1. Sistemas de numeração
Quando mencionamos sistemas de numeração estamos nos referindo à utilização de um
sistema para representar uma numeração, ou seja, uma quantidade. Sistematizar algo seria organizar,
colocar em ordem, submeter à determinadas regras. Um sistema de numeração seria uma forma de
organizar a representação de um número.
Exemplo:
Quando contamos algo ou expressamos algum valor, utilizamos no dia a dia um sistema de
numeração, que é o sistema decimal. Para isto seguimos a organização dos números, pois eles
obedecem a uma certa ordem, e uma das regras é utilizar somente os caracteres 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9 combinados, obedecendo à ordenação, para formar dos números.
Os números podem ser representados em qualquer sistema de numeração. Os seres humanos
usam normalmente um sistema de numeração baseado na base 10 (com os 10 dígitos diferentes). Os
computadores, pelo fato de só representarem dois valores (0, 1), os dígitos binários - também
conhecidos por bits, da contração do inglês binary digit - são máquinas binárias, e por isso trabalham
em base 2.
A base utilizada na representação numérica determina o número de dígitos que
podem ser utilizados; por exemplo:
•
Base 10: utiliza 10 dígitos (0 a 9);
•
Base 2: utiliza 2 dígitos (0 e 1);
•
Base 5: utiliza 5 dígitos (0 a 4);
•
Base 16: utiliza 16 dígitos (0 a 9, e, A a F).
2. Base
Os sistemas de numeração foram criados pelo homem com o objetivo de quantificar
as grandezas relacionadas às suas observações. Tais sistemas foram desenvolvidos através
de símbolos, caracteres e do estabelecimento de regras para a sua representação gráfica. Ao
conjunto destes símbolos ou caracteres chamamos de base ou raiz do sistema, “r”. A base
de um sistema de numeração é o número decimal no qual um sistema de numeração se
utiliza para indicar uma quantidade e geralmente é o número de caracteres diferentes
utilizados para compor o sistema. O sistema decimal é dito de base 10 por utilizar somente
10 caracteres diferentes para representar os números ( como já dito os dígitos de 0 à 9) e a
quantidade real representada pelos números tem como base o valor 10. Por exemplo, na
contagem do sistema decimal, após o número 9, já utilizamos todos os caracteres diferentes
disponíveis, que são 10 (observe que o caractere “0” também está incluído) e um número
maior que 9 é representado utilizando uma convenção que atribui um significado numérico
quantitativo à posição ou lugar ocupado por um dígito. Cada posição ocupada por um
caractere no número possui um “peso” diferente, como no exemplo abaixo:
3004 = 3 x 103 + 0 x 102 + 0 x 101 + 4 x 100
3. Sistema Decimal
Os números decimais são os mais utilizados atualmente, de nosso conhecimento.
Uma representação posicional no sistema decimal pode ser desenvolvida numa forma
polinomial que envolve um somatório de potências de 10. Como exemplo, o número três
mil e quatro mencionado anteriormente:
3004 = 3 x 103 + 0 x 102 + 0 x 101 + 4 x 100
É comum utilizarmos como índice, à direita do dígito menos significativo na
representação posicional, para identificar a base de representação. No caso da base decimal,
este índice pode ser omitido. Os circuitos ditos analógicos processam informações usando o
sistema decimal.
4. Sistema Binário
O sistema de numeração de base 2 é chamado de sistema binário (dois), pois utiliza
somente dois dígitos: 0 e 1. Todos os números são representados conforme o
posicionamento e a quantidade destes dois dígitos. A contagem segue o mesmo raciocínio
utilizado no sistema decimal: após o último dígito, incrementa-se uma posição à esquerda e
a posição à direita é zerada, repetindo-se toda a seqüência de números anterior:
Este sistema pode ser utilizado para representar 2 estados de um elemento:
•
uma lâmpada (acesa ou apagada),
•
uma chave (aberta ou fechada),
•
na genética (presença ou ausência de genes),..
pois nos cálculos teóricos, o sistema binário é o mais utilizado para facilitar a manipulação
dos dados. Qualquer algarismo ou dígito de número binário é denominado de bit (binary
digit).
Exemplo:
111011 6 bits.
5. Sistema Octal
O sistema de numeração de base 8 utiliza os caracteres de 0 à 7 do sistema de numeração
decimal, na respectiva ordem para a sua representação. É chamado de sistema octal. Este
sistema era mais utilizado antigamente, pois é uma simplificação do sistema binário: 3
dígitos binários eram substituídos por 1 dígito no sistema octal, porque o valor máximo de
um número de 3 dígitos binários é 111, ou seja, 7. que é o número máximo de caracteres
diferentes utilizados pelo sistema octal (base 8). Atualmente, o sistema octal entrou em
desuso pela utilização cada vez maior da informática e de circuitos eletrônicos digitais, que
utilizam somente números binários. Em substituição ao sistema octal é utilizado o sistema
hexadecimal.
6. Sistema Hexadecimal
O sistema hexadecimal de numeração pode representar quatro bits do sistema binário por
um dígito (o número máximo obtido com quatro dígitos binários é 1610, que é a base do
sistema hexadecimal) utilizando os dígitos de 0 à 9 do sistema decimal e representando os
números de 10 à 15 pelos caracteres A, B, C, D, E, F. A contagem no sistema hexadecimal
se processa da seguinte forma:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1A, 1B,...
Exemplo de números binários:
•
A16 = 1010
•
99F16 = 246310
•
BBC16 = 300410
7. Conversão entre Bases
A ordem de um dígito dentro de um número é dada pela posição que esse dígito
ocupa no número, em que:
•
0 é a ordem do dígito imediatamente à esquerda da virgula (ponto) decimal,
crescendo no sentido da esquerda para a direita, e decrescendo no sentido da direita
para esquerda.
Exemplo:
5423,97
Dígito 7: ordem –2
Dígito 9: ordem -1
Dígito 3: ordem 0
Dígito 2: ordem 1
Dígito 4: ordem 2
Dígito 5: ordem 3
Conversão de uma base qualquer para a base decimal
A conversão de um número escrito na base b para a base decimal obtém-se
multiplicando cada dígito pela base b elevada à ordem do dígito, e somando todos estes
valores. Exemplo:
15326 = 1*63 + 5*62 + 3*61 + 2*60 = 41610
1532,646 = 1*63 + 5*62 + 3*61 + 2*60 + 6*6-1 + 4*6-2= 41610
110110,011 = 1*25+ 1*24+0*23+1*22+1*21+0*20+0*2-1+1*2-2+1*2-3 = 54,375
Conversão de um número da base 10 para uma base qualquer
Na conversão de um número na base decimal para uma base b, o processo mais
direto é composto por 2 partes:
•
divisão sucessiva da parte inteira desse número pela respectiva base, sendo os restos
obtidos com cada uma dessas divisões, os dígitos da base b e os quocientes a usar na
sucessão de divisões;
•
multiplicação sucessiva da parte fracionária desse número pela respectiva base,
sendo a parte inteira de cada um dos produtos obtidos, os dígitos da base b (a
começar com o mais significativo, i.e., mais junto ao ponto decimal), e a parte
decimal a usar na sucessão de multiplicações.
Exemplo a: converter o número 235,37510 para a base 2:
Parte Inteira: 235
235
2
1
117
1
Parte Fracionária:
0,375
0,75
0,5
0,375
----
2
58
0
2
29
1
2
14
0
0,375*2 = 0,750
0,75*2 = 1,5
0,5*2 = 1,0
2
7
1
2
3
1
2
1
a parte inteira é: 0
a parte inteira é: 1
a parte inteira é: 1
O número correspondente na base 2 é: 11101011,0112
Exemplo b: converter o número 409610 para a base 16
4096
0
16
256
0
16
16
0
16
1
O número correspondente na base 2 é: 1000
Conversão de um número binário para Hexa e Hexa para Binário
A conversão de um número binário para hexadecimal pode ser feita de forma
indireta pelos métodos de conversão anteriores: converte-se do sistema binário para o
decimal e depois do decimal para o sistema hexadecimal. Porém, uma conversão direta do
sistema binário para o sistema hexadecimal pode ser efetuada substituindo-se quatro dígitos
binários por um dígito hexadecimal, pois com quatro dígitos binários obtenho no máximo o
número 16, que é a base do sistema hexadecimal.
Exemplo 1:
Conversão do número 11101 em binário para o sistema hexadecimal.
1 – separar quatro últimos dígitos do número binário: 1101
11012
2 - Converto diretamente 11012 para hexadecimal:
11012 = 1310 = D16
D16 será o último dígito do número hexadecimal.
3 - Repetir o mesmo método para os dígitos restantes do número binário: 12 = 116
116 será o dígito mais significativo do número hexadecimal.
4 - Unindo os dois dígitos, é obtido o número em hexadecimal:
111012 = 1D16
Do mesmo modo realizado para converter da base binária para a base hexadecimal,
pode-se fazer inversamente na conversão da base hexadecimal para a binária, ou seja, nessa
operação cada símbolo do número em hexadecimal irá corresponder a 4bits do número em
binário, por exemplo:
Exemplo 3:
Conversão do número CDF hexadecimal para o sistema binário.
F16 = 1510 = 11112
D16 = 1310 = 11012
C16 = 1210 = 11002
CDF16 = 1100110111112
Exemplo do quadro de Conversões