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NUMEROS COMPLEXOS
Resolva a equação x3 – 15x - 4 = 0
Vamos ver como começou essa história. Na equação: x3 – 15x - 4 = 0 , podemos
facilmente ver que 4 é uma solução para a equação. Dividindo a equação por x -4
[(x3 – 15x + 4) : (x – 4)] obtemos a expressão x2+ 4x + 1. Igualando a zero a expressão,
obtemos uma equação do segundo grau.
Como você sabe, as raízes dessa equação do segundo grau(utilize Bhaskara), que são(
√
√
(
também são soluções da equação do terceiro grau. Temos então
três raízes reais! Resolvido! Mas temos ai um pequeno problema.
Já no século XVI os pensadores da época procuravam uma solução geral para resolver
equações do terceiro grau. Tartaglia(gago), apelido de Nicolo Fontana devido a um
ferimento nos lábios que provocava um defeito na fala, um italiano nascido em
Brescia, conseguiu desenvolver a tão almejada fórmula. Apesar de a ter descoberto, a
história registra que um outro matemático, Girolamo Cardano, publicou a mesma
antes de Tartalia, sendo até hoje conhecida como fórmula de Cardano. Parece que o Sr
Girolamo Cardano não se pautava muito pela ética, não?
Veja como Tartaglia resolveu o problema:
Ele observou que qualquer equação do tipo ax3+bx2+cx+d=0 pode ser transformada
numa equação semelhante a py3+py+q=0, se fizermos y=x+m.
Se substituirmos o x por y-m, obteremos algo do tipo:
y3 +y2 (a+3m) +y(-2m2+m-2am+b)+(–m+am2-bm+c)=0.
Com m= , p=(-2m2+m-2am+b) e q=-m+am2-bm+c, o termo que acompanha o y2
desaparece da equação e temos y3+py+q=0
Então agora é procurar a solução para a equação y3+py+q=0.
Tartaglia supôs que a solução procurada fosse do tipo A+B, fazendo y= A+B.
Observe que y3=A3+B3+3 AB(A+B), ou y3=A3+B3+3 ABy
Então, comparando com y3+py+q=0, podemos ver que 3AB=-p e A3+B3=-q, ou que
A3 B3=
e A3+B3=-q.
Mas A3 e B3 são raízes da equação do segundo grau y2+ qy -
=0 (a soma das raízes = -
e o produto = )
Aplicando Bhaskara, temos:
A3 =
√
;
B3 =
√
Mas como y = A + B
y= √
√
+√
√
Esta é a fórmula Cardano-Tartaglia para resoluções de equações do
terceiro grau.
Mas ai temos o problema. Aplicando a fórmula Cardano-Tartaglia, para a equação: x3
– 15x - 4 = 0
temos x= √
+ √
!!!!!!!!!!!!Raiz quadrada de um número
√
√
negativo?
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Quando trabalhamos com equações de segundo grau que apresenta um delta (b2-4ac)
menor que zero, dizemos que a equação não tem soluções, isto é, a parábola (função
quadrática) não corta o eixo X. Mas agora vimos que esta equação ( e inúmeras outras)
APRESENTA soluções que envolvem uma raiz quadrada de um número negativo. E
agora? Veja um pouco da história.
Em 1575, um outro italiano chamado Raphael Bombelli publicou um livro chamado
Álgebra em que descreve as idéias de Cardano(Tartaglia) de forma didática. É
precisamente neste livro onde aparece pela primeira vez a necessidade explícita de
introduzir os números complexos e também uma primeira apresentação do assunto.
Bombelli decidiu trabalhar como se raízes quadradas de números negativos fossem
verdadeiros números, imaginando que
forma a + √
√
√
poderia ser um número da
e √
da forma
√
a - √ . Neste caso, teríamos que x= a + √ + a - √ , donde é fácil deduzir que a = 2,
pois x=4.
Outros matemáticos desenvolveram a ideia. O símbolo i foi usado pela primeira vez
para representar √
por Leonhard Euler em 1777. Se i=√
, então i2 = -1.
Vamos agora juntar todos os passos e trabalhar com um algoritmo para resolver a
nossa equação:
a) x3 – 15x - 4 = 0 Sabendo que p= -15 e q = -4 , temos que Δ =
b) A = √
c) B = = √
=√
√
√
=√
= √
√
√
√
+
= - 121
=√
.= √
d) Mas y = A3 + B3. Portanto y =2 + 11i + 2 – 11i = 4.( que é uma das raízes
procurada)
e) Dividindo a equação por x-4, encontramos a equação do segundo grau x2 + 4x +
1=0
f) Por Bhaskara, encontramos as duas raízes restantes, que são:
√
e
√
A necessidade de resolver equações do terceiro grau levou os matemáticos a
ampliarem o conjunto dos REAIS, entrando no conjunto dos números COMPLEXOS ,
que são números da forma a + b i
Atualmente utilizamos largamente os números complexos em muitos campos, tais
como na engenharia elétrica ou na física quântica.