Matemática II
Sejam r e s duas retas reversas.
Tomando um ponto A da reta r existe uma única perpendicular
comum a r e s que intersecta a reta s no ponto B, de tal modo
que B ∈ r’ e r’ // r. Analogamente, obtemos a reta s’ // s.
Portanto, os planos α = (r, s’) e β = (r’, s) são os únicos
planos paralelos, cada um contendo uma das retas.
Resposta
•
Cap. 14 – Noções de Geometria do espaço
1. A
I. Correta: Se uma reta é perpendicular a um plano, então
ela forma ângulo reto com todas as retas do plano. Além
disso, se duas retas formam um ângulo reto, então elas são
perpendiculares ou ortogonais.
IV.Verdadeira. Considere o quadrilátero reverso da figura,
com ABD ∈ α e BCD ∈ β.
II. Correta: Considere a figura.
A
B
P
α
Q
A
α P
Q
B
Seja MN a projeção ortogonal de AB sobre α.
AB
, e que QÂB é agudo, do
2
triângulo retângulo AQB, obtemos:
Sabendo que MN
= AQ
=
AB
AQ
⇔ cos QÂB = 2
cos Q Â B =
AB
AB
⇔ cos Q Â B =
1
1
⇔ QÂB = arc cos ⇒ QÂB = 60o
2
2
ˆ são ângulos correspondentes,
Portanto, como QÂB e NPB
o
ˆ
segue que NPB = 60 , ou seja, a reta AB faz com α um
ângulo de 60o.
III.Incorreta: Se α e β são planos paralelos e γ é um plano que
intersecta α e β, então as interseções entre esses planos são
retas paralelas.
IV.Incorreta: Seja r a reta determinada pela interseção dos
planos α e β. Se s é uma reta de α tal que s ≠ r e s // r, então
s não intersecta β.
Como PQ é base média do triângulo ABD e MN é base média
do triângulo BCD , segue que PQ // BD e MN // BD. Logo,
PQ // MP. Similarmente, concluímos que MQ // NP e, portanto,
segue-se o resultado.
PA = AC + CP ⇔ PA = ( AB 2 ) + CP
2
2
2
2
2
2
⇒ PA = 2 ⋅ 10 + 4 2
⇒ PA = 36 ⇒ PA = 6 cm
2
Cap. 15 – Geometria do espaço
1. E
I. Figura incialmente:
H
G
E
F
D
C
Rotacionando o
cubo de modo que
tenhamos
B
A
r’
F
B
2
•
3. D
I. Falsa. Duas retas paralelas e coplanares não são concorrentes.
II. Falsa. Duas retas paralelas não têm ponto comum e não são
reversas.
III.Verdadeira. Considere a figura.
E
s
a 2
G
s’
A
Diagonal
do cubo
1
Diagonal
da face
H
a 3
B
a
C
ensino médio
β
4. A
Como o quadrado ABCD tem área igual a 10 cm2, vem que
2
AB = 10 cm2 .
De acordo com as informações, temos que o segmento
PA é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos
=
CP 4=
cm e AC AB 2 cm . Portanto, pelo Teorema de
Pitágoras, obtemos:
2. E
As retas LB e GE são as retas suporte das diagonais GE e
LB. Logo, as retas LB e GE são concorrentes no ponto de
interseção das diagonais do bloco.
Como as retas AG e HI são coplanares e não paralelas, segue
que AGe HI são
concorrentes.
Como AD e GK e são distintas, não
em comum
têmponto
AD
e
GK
e não são coplanares, temos que
são reversas.
r
C
M
N
M
N
D
AF ⊥ AD
A Satisfazendo
o Teorema de
Pitágoras
D
2o ano
2. E
Inicialmente restando VA, VB e VC no cubo, temos:
•
1. C
I.(Falsa) Elas podem ser reversas;
II.(Falsa) 3 pontos distintos e não colineares determinam
um plano;
III.(Verdadeira);
IV.(Verdadeira).
Plano ABC em
destaque:
A
B
C
V
2. C
I.(Verdadeira);
II.(Falsa), pois,
C
Triângulo equilátero
de lado "a 2 ", sendo
B
Plano α
α
o cubo contendo uma
aresta "a"
r
s
II. Observe agora a secção de um plano α paralelo ao plano
ABC:
N
α
M
A
Cap. 16 – Paralelismo
Plano α determina
um hexágono
Plano
III.(Falsa), pois,
O
α
R
Projeção de “r “ em α
P
B
Q
3. E
Como retas reversas nunca determinam um plano em suas
projeções, o único caso apresentado nas proposições que
evidenciam 3 retas reversa duas a duas é o item E.
Veja a figura:
D
C
IV.(Verdadeira).
3. E
I.(Verdadeiro), postulado;
A
B
II.(Verdadeiro),
G
H
A
III.(Verdadeiro),
A
E
4. B
Visualizando os planos α e β juntamente com o cubo maior,
temos:
H
G
B
4
I. Falso, pois
Plano α que
contém o
semiplano
EGF.
H
E
D
+
+ ++
++
+ + ++
+ ++ ++ + +
Reta AC é a
intersecção.
ensino médio
.
C
E
E
A
3 pontos não colineares
determinam um plano.
F
α
reta AB
B
G
F
O
C
B
β
D
Plano β que contém
o semiplano ABC.
2
A
C
B
2o ano
4. D
II e III são justificadas pela mesma ilustração:
b
G
H
Ponto X
Plano

Plano β
X
Reta “s”
d
A
E
Veja que s ⊥ d.
B

O
perpendicular
C
•
A
•
Saiba Mais
1.
D
Numero de arestas: A =
Cap. 17 – Perpendicularidade
Número de faces = 12 + 20 = 32
1. D
Visualizando as quatro esferas superiores, temos:
Número de vértices:V – A + F = 2
V – 90 + 32 = 2
V = 60
Vista superior
por outro perfil
α
12 ⋅ 5 + 20 ⋅ 6
= 90
2
π
01)(Falsa). O poliedro apresenta 90 arestas.
02)(Falsa).
3 · 90 ≠ 2 · 60
04)(Falsa).
(60 – 2) · 360° = 20880° = 116 π rad
β
08)(Verdadeira).
Analogamente existem mais 4 esferas inferiores ao plano β.
Totalizando 8 esferas.
16)(Verdadeira).
2. 01 + 02 + 08 + 16 = 27
2. E
Observe o plano α abaixo.
F = 6+n
s
r
α
t
A=
2⋅5 + 4 ⋅ 4 + 3⋅n
3n
= 13 +
2
2
01) Verdadeiro, V = 11, F = 10, A = 19 e 11 – 19 + 10 = 2
02) Verdadeiro, F = 16, 6 + n = 16 ⇒ n = 10
04) Falso, Se n = 1, temos F = 13 + 3 · 1/2 = 14,5 (o número
de faces não é definido).
08) Verdadeiro, n = 6, F =12 e A = 22. A soma é dada por
S = (A – F) · 360° ⇒ S = (22 – 12) · 360° = 3600°
16) Verdadeiro, 25 = 13 + 3n/2 ⇒ n = 8
u
São infinitas retas paralelas à reta r que estão contidas
em α.
3. A
Veja a figura planificada:
3. D
Veja o paralelepípedo abaixo.
B
T
β
18
10
Q
T
5
P
0
β
S
R
P
O
α
A
M
N
Note que o ∆ABP ∼ ∆AOT:
10 18
=
5 OA
Observe que:
– Temos 6 faces, ou seja, F = 6.
– Temos 12 arestas, ou seja, A = 12
– Temos 8 vértices, ou seja, V = 8
OA = 9 cm
Portanto, V + F + A = 8 + 6 + 12 = 26
ensino médio
V −A +F = 2
3
2o ano
4. E
O volume de água despejado na piscina após três horas e
meia é igual a 3,5 · 5000 = 17.500 litros. Portanto, a altura
h atingida pela água é, tal que:
10 · 5 · h = 17,5 ⇔ h = 0,35 m = 35 cm.
4. D
Calculando as arestas temos:
4×3
= 6 arestas
2
5× 4
= 10 arestas
– dos 5 ângulos tetraédricos:
2
– Totalizando 16 arestas.
– dos 4 ângulos triédricos:
O número de ângulos é igual ao número de vértices, portanto,
teremos um total de 9 vértices.
Pela relação de Euler, temos:
V+F=A+2
9 + F = 16 + 2 → F = 9.
•
Cap. 18 – Prisma
1. A
Considerando a a medida da aresta da cisterna.
Superfície lateral
a
a
a
4 · a2 = 200 ⇒ a2 = 50 ⇒ a = 5 ·
2m
Calculando, agora, o volume V da cisterna, temos:
3
V = a3 = (5 ⋅ 2 ) = 250 2 m
3
2. C
O sólido sombreado é um prisma de base trapezoidal.
Portanto, seu volume V será dado por:
(7 + 3) ⋅ 10
V = Ab ⋅ h =
⋅ 10 = 500
2
3. D
a
d
a
a
Considerando a a medida da aresta do cubo e d a medida
de sua diagonal, temos:
2
6 · a2 = 2 ⇒ a =
d = a 3 =
ensino médio
1
3
1
1
⇒a=
3
3
⋅ 3 = 1m
4
2o ano