Definição analı́tica para o Limiar de Potencial e para
os Perı́odos Refratários Absoluto e Relativo do modelo de
Hodgkin-Huxley.
Peterson Taylor C. Barbosa,
Depto. de Matemática Aplicada, IMECC, UNICAMP,
13083-970, Campinas, SP
E-mail: [email protected]
1
Introdução
V +55
100
As equações de Hodgkin-Huxley são amplah
i,
αn (V ) =
(2)
1 − Exp −(V10+55)
mente conhecidas por definirem o paradigma
mais aceito a respeito da eletrofisiologia do
−(V + 65)
1
,
(3)
βn (V ) = Exp
neurônio, e como o modelo que previu a
8
80
existência dos canais de ı́ons na célula a partir
(V +40)
do estudo das condutâncias celulares. E após
h10
i,
αm (V ) =
(4)
um extenso número de trabalhos, desde a in1 − Exp −(V10+40)
trodução deste modelo nos anos 50, inúmeros
−(V + 65)
conceitos fisiológicos foram constatados a par,
(5)
βm (V ) = 4 Exp
18
tir deste paradigma. Dentre eles o Limiar de
7
−(V + 65)
Disparos ou Limiar de Potencial, e os Perı́odos
αh (V ) =
Exp
e
(6)
Refratários Absoluto e Relativo [6, 3, 5, 4, 1].
100
20
−1
O presente trabalho apresenta uma definição
−(V + 35)
βh (V ) = 1 + Exp
, (7)
analı́tica para o sistema de Hodgkin-Huxley ob10
tendo para cada um daqueles conceitos argumentos para sustentar nossa abordagem a par- e as demais expressões são parâmetros constantes do modelo associados às caracterı́sticas
tir de simulações numéricas.
elétricas especı́ficas da membrana celular neuronial, ḡK , ḡNa , ḡL são as condutâncias, EK ,
2 Modelo de Hodgkin-Huxley ENa , EL são os potenciais, e cm a capacitância.
Os ı́ndices K, N a, L referem-se aos ı́ons
As equações de Hodgkin-Huxley são dadas pelo
potássio, sódio e de “escape” (especialmente o
seguinte sistema [2, 9, 8]
cloro Cl− ) respectivamente. A Tabela 1 mostra
os valores usados neste trabalho.
dV
cm
= ḡK n4 (EK − V )+
dt
Íon EX (mV) ḡX (mS/mm2 )
ḡNa m3 h(ENa − V ) + ḡL (EL − V ) + Ie (t),
Na+
50,0
12,00
dn
+
= αn (V ) (1 − n) − βn (V ) n,
K
-77,0
3,60
(1)
dt
L
-54,402
0,03
dm
= αm (V ) (1 − m) − βm (V ) m,
dt
Tabela 1: Valores dos parâmetros.
dh
= αh (V ) (1 − h) − βh (V ) h,
dt
onde Ie : R → R é a função de Injeção de 3 Geração de Disparos
Corrente, αx : R → R e βx : R → R, com
x = n, m, h, são as funções de Taxa de Abertura Uma caracterı́stica capital esperada do moe Fechamento de Canais de Membrana respec- delo de Hodgkin-Huxley é a geração de disparos, ou a ativação de potenciais de ação.
tivamente,
Essa particularidade do modelo é determinada
pela ação da corrente de entrada Ie (t) que descreve uma fonte de pulsos elétricos, e.g., um
eletrodo introduzido na célula. As influências
desse termo podem ser analisadas classicamente de forma numérica como uma seqüência
de funções do tipo Heaviside H(t) (funções
degrau), mais especificamente pode ser vista
como uma seqüência de pulsos retangulares e
uma amplitude ∆Ii = Ii − I0 com
Figura 1: Exemplo do efeito de uma função de
Ie (t) =
N/2
X
∆Ii
Ht2i−2 (t) − Ht2i−1 (t)
(8)
i=1
onde {t0 , t1 , . . . , tN −1 } é uma seqüência de pontos que determina o inı́cio e o fim de cada
pulso respectivamente (ou seja, N é Par),
{∆I1 , . . . , ∆IN/2 } suas respectivas amplitudes
fonte de corrente Ie (t) na solução da variável de
tensão V do sistema (1). Os pontos que determinam os pulsos são mostrados como linhas verticais
pontilhadas. Note que apesar de o primeiro pulso
iniciar um PA com sucesso, o segundo pulso chega
a um patamar quase insuficiente de potencial, enquanto que o terceiro não dispara.
def
de corrente, e Ha (t) = H(t − a). A função de tencial no qual um número suficiente de canais de sódio tensão-dependentes abrem-se de
Heaviside é definida como

forma que a permeabilidade iônica relativa da
 1, se t > 0
1
membrana favorece o sódio sobre o potássio.
, se t = 0
H(t) =
 2
Contudo, podemos redefini-lo em termos ma0, se t < 0
temáticos como o valor constante de potencial
Definindo Ie (t) dessa maneira temos a vanta- tal que, a partir deste, um Potencial de Ação
gem de podermos trabalhar tanto com valores possa ser disparado. Na realidade, esse vade corrente constante como com pulsos de cor- lor não é exatamente uma constante, mas uma
rente e podemos destacar alguns fenômenos im- função dos parâmetros do modelo e dos valores
portantes associados ao potencial de ação que de ∆I, f e d, e portanto dependente também do
o modelo prevê. A fim de facilitar o estudo, tempo. Conseqüentemente, para cada conjunto
def
fazemos ∆Ii = ∆I como um valor constante de parâmetros do modelo e para cada função Ie
único, e também
dada temos um valor de limiar associado. Po
demos, ainda, estender este conceito inclusive
d, se i é Par
def
(9) para funções I com outras formas além da já
∆ti = ti+1 − ti =
e
f, se i é Impar
definida, contanto que estas sejam limitadas e
onde i = 0, 1, . . . , N − 1; e d é um valor consfaçam algum sentido do ponto de vista da motante representando o perı́odo do pulso; e f ,
delagem, e.g.,
também constante, o intervalo entre os pulsos
— note que se N → ∞ essa função tem perio1
Ie (t) = ∆I Sen t + f + I0 .
dicidade T = d + f . Doravante, consideramos
d
V : R+ → R uma solução do sistema (1), associada à dependência da amplitude s, fase r e
Apesar dessa abundância de possibilidades,
duração do pulso q como V : R+ × R3+ → R, assumiremos aqui neste trabalho limiares que
(t; s, r, q) 7→ V (t; s, r, q). Um exemplo de dis- se associem apenas com funções Ie (t) do tipo
paro de um PA é mostrado na Figura 1, onde descrito anteriormente pelas Equações (8) e (9),
a função de injeção de corrente é dada pela i.e., dependentes de um tempo t0 inicial, de
equação (8) com N = 6, ∆I = 7, t0 = 5, d = 3 uma amplitude de corrente ∆I, de um perı́odo
e f = 10.
de atividade d, de um perı́odo de inatividade
f , e de um determinado número de pulsos N .
Note ainda que, como estamos lidando essen4 Limiar de Potencial
cialmente com perturbações do regime estaO Limiar de Disparos ou de Potencial é defi- cionário, não importa o quão grande seja N , o
nido do ponto de vista fisiológico como o po- sistema sempre se estabilizará se nem d ou ∆I
injeção de corrente Ie (t). Definimos, assim, o
Limiar de Disparos para uma seqüência de tempos 0 6 t0 < t1 < . . . < ti < . . . < t2N −1 < ∞,
onde ∆ti = d = 1ms, ∀i par, e J1 = [t1 , t2 ],
como
∂
∗
∆I ∈ ∆I > 0 :
ΦJ (s) é máximo ,
∂s 1 s=∆I
(12)
Figura 2: Gráficos da relação entre a amplitude
do pulso s e a função auxiliar (10b) com J = J1 ,
na tentativa de um disparo de PA para um perı́odo
d = 1ms de atividade. Os pontos foram distribuı́dos
com uma discretização de passo constante no intervalo das amplitudes com 1000 pontos de amostra.
Intervalo de amplitude [∆I ∗ − ε, ∆I ∗ + ε]µA/mm2
com ε = 0, 1µA/mm2 .
tiverem módulo suficiente para que o oposto
ocorra. Indo mais além, vamos definir uma
função auxiliar Φ : R3+ → R, que chamaremos
de Função de Pico de Disparo ou Amplitude
Máxima de Disparo, como
def
Φ(s, r, q) = sup V (t; s, r, q),
(10a)
t>0
e sua restrição num dado intervalo J = [a, b],
0 6 a < b,
def
ΦJ (s, r, q) = sup V (t; s, r, q),
(10b)
t∈J
a fim de definirmos, a seguir, duas relações bastante úteis para nossa análise. E assim, para
q > 0 constante
∂
ΦJ (s + ε, r, q) − ΦJ (s, r, q)
def
ΦJ = lim
ε→0
∂s
ε
(11a)
∂
ΦJ (s, r + ε, q) − ΦJ (s, r, q)
def
ΦJ = lim
ε→0
∂r
ε
(11b)
onde J pode ser definido como J1 = [t1 , t2 ] para
(11a) e J2 = [t3 , ∞) para (11b), para N = 2;
ou J2 = [t3 , t4 ] para N > 3. A definição de
ΦJ (∆I, f, d), em (10b), no contexto de nosso
sistema, nos fornece o patamar de cada Pico de
Ultrapassagem para todos ∆I > 0, f > 0, d >
0. E as definições anteriores em (11a) e (11b)
nos fornecem um meio de estudar o comportamento das soluções do sistema quando variamos os parâmetros associados à função de
∂
∂
onde ∂s
ΦJ1 (s) = ∂s
ΦJ1 (s, f, d).
O valor do Limiar de Potencial encontrado
para nosso exemplo da Figura 1, e associado aos gráficos da Figura 2, é de ∆I ∗ ≈
9, 277µA/mm2 . Esse valor, todavia, não deve
ser interpretado como uma espécie de “barreira pontual” na qual qualquer pequena perturbação à direita ou à esquerda desse valor signifique que o Potencial de Ação será
ou não disparado, respectivamente. Como,
na prática, a Constante de Tempo do sistema
τm = rm cm nos fornece a ordem de grandeza para trabalharmos com um experimento
real dessa natureza [2], então esse limiar é melhor interpretado na prática como um intervalo [∆I ∗ − a τm , ∆I ∗ + a τm ] — onde a seria um coeficiente relacionado à sensibilidade
do sistema e à influência da precisão da medida nos resultados — e todos os valores abaixo
dele são chamados sublimiares e os acima, superlimiares. O intervalo em si é considerado
como sendo de profunda incerteza a respeito
do comportamento esperado de um PA. A Figura 2 nos confirma isso, já que a vizinhança
próxima ao limiar se revela como uma região
bastante instável, onde as caracterı́sticas qualitativas mudam rapidamente entre disparado e
não-disparado, de forma muito similar a uma
descontinuidade. O patamar máximo nessa fi∂
gura, ∂s
ΦJ1 (∆I ∗ , f, d) ≈ 482A, nos diz que
∂
θ∗ = ArcTan ∂s
ΦJ1 (∆I ∗ , f, d) ≈ 0, 4993π,
i.e., nesse ponto a inclinação da reta tangente é
quase perpendicular. Alguns autores se referem
a essa particularidade como Efeito ou Comportamento Tudo-ou-Nada.
Como podemos observar na Figura 1, apesar
de nossa função fonte de corrente ser razoavelmente “bem comportada”, os efeitos resultantes de uma seqüência de pulsos parecem não
obedecer a uma certa regularidade. Podemos
ver que os Potenciais de Ação não disparam a
qualquer momento e por qualquer motivo. As
variáveis de portão m, n, h fazem seu papel de
ativadoras do potencial quando isso convém, Perı́odo Refratário Relativo é o perı́odo
após o perı́odo refratário absoluto no qual
mas também respondem de forma inibitória em
se é mais difı́cil iniciar outro potencial de
outras situações.
ação com as mesmas caracterı́sticas do primeiro, e portanto, é o intervalo onde pre5 Perı́odos Refratários
cisamos de um ∆I1 maior que o ∆I inicial
para que o PA seja repetido. Assim, dados
Os Perı́odos Refratários são divididos em dois:
∆I > ∆I ∗ e ∆t0 > 0 constantes
o Absoluto, definido como o perı́odo de tempo
no qual não há a possibilidade de se iniciar
um potencial de ação a partir do regime estacionário do sistema; e o Relativo, como o
perı́odo após o perı́odo refratário absoluto que
é mais difı́cil para se reiniciar outro potencial
de ação. Nesse último perı́odo, o limiar de potencial é aumentado e decresce com o tempo
até chegar ao seu valor original. Podemos ser
conferidos nos Potenciais de Ação do gráfico
inferior da Figura 1. Como é mostrado nesse
gráfico, os 3 primeiros Picos de Ultrapassagem tem valores completamente distintos —
o Pico de Ultrapassagem número 3, inclusive,
nem pode ser considerado como tal pois nesse
caso o potencial não é disparado — e podemos notar que o segundo Potencial de Ação
sequer chegou a valores positivos. A seguir redefiniremos esses conceitos de forma matematicamente mais precisa para esse modelo. Entretanto, com o intuito de compreendermos melhor esses fenômenos, destacamos antecipadamente que as definições se passam nos intervalos de tempo compreendidos por 0 6 t0 <
t1 < . . . < ti < . . . < t2N −1 < ∞, onde
∆ti = d = 1ms, ∀i par, e ∆ti = f > 0, ∀i
ı́mpar; J1 = [t1 , t2 ] e J2 = [t3 , t4 ] para N > 3
— ou J2 = [t3 , ∞) para N=2.
∆t = min ∆t > 0 : ΦJ2 = ΦJ1 +
r=∆t
,
r=∆t
(14)
onde ΦJ = ΦJ (∆I, r, ∆t0 ), J = J1 , J2 .
Admitindo-se que ∆t− < ∆t+ , o Perı́odo
Refratário Relativo compreende o intervalo (t1 + ∆t− , t1 + ∆t− + ∆t+ ) = (t2 −
∆t+ , t2 ).
Figura 3: Gráfico da função auxiliar ΦJ2 (∆I, r, d)
destacando-se os limiares dos perı́odos refratários.
Este gráfico foi construı́do com uma discretização
de passo constante com 3000 pontos no intervalo
de [∆t+ − 10, ∆t+ + 30] ≈ [17, 58]ms. Os valores dos limiares de perı́odo encontrados são de
Perı́odo Refratário Absoluto é o perı́odo ∆t− ≈ 27,4638ms e de ∆t+ ≈ 24,3875ms, aprede tempo no qual não há a possibilidade sentados na figura como as retas verticais pontide se iniciar um novo potencial de ação lhada e vermelha cheia, respectivamente. Mostramos a relação entre os picos alcançados pelo sea partir de um segundo pulso de corrente
gundo pulso elétrico. Observe que ΦJ1 (∆I, r, d) é
idêntico ao primeiro, i.e., dados ∆I > ∆I ∗ mostrado como uma reta horizontal, pois
f não in— pois o primeiro PA deve ser ativado —, fluencia no comportamento do primeiro pulso. Note
e ∆t0 > 0 constantes, definiremos com a também a curva pós-relativo que cresce e depois vai
decrescendo lentamente até o patamar do pulso inirelação seguinte o valor deste limiar
cial.
∂ΦJ2
(∆I, r) é máximo ,
Perceba que nas definições de ∆I ∗ , ∆t+ e
∂r
r=∆t
−
(13) ∆t , tomamos o perı́odo de injeção de corrente
do pulso ∆t0 > 0 constante, mas na verdade,
∂
∂
onde ∂r ΦJ2 (∆I, r) = ∂r ΦJ2 (∆I, r, ∆t0 ). ele não tem uma participação direta nas deOu seja, o Perı́odo Refratário Absoluto, finições desses três limiares. Em verdade, para
em si, compreende o intervalo (t1 , t1 + cada d = ∆t0 > 0 diferente, temos a mudança
dos três limiares, ou seja, esse parâmetro deve
∆t− ).
∆t− ∈
∆t > 0 :
ser o mesmo para todas as três definições a fim
de que façam sentido, e assim estejam interconectadas. Portanto, as definições são sensı́veis
a esse parâmetro. Em geral, basta que os potenciais máximos sejam iguais para que o fim
do perı́odo refratário relativo seja confirmado
— inclusive por que, após esse perı́odo, podemos notar picos maiores que o pico inicial, ativados por um mesmo pulso idêntico (Figura 3).
O Limiar de Potencial para o segundo pulso é
aumentado nesse perı́odo para depois decrescer
lentamente, ou seja, nesse perı́odo o PA pode
ser disparado, mas somente se a amplitude da
corrente injetada no segundo momento é maior
que a do primeiro momento, ∆I1 < ∆I2 . Portanto, as definições desses perı́odos são muito
frágeis, apesar da grande versatilidade, e merecem muita atenção em sua aplicação em diversos contextos.
Figura
4:
Gráfico da função auxiliar
destacando-se o limiar do
Perı́odo Refratário Absoluto. Este foi construı́do
com uma discretização de passo constante de 1000
pontos. O valor do limiar de perı́odo encontrado
é de ∆t− ≈ 27,4638ms, apresentado na figura
como a reta vertical pontilhada. O intervalo do
gráfico é de [∆t− − ε, ∆t− + ε] ≈ [22, 26]ms,
onde ε = 2,0ms. Note que o máximo destes
gráficos é notadamente menor que o máximo
∂
da Figura 2, ∂r
ΦJ2 (∆I, ∆t− , ∆t0 ) ≈ 300,0A
(cerca de 38% a menos) apesar da grande
semelhança
entre
ambos.
∂
Entretanto,
θ− = ArcTan ∂r
ΦJ2 (∆I, ∆t− , ∆t0 ) ≈ 0,4989π
e o ângulo difere apenas de 4, 0 · 10−4 π e não
representa grande diferença entre essas inclinações
sendo, portanto, também bastante acentuada.
∂
∂r ΦJ2 (∆I, r, ∆t0 )
6
Discussão
Até o momento definimos indiscriminadamente
quantidades baseadas em conceitos reais sem
qualquer justificativa matemática para tanto.
O seguinte teorema nos garante que nossas definições de ∆I ∗ , ∆t− e ∆t+ são matematicamente factı́veis e, caso seja necessário, outros
conceitos mais podem ser definidos a partir dos
parâmetros do modelo.
Teorema (Dependência dos Parâmetros).
Seja U um conjunto aberto em R × Rn , e λ um
parâmetro vetor em um subconjunto aberto Λ
de Rm . Se f ∈ C k (Λ × U, Rn ), i.e., f é de classe
C k no espaço todo, com k > 1, então a solução
ϕ(λ, t, t0 , x0 ) do problema de valor inicial
ẋ = f (λ, t, x),
x(t0 ) = x0
(15)
é uma função de classe C k sobre (λ, t, t0 , x0 ).
[7, Appendix]
Como o modelo de Hodgkin-Huxley se enquadra perfeitamente nas condições do teorema, e a função f do modelo é inclusive
analı́tica, então os parâmetros são de classe C 1
no mı́nimo e as definições justificam-se.
Resumindo, dentro do Perı́odo Refratário
Relativo, os PAs disparados nunca alcançam os
patamares do primeiro disparo utilizando-se o
mesmo pulso, mas diferentemente do Perı́odo
Absoluto, existe uma amplitude de corrente,
maior que a amplitude inicial, com a qual
podemos iniciar um Potencial de Ação com
as mesmas caracterı́sticas do primeiro. Isto
pode ser interpretado, também, como a ação
fortemente inibitória das variáveis de portão
no perı́odo Absoluto, fracamente inibitória no
perı́odo relativo, e excitativa no perı́odo pósrelativo. A compreensão dessa caracterı́stica
é muito importante para o estudo da interação
entre neurônios via sinapses, pois fenômenos de
acumulação de Potenciais de Ação consecutivos
provenientes dessas sinapses são influenciados
diretamente, não somente por esses dois limiares, mas também pelo Limiar de Disparo —
pois todos os três representam caracterı́sticas
similares do Potencial de Ação.
Portanto, a partir de tudo que foi abordado
neste trabalho, esperamos que as definições
apresentadas sejam úteis tanto como forma
de estudar o modelo de Hodgkin-Huxley analiticamente (assim como outros modelos que
prevejam tais fenômenos) como também uma
ferramenta para encontrar os valores esperados destes limiares para fins de experimentos
empı́ricos.
Referências
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Neuroscience: Computational and Mathematical Modeling of Neural Systems. MIT
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[5] Margarida M. Aires et al. Fisiologia. Guanabara Koogan, 2nd edition, 1999.
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Mathematics. Springer-Verlag, 1st edition,
1991.
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its application to conduction and excitation
in nerve. Journal of Physiology, 117(4):500–
544, 1952. reprinted by Springer in Bull. of
Math. Bio., V.52, N.1-2, Jan, 1990.
[9] J. Keener and J. Sneyd. Mathematical Physiology, volume 8 of Interdisciplinary Applied Mathematics. Springer-Verlag, 1st edition, 1998.