sem alterar a disposição dos restantes elementos.
➢ Exemplo: A partir da matriz
2
 −1
A= 4 −2

− 2
1
1
3
4
0
− 1

3
forme a submatriz A1 eliminando a 1ª linha e as 1ª
e 4ª colunas.
➢ Prolongar uma matriz é ampliá-la com uma ou mais filas finais (linhas em
baixo e/ou colunas à direita).
M atem ática para as ciências sociais
Álgebra Matricial (conceitos básicos)
➢ Elementos distintos de uma matriz são elementos que ocupam lugares diferentes no
interior da matriz, independentemente do seu valor.
➢ Exemplo:
 1 −1
A=
 2 0
3
1
Os elementos a11 e a23 são elementos da matriz A distintos.
➢ Elementos homólogos são elementos que, entre matrizes do mesmo tipo, ocupam a
mesma posição relativa; ou seja, são elementos que possuem iguais índices naturais.
➢ Exemplo:
 1 3
2 − 4
➢ A=
,B = 


0
1
1
2
−




M atem ática para as ciências sociais
Os elementos a21=0 e b21=1 são homólogos.
Álgebra Matricial (conceitos básicos)
➢ Igualdade de matrizes: Duas matrizes dizem-se iguais quando os seus elementos
homólogos são iguais.
➢ Matriz Transposta - (A T ) - é a matriz que se obtém de A, trocando ordenadamente
as linhas pelas colunas, ou vice-versa: a 1ª linha pela 1ª coluna, a 2ª linha pela 2ª
coluna, e assim sucessivamente.
➢ Exemplo: Considere a seguinte matriz
1
 2
A = − 5
4

 − 1 − 2
Determine A T e (A T )T.
M atem ática para as ciências sociais
3
0

3
Álgebra Matricial (conceitos básicos)
➢ Elementos principais são os elementos, numa matriz quadrada, que possuem índices
de linha e de coluna iguais.
➢ A diagonal que agrupa os elementos principais designa-se por Diagonal Principal. A
outra diagonal que se opõe à principal tem o nome de Diagonal Secundária.
➢ Elementos Opostos são os elementos que, numa matriz quadrada, se dispõem
simetricamente em relação à diagonal principal ( aij é oposto de aji com i ≠ j).
➢ Exemplo: Considere a matriz de 3ª ordem
 2 −1
A= 5
1

− 4 − 3
3
0

1
M atem ática para as ciências sociais
Indique: Os elementos principais
Os elementos que formam a diagonal secundária
Os elementos opostos
Álgebra Matricial (conceitos básicos)
➢ Matriz simétrica é uma matriz quadrada cujos elementos opostos são iguais, isto é,
onde aij = aji com i ≠ j .
1
3
 2
➢ Exemplo: A matriz A =  1 4 − 2


 3 − 2
3
é simétrica.
Determine a matriz transposta da matriz A .
➢ Simétrica duma matriz A é uma nova matriz em que os elementos são simétricos
dos da matriz inicial. Representa-se por - A .
1
3
 2


➢ Exemplo: Determine a simétrica da matriz A =  1 4 − 2
 3 − 2
3
M atem ática para as ciências sociais
Álgebra Matricial (conceitos básicos)
➢ Matriz Triangular é a matriz quadrada cujos elementos situados para um dos lados
da diagonal principal são todos nulos, e entre os elementos do outro lado existe, pelo
menos, um diferente de zero.
➢ Exemplos:
0 − 2
 2
Matriz Triangular Superior: A =  0 − 1 5
 0
0
3
0
0
 2
Matriz Triangular Inferior: B =  1 − 3 0


 3 − 1 − 2
➢ Matriz Diagonal é uma matriz quadrada cujos elementos não principais são todos
nulos.
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Álgebra Matricial (conceitos básicos)
➢ Matriz Escalar é uma matriz diagonal na qual todos os elementos principais são
iguais.
➢ Matriz Identidade é uma matriz escalar na qual os elementos principais são iguais à
identidade. Designa-se, habitualmente, por I.
➢ Exemplo: Matriz identidade de ordem 3:
1 0 0 
I 3 = 0 1 0 


0 0 1
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Operações sobre matrizes
➢ Adição algébrica de matrizes: A ± B
A adição algébrica de matrizes só é possível se elas forem
do mesmo tipo ou ordem
●
Adição de matrizes: A + B
A matriz soma, que se representa por A + B, obtém-se adicionando os
elementos homólogos das matrizes parcelares.
Propriedades :
Comutativa: A+B = B + A
Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
A matriz nula é o elemento neutro: A + ∅ = A
A matriz transposta de uma soma de matrizes é igual à soma das
matrizes transpostas: (A+B)T = AT + BT
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Operações sobre matrizes
●
Subtracção de matrizes : A - B
Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo, chama-se diferença de
matrizes e representa-se por A - B a matriz do mesmo tipo que se obtém
subtraindo os elementos homólogos das matrizes parcelares ou
adicionando à matriz A a simétrica da matriz B.
●
Produto de um número por uma matriz: kA
Para multiplicar um número k ∈IR por uma matriz, multiplica-se esse
número por todos os elementos da matriz.
Propriedades
Comutativa: kA = Ak
O produto de um número k pela matriz identidade é uma matriz escalar.
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Operações sobre matrizes
➢ Produto de matrizes: A × B
O produto de matrizes só é possível quando o número de colunas da primeira
matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz.
A matriz produto, que se representa por A × B, A.B ou AB, será uma nova matriz
que possuirá o número de linhas da primeira matriz (A) e o número de colunas da
segunda matriz (B).
Para efectuar o produto de A por B multiplica-se cada elemento da linha i de A pelo
elemento correspondente da coluna j de B, somando algebricamente os resultados
desses produtos.
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Operações sobre matrizes
➢ Propriedades:
● O produto de matrizes não é, em geral, comutativo.
Quando A × B = B × A, as matrizes dizem-se permutáveis ou comutáveis.
●
●
●
Propriedade Associativa:( A × B) × C = A ×(B × C)
Propriedade distributiva da multiplicação em relação á adição:
A × (B + C) = (A × B) + (A × C)
A matriz transposta de um produto de matrizes é igual ao produto das
matrizes transpostas pela ordem inversa: (A.B)T = BT . AT
●
A×∅=∅×A=∅
●
A×I=I×A=A
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Operações Elementares
➢ Operações elementares sobre as linhas (colunas) da matriz Ai:
– Troca de Linhas (ou colunas) entre si;
– Multiplicação
significativo,
de
uma
Linha
(ou
coluna)
por
um
factor
– Adição a uma Linha (ou coluna) de outra linha (ou coluna)
multiplicada por um factor significativo.
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Dependência Linear
Quando falamos de análise da dependência linear duma matriz, estamos a
referir-nos, em sentido lato, à análise da existência ou não de uma relação linear
entre as filas dessa matriz.
Seja A uma matriz do tipo m × n .
A Composição linear das linhas da matriz A é a matriz linha
onde li∈IR.
M = l1A1 + l2A2 + ... + lmAm
➢ As m linhas da matriz A são linearmente dependentes se e só se existem m escalares
l1, l2, ... , lm não todos nulos tais que
l1A1 + l2A2 + ... + lmAm = ∅
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Dependência Linear
➢ As m linhas da matriz A são linearmente independentes se se verifica que
l1A1 + l2A2 + ... + lmAm = ∅
só com todos os escalares l1, l2, ... , lm nulos.
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Condensação e Característica de uma matriz
➢ Característica de uma matriz - r(A) - é o número máximo de linhas (colunas) da
matriz que são linearmente independentes.
➢ Condensação é o processo que consiste em transformar uma dada matriz numa
triangular (superior ou inferior) de elementos principais significativos através das
operações elementares.
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Dependência Linear
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