MA13 – Exercícios das Unidades 15 e 16
Lista 9
1) Quantos planos são determinados por 4 pontos não coplanares?
2) Quantos planos distintos são determinados por um subconjunto de vértices do
paralelepípedo ABCDEFGH?
3) Qual é a seção determinada em um paralelepípedo ABCDEFGH pelo pano ABG?
4) Duas retas r e s são concorrentes em O. Fora do plano determinado por r e s
tomamos um ponto P qualquer. Qual é a interseção dos planos (r, P) e (s, P)?
5) Sejam r e s duas retas reversas e P um ponto qualquer do espaço. Diga como obter:
a) Um plano contendo r e paralelo a s.
b) Um par de planos paralelos, um contendo r e outro contendo s.
c) Uma reta passando por P e se apoiando em r e s.
6) Sejam r uma reta secante a um plano α e P um ponto exterior a α . É sempre
possível traçar uma reta que passa por P é concorrente com r e é paralela a α ?
7) r e s são retas, α e βsão planos. Certo ou errado?
a) Se r ⊂ α , s ⊂ β , α ∩ β = t então r e s são reversas.
b) Se r ⊂ α , s ⊂ β , α ∩ β = t então r e s não são concorrentes.
c) Se r ⊂ α , s ⊂ β , α ∩ β = ∅ então r e s são paralelas.
8) Certo ou errado?
a) Se duas retas são paralelas a um plano então elas são paralelas entre si.
b) Se dois planos são paralelos a uma reta então eles são paralelos entre si.
9) Sejam A, B, C, D pontos do espaço não coplanares. ABCD é um tetraedro. Sejam
M, N, P, Q os pontos médios dos segmentos AB, BC, CD, DA, respectivamente.
Mostre que MNPQ é um paralelogramo.
10) Em um tetraedro, mostre que os segmentos que unem os pontos médios das
arestas opostas cortam-se em um único ponto.
11) Entre os planos distintos
relativas entre eles?
α,
βe γ não há dois paralelos. Quais são as posições
12) Seja ABCD um paralelogramo. Pelos vértices A, B, C, D são traçadas retas não
contidas no plano ABCD, paralelas entre si e, sobre cada uma delas são assinalados,
respectivamente, os pontos A′ , B ′ , C ′ , D ′ .
Considere AA′ = a , BB ′ = b , CC ′ = c , DD ′ = d .
Mostre que, se A′ , B ′ , C ′ , D ′ são coplanares então a + c = b + d .
13) ABCDEFGH é um paralelepípedo. Estude as possíveis seções produzidas no
paralelepípedo por um plano que contém os vértices A e C.