Métodos Matemáticos da Fı́sica 1
Equação do Calor - Parte 2
A. Resolva os problemas abaixo. Estes exercı́cios são uma compilação de equações com diferentes
tipos de forçamentos (homogêneos ou não) e com diferentes tipos de condições de contorno.
Atenção na hora de resolver cada um deles! Em cada caso, identifique as condições de contorno
e dê sua interpretação fı́sica.


u
=
u
−
u

t
xx

 ut = uxx − u + x


u(0, t) = u(1, t) = 0, 0 < t < ∞
u(0, t) = 0, 0 < t < ∞
1.
4.
1

u(1, t) = 1, 0 < t < ∞


u(x, 0) = sin(πx) + sin(3πx), 0 ≤ x ≤ 1 

2
u(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 1


 ut = uxx + sin(πx) + sin(2πx)
 ut = uxx − ux ,
u(0, t) = u(1, t) = 0, 0 < t < ∞
2.
u(0, t) = u(π, t) = 0, 0 < t < ∞
5.

x

u(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 1
u(x, 0) = e 2 0 ≤ x ≤ π


ut = uxx
ut = uxx − 2ux − u + ext ,






u(0, t) = t, 0 < t < ∞
u(0, t) = 1, 0 < t < ∞
3.
6. (∗)
u(1,
t)
=
0,
0
<
t
<
∞
u(L, t) = πe−t , 0 < t < ∞






u(x, 0) = x(1 − x), 0 ≤ x ≤ 1
u(x, 0) = Lπ ex 0 ≤ x ≤ L
B. Considere uma barra unidimensional de comprimento π que foi construı́da utilizando-se um
material radioativo de densidade ρ, calor especı́fico c e condutividade térmica k. Este material,
ao decompor-se, libera quantidade de calor proporcional a sua temperatura, a uma taxa β. A
barra é mantida em um trocador de calor que consegue retirar, de cada extremidade, um fluxo
de calor α. É possı́vel alcançar um regime de temperatura permanente para a barra? Se sim,
qual deve ser o valor de α para que isto aconteça? O regime permanente corresponde a um
regime de temperatura constante na barra?
C.* Considere o problema do calor em uma barra unidimensional que tenha condutividade
térmica κ = κ(x) não constante.
1. Mostre, pela lei de conservação unidimensional, associada à lei de Fourier para o fluxo de
calor, que o campo de temperatura u(x, t) da barra deve satisfazer a equação
h
i
ut = κ(x)ux .
x
2. Considere uma barra definida entre x = 1 e x = e, que seja isolada nas extremidades e cuja
difusividade térmica seja κ(x) = x2 . Considere, igualmente, que o perfil de temperatura
inicial da barra seja u(x, 0) = (x − 1)(x − e). Formule este problema matematicamente.
3. Proponha uma mudança de variáveis x = ey e reescreva o problema para u(t, y) e resolva-o
pelo método da separação de variáveis.
4. O que aconteceria se você tentasse resolver o problema sem fazer esta mudança de variáveis?
Tente resolvê-lo desta forma e persista até encontrar um entrave para sua solução.
Métodos Matemáticos da Fı́sica 1 - 02/14 - Prof. Yuri Dumaresq Sobral - MAT/UnB