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MATEMÁTICA
EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Toda sentença matemática que representa uma igualdade e na qual existem uma ou mais letras que se referem a números
desconhecidos dessa sentença é denominada equação.
Cada letra que se refere a um número desconhecido chama-se incógnita. Neste momento analisaremos equações em que o expoente
da incógnita é 1. . Essas equações são classificadas como equações do 1º grau .
Para facilitarmos a compreensão do conteúdo , abordaremos alguns exemplos :
a) 4x + 12= 3x +10
b) 4x + 25 +3x +70 = 12 + 9x +50
c) 4(2x + 10 ) = -3(-2x+15 )
e)
d) 5(4x + 2)= -7(-2x+1)
3x  5 5 x  30

7
3
g)
f)
3x 2
5
  x   3x
4 8
2
1) A raiz da equação
x  2 x  10

2
9
x 5x
x

 2   10
2 3
4
EXERCÍCIOS
h)
2( x  1)
 2  x esta situada entre os
3
x4
x2
1 
3
8
números inteiros :
a) 0 e 1
b) –1 e 0
c) 1 e 2
d) 0 e 1,5
e) 2 e 3
a)
b)
c)
d)
e)
são:
1 , 2 , 5 , 10 e 14
1 , 2 , 5 , 7 , 9 e 10
1 ,2, 3 , 5 , 7 e 10
1 , 2 , 5 e 10
n .d . a
6) (UFRGS) Se x é um número real, então
2) Observando as equações 10y + 4 = 16y – 8 e 9x – 4 = 6x + 8
, podemos concluir que o produto e o quociente de y por x são
respectivamente :
a) 2 e 8
b) 4 e 5
c) 8 e 2
d) 10 e 5
e) n .d . a
assume o valor
a) –1 b) –2 c) 0 d) 1 e) 2
7) (BANRISUL) Se x=
a)
b)
c)
d)
e)
3) O valor racional de x para que se tenha a igualdade
x  1 6x  1 3x  1


é:
5
12
3
1
6
c) 12
d) –5
e) n. d. a
4) (PUCRS) Na equação
(m -3)x + 3x +4( m - 5 ) =0, temos que x =2 .
condições , concluímos que o valor de “m” é :
a) 7
b) –40
c) 31
d) 14
e)
2  1 , o número
1
x é:
x
ímpar
negativo
nulo
irracional
primo
8) A soma do quádruplo de um número com 63 é igual a 211. O
valor desse número é:
a) 21
b) 37
c) 30
d) –5
e) -27
9) (PRF-CESP) Um reservatório estava total-mente cheio de
água. Inicialmente esvaziou-se 1 da capacidade desse reservatório e
a) –6
b) 
x
nunca
x 1
Nessas
3
a seguir, retirou-se 400 l de água. O volume de água que restou no
reservatório, após essas operações, corresponde a
3
da capacidade
5
total do reser-vatório. Nessas condições podemos afirmar que a
capacidade e a quantidade de litros de água que restaram
nesse reservatório são respectivamente:
a) 4500 l e 7800 l
b) 6000 l e 3600 l
c) 2700 l e 1000 l
d) 2500 l e 2800 l
e) n . d . a
10
3
5)
Os divisores naturais do número que representa a solução
da equação
1
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10) A idade de um pai é o quádruplo da idade de seu filho.
Dentro de 5 anos , a idade do pai será o triplo da do filho. A soma
das idades de ambos é :
a) 30 anos
b) 40 anos
c) 50 anos
d) 60 anos
e) 70 anos
11) A solução da equação
da promoção, a economia máxima que se poderá ser feita na compra
de 188 itens deste produto é de
(A) R$ 336,50.
(B) R$ 348,00.
(C) R$ 356,50.
(D) R$ 366,50.
(E) R$ 368,00.
16) (ENEM ) A disparidade de volume entre os planetas é tão
grande que seria possível colocá-los uns dentro dos outros. O
planeta Mercúrio é o menor de todos. Marte é o segundo menor:
dentro dele cabem três Mercúrios. Terra é o único com vida: dentro
dela cabem sete Martes. Netuno é o quarto maior: dentro dele cabem
58 Terras. Júpiter é o maior dos planetas: dentro dele cabem 23
Netunos. Seguindo o raciocínio proposto, quantas Terras cabem
dentro de Júpiter?
a) 406
b) 1334
c) 4002 d) 9338
fe 28014
3( x  2)
1 x3
é um
1  
20
5
4
número racional que fica entre :
a) 2 e 3
c) -3 e -2
4e5
b) 1 e 2
d) 3 e 4
e)
12) Um motorista de táxi cobra R$ 4,00 a bandeirada e R$ 1,20
por quilômetro rodado. Se um cliente pagou R$ 100,00 por uma
corrida, então o percurso foi de :
a) 10 km
b) 40 km
c) 50 km
d) 68 km
e) 80 km
17) (FEEVALE) O valor de x, que é solução da equação
, pertence ao intervalo
(A) [-1, 0] (B) [0, 1] (C) [1, 2] (D) [2, 4] (E) [4, 6]
13) No início de uma reunião de negócios, o número de homens
era 3 a menos do que o número de mulheres. Duas horas depois o
número de homens havia aumentado em 8, o de mulheres havia
dobrado e a quantidade de homens e de mulheres era a mesma. A
razão entre o numero de homens e de mulheres no início da reunião
era de :
a) 1 / 2
b) 2 / 5 c) 5 / 2 d) 1/5 e) 3/5
18) “Bom dia, minhas cem pombas.”, disse o gavião a um bando de
avezinhas que passava. “Bom dia, mas cem aves não somos nós!”,
respondeu uma delas. E continuou: “Para sermos cem é necessário
que somemos nós a outro tanto de nós, mais a metade de nós, mais a
quarta parte de nós e, contigo, ó gavião, cem aves seremos nós.”
Esse é um conhecido problema de matemática, que a tradição oral
ajudou a preservar. Ao resolvê-lo, encontramos o número de
pombas que havia no bando. Podemos afirmar que esse número
A ) tem 9 divisores naturais.
B ) é um múltiplo de 5.
C ) tem 18 divisores naturais.
D ) é um múltiplo de 8.
E ) é um múltiplo de 11.
14) Rafael disse a Patrícia: “Pense em um número: dobre esse
número; some 12 ao resultado; divida o novo resultado por 2.
Quanto deu?” Patrícia disse: “15”, ao que Rafael imediatamente
revelou o número original que Patrícia havia pensado. Calcule esse
número?
(A) 9 (B) 12 (C) 15 (D) 17 (E) 18
GABARITO EUAÇÕES 1º GRAU
1) A 2)E 3)B 4)E 5)D 6)D 7)E 8)B 9)B 10) C 11)B 12)E
13) B 14) A 15) C 16) B
15) (UFRGS) Na promoção de venda de um produto cujo custo
unitário é de R$ 5,75 se lê: “Leve 3, pague 2.”Usando as condições
RAZÃO
Quando comparamos dois números através de uma divisão, o resultado obtido, chama-se razão entre esses números.
Assim: Sendo a e b dois números racionais, com b0, denomina-se razão a e b ou razão de a para b o quociente
Exemplos:
a) Calcular a razão entre 15 e 25.
2
Solução: 5  2 x 10  20  4
3
5 3 15 3
10
15 3

Solução:
25 5
b) Calcular a razão entre
a
b
2 3
e
5 10
c) Num jogo de basquete, Oscar fez 60 arremessos, obtendo
50 pontos e Luís, em 30 arremessos obteve 20 pontos. Quem
teve a maior razão de acertos?
Resposta: Oscar.
2
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EXERCÌCIOS
1:500. Se, na planta, o terreno tem área de 10 cm2, sua
área real, em metros quadrados, é
(A) 25 (B) 50 (C) 100 (D) 250
(E) 500
7) (ENEM ) No monte de Cerro Armazones, no deserto de
Atacama, no Chile, ficará o maior Telescópio da superfície terrestre
, o Telescópio Europeu Extremamente Grande ( E- ELT) . O E-ELT
terá um espelho primário de 42m de diâmetro, “ o maior olho do
mundo voltado para o céu ”.
Ao ler esse texto em uma sala de aula , uma professora fez uma
suposição de que o diâmetro do olho humano mede
aproximadamente 2,1 cm . Qual é a razão entre o diâmetro
aproximado do olho humano suposto pela professora, e o diâmetro
do espelho primário do telescópio citado ?
a) 1 : 20
b) 1 : 100
c) 1 : 200
d) 1 : 1 000
e) 1 : 2 000
1) A razão entre dois números é 2/3 e a soma é 35. Calcular
esses números.
Resposta: 14 e 21
2) A idade de um filho está para 2 assim como a idade de seu
pai está para 10. Determine essas idades, sabendo que a soma deles
é 54.
Resposta: 9 e 45 anos
3)
a) 1
( TRE-92)- O valor de x na proporção
b) –1
c) 0
d) 1/3 e) –1/3
3x  1 4  x
é:

4
6
4) ( CEF-88)- Se ( 2,3,x ) e ( 15, y, 5 ) são seqüências de
números inversamente proporcionais, o quociente ( y- x ): 6 é:
a) ¼ b) 2/5 c) 2/3 d) 2 e) 3
5)A soma de dois números naturais é 51. Sabe-se ainda que o
ímpar está para 14 assim como o par está para 20. A diferença entre
o nº par e o nº ímpar é :
a) 9
b)10 c) 11 d) 12 e) 13
GABARITO DE RAZÃO
3) A 4)C 5) A
6) (UFRGS) A planta de um terreno foi feita na escala
REGRA DE TRÊS
 REGRA DE TRÊS SIMPLES
A empregamos em problemas que envolvem apenas duas grandezas que serão comparadas.
Em nosso quotidiano, encontramos, algumas vezes, problemas matemáticos que podem ser resolvidos através da regra de três. . Os
problemas de regra de três consistem em comparar se duas grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
1- Grandezas diretamente Proporcionais – Duas grandezas denominam-se diretamente proporcionais quando, aumentando ou
diminuindo, uma delas, a outra também aumenta ou diminui .
Exemplo:
A produção e o número de máquinas numa determinada empresa são GDP , pois quanto maior ( ou menor ) o número de máquinas,
implica numa maior ( ou menor ) produção na empresa.
a) Uma máquina, trabalhando continuamente, produz 450 peças em 1 hora . Quantas peças produzirá em 2h e 30 min?
2) Grandezas Inversamente Proporcionais – Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando ( ou diminuindo
) uma delas, a outra diminui ( ou aumenta ).
Exemplo:
A velocidade de um automóvel e o tempo são GIP , pois quanto maior for a velocida- de desenvolvida pelo carro , o tempo utilizado
para percorrer uma distância constante será menor . Caso tivermos uma diminuição da velocidade desenvolvida pelo carro, o tempo será
maior .
b) Um automóvel percorre uma determinada distância numa velocidade constante de 220km/h , terminando o percurso em 40min.
Caso resolvesse percorrer o mesmo trajeto com velocidade de 60 km/h , quanto tempo levaria ?
3
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 REGRA DE TRÊS COMPOSTA
A empregamos em problemas que envolvem mais de duas grandezas que serão comparadas .
Exemplo:
Um operário levou 10 dias de 8 horas para fazer 1000m de fazenda. Quantos dias de 6 horas levará para fazer 2000m da mesma
fazenda ?
1º MÉTODO
2º MÉTODO
EXERCÍCIOS
1) Determinada obra foi contratada por R$ 420,00 . Dizer quanto
recebeu cada operário, sabendo-se que o primeiro faltou 3 dias, o
segundo 5 e o terceiro 6.
Respostas : R$200,00 , R$120,00 , R$100,00
2Um comerciante contratou um novo funcionário, cuja
função é certificar-se que as vendas mantenham-se em torno dos R$
6.000,00 mensais. Como estímulo, propôs a esse novo funcionário
que no mês no qual vendesse R$ 12.000,00 receberia R$ 2.000,00,
em vez de R$ 1.200,00. Ao término do primeiro mês, esse
funcionário conseguiu aumentar as vendas para R$ 10.500,00 e foi
pedir ao seu patrão um aumento proporcional ao que conseguiu
aumentar nas vendas.O patrão concordou e, após fazer algumas
contas, pagou ao funcionário, em R$, a quantia de
A ) 600,00.
B ) 450,00.
C ) 1.800,00.
D ) 1.450,00.
E ) 1.750,00.
3) Dois irmãos compraram um carro em sociedade. Um
entrou com R$ 9.000,00 e o outro R$7.000,00 . Conseguiram
revendê-lo com R$1.600,00 de lucro. Quanto deve receber cada um
de lucro ?
Respostas: R$ 900,00 e R$ 700,00
4)(UFRGS) Uma estrada de 315 Km foi asfaltada pôr 3 equipes,
A, B e C, cada uma delas atuando, respectivamente, em um trecho
proporcional a 2, 3 e 4. O trecho da estrada que coube à equipe C foi
de :
a) 70 Km
b) 96 km c) 126 km d) 105 km
e) 140 km
5)(PIUCRS) Dois amigos jogaram na loteria esportiva, sendo
que o primeiro entrou com
R$ 140,00 e o segundo com R$
220,00. Ganharam um prêmio de R$ 162,000,00. Como deve ser
rateado o prêmio:
a) 36.000 e 63.000 b) 63.000 e 99.000
c) 6.300 e 9.900
d) 3.600 e 9.600
e) 99.000 e 66.000
6) Uma composição de 10 vagões iguais transporta 360 toneladas
de carvão – de- pedra . Se a composição tivesse apenas 6 vagões,
quantas toneladas carregariam ?
a) 216 T b) 217 T c) 2818 T
d) 219 T e) 220 T
4
7) Com 4kg de algodão pode-se tecer 14m de fazenda com 0,8m
de largura. Quantos kg são necessários para produzir 350m com
1,2m de largura?
a) 450
b) 350
c) 250
d) 150
e) 50
8) (UFRGS)As rodas traseiras de um veículo têm 4,25 metros de
circunferência cada uma. Enquanto as rodas dianteiras dão 15 voltas,
as traseiras dão somente 12. A circunferência de cada roda dianteira
mede
a) 2,125 metros b)2,225 metros c)3,4 metros d)3,75 metros
e)5 metros
9) (UFRGS) 0,3 semanas corresponde a
a) 2 dias e 1 hora.
b) 2 dias, 2 horas e 4 minutos .
c) 2 dias, 2 horas e 24 minutos.
d) 2 dias e 12 horas.
e) 3 dias.
10) ( UFRGS) Os
a)
b)
c)
d)
e)
3
de um dia correspondem a
50
1 hora, 4 minutos e 4 segundos.
1 hora, 26 minutos e 4 segundos.
1 hora, 26 minutos e 24 segundos.
1 hora, 40 minutos e 4 segundos.
1 hora, 44 minutos.
11)(CESP) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5100 m2
em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em 7 horas limpará
uma área de 11.900m2 :
12)(UFRGS) Para certa aluna de uma universidade, cujo ano
letivo consta de 2 semestres, com 15 semanas cada um, a previsão
era gastar 800 reais em despesas eventuais durante o ano letivo.
Depois de 3 semanas de aulas verificou que já havia gasto 100 reais
com este item. Admitindo-se que ela continue a gastar a mesma taxa,
então ela precisará, para completar o ano letivo, de mais:
a) 300 reais b) 400 reais c) 600 reais d) 200 reais
e ) 100 reais
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13) Uma família de 6 pessoas consome em 2 dias 3 Kg de pão.
Quantos quilos serão necessários para alimentá-la durante 5 dias
estando ausente 2 pessoas?
21)Vinte máquinas, trabalhando 16 horas por dia, levam 6 dias para
fazer um trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para executar
o mesmo serviço, se trabalharem 20 horas por dia, durante 12 dias?
14) Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas pôr dia, durante 4
dias , produzem 4 toneladas de certo produto. Quantas toneladas do
mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo,
operando 6 horas por dia, durante 6 dias?
a) 14 T b) 13,5 T c) 13 T d) 12T e) 6T
22) O consumo de 12 lâmpadas iguais, acesas durante 5 horas por
dia, em 39 dias, é de 26 quilowatts. Conservando apenas 9 dessas
lâmpadas acesas durante 4 horas por dia, de quanto será o consumo
em 30 dias?
15)Para asfaltar 1 Km de estrada, 30 homens gastaram 12 dias
trabalhando 8 horas pôr dia. Vinte homens, para asfaltar 2 Km da
mesma estrada, trabalhando 12 horas pôr dia gastarão quantos dias:
a) 24 horas b) 3 semanas e 3 dias c) 12 dias d) 6 semanas
e) 1 mês
23) Se foram empregados 4 kg de fios para tecer 14 m de fazenda
com 80 cm de largura, quantos quilogramas serão necessários para
produzir 350 m de fazenda com 120 cm de largura?
24) (ENEM ) Os dados do gráfico foram coletados por meio da
Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios
16)Um automóvel gasta 10 litros de gasolina para percorrer 85 Km.
Quantos quilômetros percorrerá com 45 litros de gasolina?
a) 38,25 b) 208,5 c) 282,5 d) 328,5 e) 382,5
17) Se forem empregados 4 Kg de fio para tecer 14 m de fazenda
com 80 cm de largura, quantos quilogramas serão necessários
para produzir 350m de fazenda com 120 cm de largura?
a)130 b) 150 c) 160 d) 180 e) 250
18)Alfredo colocou lajotas no piso de seu banheiro, que mede 4m
por 4m , e gastou R$100,00 . Agora ele quer colocar o mesmo tipo
de lajota na cozinha, que mede 5m por 6m. A quantia que Alfredo
vai gastar na compra das lajotas é de :
a) R$ 167,50
b) R$ 187,50 c) R$ 200,00
d) R$ 207,50 e) R$ 217,50
19) Em uma república de estudantes moram 4 pessoas que gastam
R$ 490,00 com alimentação a cada 10 dias. Se mais duas pessoas
passarem a morar nessa república , o valor que será gasto com
alimentação a cada 15 dias é :
a) R$1102,50 b) R$2000,50 c) R$2150,34
d) R$2240,16 e) n .d. a
Supondo-se que no Sudeste, 14.900 estudantes foram entrevistados
nessa pesquisa, quantos deles posuiam telefone celular?
a) 5513 b) 6556 c) 7450 d) 8344 e) 9536
GABARITO REGRA DE TRÊS
4) E 5) B 6)A 7)D 8)C 9)C 10)C 11)C 12) D 13) 5Kg
14)B 15)B 16)382,5 17)B 18) B 19) A 20) 20m
20) A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre um chão
plano, mede 12m. Nesse mesmo instante, a sombra de um bastão
vertical de 1m de altura mede 0,6m . A altura do poste é:
a) 6m b) 7,2 m c) 12m d) 20 m e ) 72 m
PORCENTAGEM
A expressão por cento vem do latim per centum, que quer dizer por um cento. Assim quando você lê ou escuta uma afirmação como
“ Grande liquidação de verão na loja BA- RATOS : 50 por cento de desconto em todo o vestuário ”, significa que você tem um desconto de
50 reais para cada 100 reais do preço de uma peça de roupa, ou seja :
50% =
50
100
Toda razão centesimal pode ser representada na forma percentual
Exemplos:
35
3
b) 3  75  75%
c)
d)  0,375  37,5%
 35%
100
8
4 100
PROBLEMAS ENVOLVENDO PORCENTAGEM
a)Em uma classe de 60 alunos, faltaram 15. Qual a porcentagem dos alunos presentes?
b) Um comerciante recebeu um desconto de R$1.240,00 numa compra cujo valor era de R$ 37000,00. Qual foi a taxa de desconto ?
c) Ao comprar um livro paguei com um desconto de R$2,50 que corresponde a taxa de 5% . Qual era o preço do livro ? Quanto
paguei ?
d) Qual é o valor líquido de uma duplicada de R$ 15.000,00 que tenha sofrido um desconto de 3%?
a)
7
 7%
100
5
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EXERCÍCIOS
1)(UFRGS/2002) Considere as proposições abaixo.
9) Um total de R$ 6,000,00 será investido, parte a 3,5% e parte
a 6 %. Se o rendimento total esperado é, no mínimo, de R$ 300,00,
o valor máximo que pode ser investido a 3,5 % é:
a) R$ 210,00 b) R$ 360,00 c) R$ 2,400,00
d) R$ 570,00 e) R$ 3,600,00
10) Um revendedor aumenta o preço inicial de um produto em
35% e, em seguida, resolve fazer uma promoção, dando um
desconto de 35% sobre o novo preço. O preço final do produto é:
a) impossível de ser relacionado com o preço inicial.
b) Superior ao preço inicial.
c) Superior ao preço inicial, apenas se este for maior do que R$
350,00
d) Igual ao preço inicial.
e) Inferior ao preço inicial.
11) um garçom recebe mensalmente um salário composto de
duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 300,00 e uma variável
que corresponde a um comissão de 8% do total das despesas dos
clientes que ele atendeu durante o mês. Sabendo que durante um
mês o gasto de seus clientes foi de R$ 5,000,00, então o salário do
garçom será de
a) R$ 500,00 b) R$ 800,00 c) R$ 300,00
d) R$ 400,00 e) R$ 700,00
1
1
é igual a
5
4
1 1 1
II) Se + = , então a = b = 4
a b 2
I) 125% de
III) 20 metros pôr segundo correspondem a 72 quilômetros por hora.
a) Apenas a I é verdadeira.
b) Apenas a I e II são verdadeiras.
c) Apenas a I e III são verdadeiras.
d) Apenas a II e III são verdadeiras.
e) I, II e III são verdadeiras.
2)(UFRGS) O preço de venda de um bem de consumo é R$
100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre o preço de
custo deste bem. O valor do preço de custo é
a) R$ 25,00
b) R$ 70,50
c) R$ 75,00
d) R$ 80,00
e) R$ 125,00
3) Uma loja instrui seus vendedores para calcular o preço de
uma mercadoria, nas compras com cartão de crédito, dividindo o
preço à vista pôr 0,80. Dessa forma, pode-se concluir que o valor da
compra com o cartão de crédito, em relação ao preço à vista,
apresenta:
a) um desconto de 20%
b) um aumento de 20%
c) um desconto de 25%
d) um aumento de 25%
e) um aumento de 80%
4)Se num determinado período o dolar sofreu uma alta de
100% em relação ao real, no mesmo período o real, em relação ao
dólar, sofrerá uma :
a)
queda de
12) Uma certa mercadoria que custava R$ 10,50 teve um
aumento, passando a custar R$ 11,34. O percentual de aumento da
mercadoria foi de :
a) 1,0% b) 10,0% c) 10,8% d) 8,0%
e) 0,84%
13) Um comerciante pagou R$ 30,00 pôr um artigo. Ele pretende
colocar uma etiqueta de preço nesse artigo de modo a poder oferecer
um desconto de 10% sobre o preço a etiqueta e ainda Ter um lucro
de 20% sobre o preço de custo. Que preço ele deve marcar na
etiqueta ?
a) R$ 40,00 b) R$ 39,60 c) R$ 39,00
d) R$ 36,00 e) R$ 32,40.
14) Dois dos lados opostos de um quadrado têm um aumento de
40% e os outros dois lados têm um decréscimo de 40%. A área
desse quadrado:
a) aumenta de 20%
b) aumenta de 16%
c) permanece inalterada
d) diminui 16%
e) diminui 20%
15) TRF) Em uma fábrica com 100 empregados, 1% é do sexo
masculino. O número de mulheres que devem ser dispensadas para
que a mesma quantidade de homens represente 2% do total é :
a) 1
b) 2 c) 49 d) 50 e)51
16) (BB)Um refresco é feito adicionando-se quatro partes de
água para uma parte de essência de frutas. Se a quantidade de água é
dobrada e a de essência quadruplicada, então a quantidade de
essência na nova mistura é :
a) 30%
b) 33 e 1 % c) 50% d) 66 e 2 % e)80%
1
1
% b)alta de
% c)queda de 50%
100
100
d) queda de 100% e)queda de 200%
5) Se x % de y é igual a 20, então y% de x é igual a:
a) 2
b) 5 c) 20 d) 40 e) 80
6) Um negociante recebeu uma encomenda de 4,05 ton de
café torrado. Supondo que o café em grão perca 19% de seu peso na
torrefação, quantas toneladas de café em grão precisa o negociante
torrar para atender exatamente à encomenda?
a) 3,28 b) 4,00 c) 5,00 d) 6,00 e) 7,69
7) Uma pessoa comprou dois carros, pagando um total de 30 mil
reais. Pouco tempo depois, vendeu-os pôr 28 mil reais, ganhando
10% na venda de um deles e perdendo 10% na venda do outro.
Quantos reais custou cada carro?
a) 15.500 e 14.500 b) 10.000 e 20.000
c) 6.500 e 23.500
d) 7.500 e 22.500
e) 5.000 e 25.000
3
3
17) Numa prova, um aluno acertou 30 questões, que correspondem a
60% do número
de questões da prova. Quantas questões tinham essa prova.
a) 45
b) 50
8) A quantidade de água que deve ser evaporada de 300 g de
uma solução salina ( água e sal ) a 2% ( sal ) para se obter uma
solução salina a 3% ( sal ) é
a) 90 g b) 94 g c) 97 g d) 98g e) 100g
6
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c) 55
d) 60
e) 70
18) Numa prova com 72 questões, Silvia acertou 75%. A razão entre
o número de
acertos e de erros nessa ordem é de:
a) 1/3
b) 3/5
c) 2/3
d) 3/2
e) 3/1
22) Certo empresário deseja determinar o preço de venda de uma
19) Num concurso passaram 12% dos candidatos que fizeram as
provas. Dos 17.500
candidatos inscritos, 8% faltaram às provas. Qual o número de
candidatos aprovados.
a) 1.692
b) 1.792
c) 1.932
d) 1.992
e) 2.392
mercadoria queadquiriu por R$ 1.000,00, sabendo-se que para
vender esta mercadoria, quer obter lucro de 10 % sobre o preço de
venda e ainda terá diversos custos que incidem sobre o preço de
venda. Estes custos são os seguintes: a- despesa administrativa de 2
%; bdespesa de entrega de 1,5 %; c- despesas com comissão do
vendedor de 5 % e despesas com impostos e taxas de 1,5 %.
A) R$ 1.250,00
B) R$ 1.240,00
C) R$ 1.300,00
D) R$ 1.350,00
E) R$ 1.320,00
20) Considere os dados da tabela abaixo, referentes à População
Economicamente Ativa (PEA) de uma determinada região.
23) Certa mercadoria foi vendida por R$ 440,00 com lucro de 10 %
sobre o preço de
custo e em seguida, foi revendida por R$ 500,00. De quantos
porcento foi o lucro final
sobre o valor inicial dessa mercadoria?
a) 15%
b) 18%
c) 20%
d) 25%
e) 30%
Se os homens são 60% da PEA dessa região, homens e mulheres
com 6 ou mais anos
de estudo representam, em relação a essa região, um percentual da
PEA igual a
A ) 56%.
B ) 58%.
C ) 60%.
D ) 63%.
E ) 65%.
24) É possível abastecer certos automóveis modernos utilizando
mistura da gasolina e álcool. Considere que o tanque de um desses
automóveis foi abastecido com mistura daqueles combustíveis em
duas ocasiões, recebendo, em cada vez, o total de 60 litros, em
condições diferentes:
− na primeira vez, colocou-se 65% de gasolina ao preço de R$ 2,00
o litro, e o restante de álcool ao preço de R$ 1,60 o litro;
− na segunda vez, colocou-se 45% de gasolina ao preço de R$ 2,20
o litro, e o restante de álcool ao preço de R$ 1,30 o litro.
É possível afirmar que:
A) o gasto foi o mesmo nas duas vezes.
B) o gasto foi maior na segunda vez.
C) a diferença entre os gastos foi inferior a R$ 9,00.
D) a soma dos gastos foi superior a R$ 209,00.
E) apenas um dos gastos foi inferior a R$ 100,00 .
21) O esquema abaixo mostra um trecho de malha rodoviária de
mão única. Dos veículos que passam pela rodovia A, 30% viram à
esquerda. Dos veículos que passam pela rodovia B, 40% viram à
esquerda. Daqueles que transitam por C, 30% dobram à
esquerda.Determine o percentual de veículos que, passando pela
rodovia A, entram em E.
A ) 18%
B ) 21%
C ) 39%
D ) 41%
E ) 45%
GABARITO DE PORCENTAGEM
1) C
5) C
9) C
13) E
2) D
6) C
10) E
14) D
3) D
7) E
11) E
15) D
4) C
8) E
12) D
16) B
7
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QUAÇÕES DO 2º GRAU
Equação do 2º grau é toda equação com uma variável apresentada na forma :
ax2+bx+c=0
om a  0 .
C
Analisando a Forma Geral da equação apresentada acima, temos :
 x é a incógnita ( variável )
 a , b e c são números reais , chamados de coeficientes.
Exemplos:
Nas equações a seguir destacaremos os coeficientes a , b, e c :
a) x2 - 7x –12 = 0
b) x2 –49 = 0
c) 8x –x2 = 0
 RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Resolver uma equação é determinarmos as suas raízes, ou seja, os valores de “x” que tornam a igualdade verdadeira. Veremos
através de exemplos como se resolvem as equações incompletas e completas do 2º grau.
1º CASO ) Equação incompleta do 2º grau na forma ax2 + c =0 , com ( b=0) .
Exemplo: Resolver as seguintes equações, sendo U= R
a)
x2 - 25 = 0
b) 7x2 – 14 = 0
c) x2+25 = 0
2º CASO ) Equação incompleta do 2º grau na forma ax 2 + bx =0 , com ( c =0) .
Exemplo: Resolver as seguintes equações, sendo U= R
a)
x2 – 25x = 0
b) 7x2 – 14x x= 0
c) 3x2 - 25 = 0
3º CASO ) Equações completas do 2º grau na forma ax2 + bx + c =0 .
Exemplo: Resolver as seguintes equações, sendo U= R
a)
x2 –7x + 12 = 0
b) 3x2 –7x = -2
8
c) x2 = - 4x -10
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 PROPRIEDADE DAS RAÍZES
Sejam x e x´ as raízes da equação ax2 + bx + c = 0 . Entre as raízes x´ e x´´ e os coeficientes a , b e c , existem relações importantes ,
que calcularemos a seguir. Observando a equação x2 -5x + 6 = 0 , temos como raízes os valores x´=3 e x´´=2 . Caso o enunciado da questão
que estivermos resolvendo num determinado momento solicitar:
 a soma das raízes
então calcularemos x´+ x´´ = 2 + 3 = 5
ou
soma das raízes  -
b
a
=  ( 5 )  5
1
 produto das raízes
então calcularemos x´ . x´´ =2 . 3 = 6
produto das raízes 
ou
c
a
=
6
6
1
EXERCÍCIOS
1) A menor das raízes da equação
a) 3
b) 4
c) –3
d) –4
e) zero
2
x + x – 12 = 0 é:
5) (UFSC) A soma das raízes da equação
x 2  28 7x x é :


6
3
2
a) –17
b) –6
c) 6
d) 11
e) 17
6) (PUCRS) Desde os tempos remotos , a secção áurea é
usada por pintores, escultores e arquitetos, por representar a
forma visualmente mais equilibrada e harmoniosa. Obras de
arquitetura clássica, como Parthenon, a Monalisa de
Leonardo da Vinci, entre outros, revelam o uso da razão
áurea na busca da harmonia e estética.
2
Sabendo-se que o número de ouro é a raiz da equação x -x1= 0, esse número vale :
a) 1  5
2
2) (UF- ES ) A equação x -10x + 25 = 0 tem as seguintes
soluções no conjunto dos números reais :
a) somente 5
b) somente 10
c) –5
d) 5 e 10
e) –5 e –10
3) ( PUC-SP) Uma das raízes da equação
é:
a) 0,2
b) 0,5
c) 7
d) 2
e) zero
4) A solução da equação
:
a)
b)
c)
d)
e)
2
0,1x -0,7x+1=0
b)
c)
x2
2x  1
5x  2
é


3x
2
6
d)
e)
2
1 5
2
1 3
2
1 3
2
1 3
2
7) A soma e o produto das raízes da equação
20, são respectivamente :
a) 20 e 9
b) –9 e –20
c) 9 e 20
d) –20 e –9
e) n . d .a
{-1;3}
{-1 ; 4 }
{ 1;-4 }
{ 1;-3}
[-1;3]
9
2
y – 9y = -
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8) (UFRGS) Os números
equação :
2
a) x -10x –7 = 0
2
b) x –10x +7 = 0
2
c) x + 10x – 7 = 0
2
d) x + 10x + 7 = 0
e) n.d.a
5  18 e 5  18 são raízes da
9) Determine a equação cujas raízes são
3 2 7 e3 2 7 :
2
a) x + 6x +19 = 0
2
b) x - 6x –19 = 0
2
c) x - 6x + 19 = 0
2
d) x + 6x- 19 = 0
2
e) x -8x-19 = 0
16) (ENEM ) Nos processos Industriais, como na indústria de
cerâmicas, é necessário o uso de fornos capazes de produzir
elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo de
elvação dessa temperatura deve ser controlado, para garantir
a quantidade de produto final e a economia no processo. Em
uma Industria de Cerâmica , o forno é programado para
elevar a temperatura ao longo do tempoi de acordo com a
função
2
10) Sendo m e m as raízes da equação 2x +9x-3=0, calcule
1 1
o valor de
 ,
m n
a) –3
7
T(t) =  5 t  20, para 0  t  100

 2 t 2  16 t  320 , para t  100

5
125
b) –2 c) 1 d) 2 e) 3
11) (FEI-SP)Sendo a e b as raízes da equação
2
2x – x
1 1 4
+ m = 3, então , se   , o valor de m é :
a b 3
a) ¾
b) –4/3
b) 0
c) n.d. a
15)(FGV) A soma das raízes da equação
2
ax + bx + c = 0 é 10 e o produto é -2 , podemos concluir
que a afirmação correta esta na alternativa :
a) b + c = -12a
b) b + c = -8a
c) b + c = -12
d ) b . c = 12 a
e) b . c = -12a
c) 27/4
2
12) (FER)As raízes da equação x + nx + p = 0 são 6 e –4 ,
então n e p valem respectivamente :
a) –2 e 24
b) 24 e 2
c) 2 e –24
d) –2 e –24
e) 2 e 24
Em que t é o valor da temperatura atingida pelo forno, em
graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, decorrido desde o
instante em que o forno é ligado. Uma peça deve ser
colocada nesse forno quando a temperatura for de 48° C e
retirada quando a temperatura for de 200° C.
O tempo de permanência dessa peça no forno é , em minutos
igual a :
a) 100
b) 108
c) 128
d) 130
e) 150
17) A tabela abaixo indica valores aproximados de alguns números
irracionais. Com base nessa tabela, a diferença entre a maior raiz e o
dobro da menor raiz da equação 3x² – 6x – 4 = 0, é nesta ordem,
igual a
13) Um pai tinha 24 anos quando nasceu seu filho. Hoje, o
quadrado da idade do filho é igual ao dobro da idade do pai.
As idades de ambos hoje somam:
a) 32 anos
b) 36 anos
c) 40 anos
d) 42 anos
e) 44 anos
14) A soma das idades de Adriano e Carla é 11 e o produto
de suas idades é 28. Quantos anos tem Carla, sabendo-se
que Adriano é o mais velho ?
a) 2 anos
b) 3 anos
c) 4 anos
d) 7 anos
e) 9 anos
A ) 3,42. B ) 2,47. C ) 5,42. D ) − 10,26
1)D
2) A
3) D
10
4) B
5) D
6) A
E ) − 12,26.
GABARITOEQUAÇÕES DO 2º GRAU
7) C 10) E
13) C
8) B 11) E
14) C
15)C
9) B 12) D
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SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Nesta etapa do material, solucionaremos sistemas de equações com duas variáveis, ou seja, o par ordenado que
verifica ambas as equações:
Exemplo:
x + y = 24
3x - y = 8
1º MÉTODO) SUBSTITUIÇÃO
2º MÉTODO) ADIÇÃO
EXERCÍCIOS
1) (PUC)A solução do sistema
3x + y = 1
2x + 2y =1
é:
a) { (0; ¼)}
b) {(-1/2 ; 1)}
c) { (-1/2 ; ¼ ) }
d) {( ¼ ; ¼ ) }
e) n . d. a
a)
b)
c)
d)
e)
2)A diferença entre dois número é 60. Acrescentando-se 5
unidades a cada um deles, o maior torna-se o quíntuplo do menor. A
soma desses números é :
a) 10
b) 20
c) 40
d) 70
e) 80
3) Um colégio tem 30 professores. O número x de professores
que ensinam ou- tras matérias é igual a quatro vezes o número y de
professores que ensinam Matemática. O número de professores que
ensinam Matemática nesse colégio é ?
a) 9
b) 6
c) 5
d) 4
e) 10
4) (UNISINOS )Na loja Revolução das Bermudas e Camisetas,
qualquer camiseta é vendida pelo preço de R$15,00. Juca Surfista
deseja comprar 3 camisetas e duas bermudas para o próximo
veraneio. Sabendo-se que cada camiseta custa o equivalente a 2/3 do
preço de uma bermuda e que ele pretende pagar com uma nota de
R$100,00 , o valor que ele receberá de troco é :
11
R$10,00
R$15,00
R$20,00
R$25,00
R$30,00
5) (UNIMEP-SP)Uma pessoa comprou bicicleta de duas rodas e
guarda chuva de 12 varetas. Se o total de rodas e varetas é 38000 e o
número de guarda- chuvas é o triplo do de bicicletas, então o
número de guarda-chuvas corresponde a:
a) 1000
b) 9500
c) 3800
d) 3000
e) 19000
6) Num quintal há galinhas e coelhos num total de 53 bichos e
170 pés. O produto entre o número de galinhas e o número de
coelhos é :
a) 562
b) 672
c) 732
d) 762
e) 872
7) Numa caixa há bolas brancas e bolas pretas num total de 360
. Se o número de brancas é o quadruplo do de pretas , então o
número de bolas brancas é :
a) 72
b) 120
c) 240
d) 288
e) n.d.a
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8) (ITA) Um empresário decide presentear alunos com livros .
Observamos que , se ele der 2 livros a cada aluno , sobrarão 20
livros , se ele der 3 livros a cada aluno , faltarão 30 livros . A
quantidade de livros é :
a) 50
b) 120
c) 70
d) 80
e) 100
9) ( ITA – SP ) Suponha que x e y são números reais ,
satisfazendo simul- taneamente às equações 2x + 3y = 21 e 7x – 4y
= 1 . Nessas condições , se S =x + y , então :
a) S = 10 b)S = 8 c)S = -5 d)S = -8 d)S = 15
10) Dois tipos de comprimidos I e II são fabricados de modo que
cada comprimido do tipo I contenha 10 unidades de vitamina A e 5
unidades de vitamina B e cada comprimido do tipo II contenha 3
unidades de vitamina A e 2 unidades de vitamina B. O número
total de comprimidos I e II ( juntos ) que uma pessoa deve ingerir
de modo a absorver 35 unidades de vitamina A e 20 unidades de
vitamina B é :
a) 5 b)6 c)7 d)8 e)n.d.a
11) certa quantidade de sacos precisa ser transportada e para isto
dispõem-se de jumentos. Se colocarmos dois sacos em cada
jumento, sobram treze sacos, se colocarmos três sacos em cada
jumento, sobram três jumentos. Quantos sacos precisam ser
carregados?
a) 44 b) 45 c) 57 d) 22 e) 30
12) Carlos e sua irmã Andréa forma com seu cachorro BIDU à
farmácia de seu avô. Lá encontraram uma velha balança com defeito
que só indicava corretamente pesos superiores a 60 kg. Assim eles
se pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas.
Carlos e o cão pesam juntos 87 kg
Carlos e Andréia pesam 123 kg
Andréia e Bidu pesam 66 kg
Podemos afirmar que :
a) cada um deles pesa menos que 60kg
b) dois deles pesam mais que 60 kg
c) Andréia é a mais pesada dos três
d) O peso de Andréia é a média aritmética dos pesos de Carlos e de
Bidu
e) Carlos é mais pesado que Andréia e Bidu juntos
13) (IPA) A soma dos quadrados de dois números positivos é 27 e
a soma dos inversos de seus quadrados é 3. O produto desses dois
números é:
(A) 1
(B) 3
(C) 9
(D) 27
(E) 81
14) (UFMG) Uma conta de R$ 140,00 é paga em cédulas de R$
5,00 e R$ 10,00, num total de 18 cédulas.
12
O número n de cédulas de R$ 5,00 usadas para o pagamento dessa
conta é tal que
(A) n < 5
(B) 5 n < 7
(C) 7 < n < 10
(D) n > 10
15) Num sítio existem patos e porcos num total de 48
cabeças e 120 pés. O número de porcos é
(A) 10 (B) 12 (C) 24 (D) 30 (E) 36
16) (UFSM) Duas vacas e um touro foram trocados por oito
porcos. Em outra ocasião, uma vaca foi trocada por um touro e um
porco. De acordo com a regra desses dois “negócios”, uma vaca
deve ser trocada por ___ porcos; um touro, por ___ porcos.
Assinale a alternativa que preenche corretamente os espaços.
(A) 3; 2 (B) 2; 5 (C) 2; 3 (D) 3; 4 (E) 5; 2
17) O salário de Antônio é igual a 90% do de Pedro. A
diferença entre os salários é de R$ 500,00. O salário de
Antônio é
(A) R$ 5 500,00
(B) R$ 45 000,00
(C) R$ 4 000,00
(D) R$ 4 500,00
(E) R$ 3 500,00
18) ( ENEM ) Uma escola recebeu do governo uma verba de R$
1000,00 para enviar dois tipos de folhetos pelo correio. O diretor da
escola pesquisou que tipos de selos deveriam ser utilizados.
Concluiu que, para o primeiro tipo de folheto, bastava um selo de
R$ 0,65 enquanto para folhetos do segundo tipo seriam necessários
três selos, um de R$ 0,65, um de R$ 0,60 e um de R$ 0,20. O diretor
solicitou que se comprassem selos de modo que fossem postados
exatamente 500 folhetos do segundo tipo e uma quantidade restante
de selos que permitisse o envio do máximo possível de folhetos do
primeiro tipo. Quantos selos de R$ 0,65 foram comprados?
a) 476
b) 675
c) 923
d) 965
e) 1538
1) D
2) E
3) B
GABARITO DE EQUAÇÕES LINEARES
4) A
7) D
10) C
5) D
8) B
11) C
6) B
9) B
12) E
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