Univ. de Trás-os-Montes e Alto Douro
Bioengenharia
Eng.a Biomédica
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Um teste velho de Análise Matemática I
1. Identifique a natureza de cada uma das seguintes séries:
+∞
+∞
+∞
X
X
X
1
sin n
(a)
;
(b)
;
(c)
n[ln(n + 1) − ln n];
5n
n2
1
1
1
¶2n
+∞
+∞ µ
X
X
2n2
n
(e)
;
(cos 1) ;
(f)
2+3
4n
1
n=1
(d)
+∞
X
arctan n;
1
+∞
X
2. Considere a série
(x − 3)n . Identifique o conjunto dos valores de x para os quais a série é
convergente.
1
3. Construa uma equação cartesiana para a curva constituı́da pelos pontos (x, y) que distam
igualmente do ponto (2, 3) e da recta de equação x = 7. Esboce-a num referencial Oxy.
4. Construa uma parametrização para a curva cartesiana de equação
x2 + y 2 − 4y = 0.
(1)
(Sugestão: comece por identificar a equação reduzida da curva.)
5. Mostre que o vector tangente a uma elipse com eixos de simetria paralelos aos eixos coordenados
não depende do centro da elipse; e que a sua norma tem valores no intervalo fechado de extremos
dados pelo semi-eixo menor e semi-eixo maior.
6. Descreva em coordenadas polares a região cartesiana caracterizada por
(x + 1)2 + (y − 1)2 6 2.
7. Considere a função real de variável real cuja expressão designatória é
p
f (x) = ln (x2 − 1).
(a) Identifique o domı́nio de f , Dom(f ).
(b) Justifique que a função derivada de f é caracterizada por
n √ √ o
x 7→
f 0 : Dom(f ) \ − 2, 2 −→ R,
(x2
x
.
− 1)f (x)
(c) Escreva
√ a equação cartesiana da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa
x = e4 + 1.
Z
x
(d) Calcule
dx.
2
(x − 1)f (x)
8. Calcule cada uma das seguintes primitivas:
Z
Z
√
1
(a)
x + 7 dx;
(b)
dx;
2
x cos (ln x)
Z
Z
(d)
2 cos(2x) sin(2x) dx;
(e)
tan x dx;
*******
Z
x
dx;
1 − x2
Z
tan x
dx;
(f)
cos2
(c)
√