Eletricidade A - ENG04474
Aula II
Elementos Básicos Ideais
 Elemento Básico Ideal é a forma mais simples de um Bipolo
 Possui apenas dois terminais, pode ser descrito matematicamente
em termos de tensão e/ou corrente, não pode ser subdividido em
outros elementos
 Fontes de Tensão
 Fontes de Corrente
 Resistores
 Capacitores
 Indutores.
IDEAIS
Fontes de Energia Independentes
Produção de eletricidade: reações químicas entre metais (pilhas níquel-cádmio), materiais piezoelétricos,
bobinas girando na presença de campo magnético, atrito entre materiais não
condutores (eletricidade eletrostática). (FONTES REAIS DE ENERGIA ELÉTRICA)
 Fonte Ideal de Tensão Independente
 Bipolo cuja tensão entre os terminais é invariante em relação a corrente
que o atravessa
v
Corrente e tensão no
bipolo indicadas de acordo
com a convenção passiva.
Nesse caso: v = +5V
i
 Fonte Ideal de Corrente Independente
 Bipolo cuja corrente que o atravessa é invariante em relação a tensão
entre seus terminais.
v
Corrente e tensão no
bipolo indicadas de acordo
com a convenção passiva.
i
Nesse caso: i = -5A
Fontes de Energia Dependentes
Dispositivos eletrônicos:
válvulas, transistores, amplificadores, etc. (Retiram a energia que fornecem de outras fontes de
energia elétrica)
 Fonte Ideal de Tensão Dependente
 Bipolo cuja tensão entre os terminais não depende da corrente que o
atravessa, mas sim da tensão ou corrente em um outro bipolo.
Fonte de Tensão controlada por Corrente
Fonte de Tensão controlada por Tensão
 Fonte Ideal de Corrente Dependente
 Bipolo cuja corrente que o atravessa não depende da tensão entre seus
terminais, mas sim da tensão ou corrente em um outro bipolo.
Fonte de Corrente controlada por Corrente
Fonte de Corrente controlada por Tensão
Resistor
 Bipolo cuja função que relaciona v e i é algébrica, f(v,i)=0 e v=0  i=0
 A função também pode depender de outras variáveis tais como tempo (t),
intensidade luminosa () e temperatura (T) f(v,i,t,T, )=0.
 Esta função pode ser linear ou não linear.
convenção
passiva.
 Resistores Lineares
 Bipolo em que a função f(v,i)=0
é linear e v=0  i=0
 O resistor linear é caracterizado por sua
resistência (R - unidade Ohms ())
ou por sua condutância (G - unidade Simens (S))
 Lei de Ohm
v=Ri
ou i=Gv
Para materiais homogêneos e isotrópicos é possível definir os conceitos resistividade  e
condutividade . Em um cilindro de área A e comprimento l:
Resistor
Sob o ponto de vista da teoria de circuitos elétricos, uma série de dispositivos pode ser modelada como resistor.
 Resistores Não Lineares
 Bipolos em que a função f(v,i)=0 é não linear e v=0  i=0
 Exemplos:
• Lâmpada Incandescente: em metais, a resistividade
geralmente cresce com a temperatura, que por sua vez cresce com a
dissipação de potência, explicando a característica não linear
• Válvula triodo
• Diodo Semicondutor
i
+
v
-
Capacitor
 Bipolo onde a carga armazenada, q, é uma
função instantânea da tensão.
 Capacitor Linear - q=Cv
 C é denominado capacitância e sua unidade é Farad (F)
 A passagem de corrente de um terminal a outro do capacitor
corresponde a uma variação de carga
(não há corrente atravessando o dielétrico).
 Num Capacitor Linear, a função f(i,v)=0 é dada por:
(convenção passiva)
 O Capacitor Armazena Energia Elétrica
Indutor
 Bipolo onde o fluxo magnético, , é uma
função instantânea da corrente.
 Indutor Linear - =Li
 L é denominado indutância e sua unidade é Henry (H).
 Num Indutor Linear, a função f(i,v)=0 é dada por:
(convenção passiva)
 O Indutor Armazena Energia Magnética
Modelos de Dispositivos Reais
 Resistores, Capacitores, Indutores, Transformadores, Diodos,
Transistores, Tiristores, etc. REAIS
 Um modelo de um dispositivo real descreve o funcionamento do
dispositivo:
 de forma aproximada,
 utilizando um conjunto de elementos básicos ideais,
 para um determinado conjunto de condições de contorno.
 Exemplos:
 Resistor
Imagem do
dispositivo Real
Modelo ideal do
dispositivo
R1
1k 
Modelo mais
realista do
dispositivo
R1
1k
L
C
Modelos de Dispositivos Reais
 Capacitor
Imagem do
dispositivo Real
Modelo Ideal do
dispositivo
C1
33uF
Modelo mais realista
do dispositivo
L
R
C
33uF
 Indutor
Imagem do
dispositivo Real
Modelo Ideal do
dispositivo
L1
10mH
Modelo mais realista
do dispositivo
L1
10mH
R
C
Fontes Reais de Energia
Exemplos: Baterias eletroquímicas, materiais piezoelétricos, bobinas girando na presença de campo
magnético, atrito entre materiais não condutores (eletricidade eletrostática), materiais fotoelétricos
 Qual modelo empregar:
 Fonte de Tensão Ideal?
 Fonte de Tensão em Série com um Resistor?
i
- Rsi +
+
+ Rs
+
V
V
-
v
v
Região de
validade do
modelo
i
i
+
v
-
Esse modelo pode ser
empregado dentro da faixa
de corrente e tensão em
que a relação entre a
corrente e a tensão nos
terminais da fonte de
energia puder ser
expressa por:
v= Rsi+V
Transformador
 O transformador é um dispositivo capaz de
transferir energia elétrica de um circuito para
outro por meio de um campo magnético
que enlaça ambos os circuitos.
+
vp
-
ip
+
vs
-
is
Np N s
 Se o campo magnético que enlaça os enrolamentos for o mesmo então, pela lei
de Faraday:
v
N
p
vs

p
Ns
 Utilizado principalmente em circuitos com tensão e corrente alternadas e
cíclica, apresentando um comportamento linear.
 Quando operando de forma linear o modelo básico ideal do transformador
pode ser determinado pelo princípio da conservação de energia (toda energia
entregue ao circuito primário é repassada ao secundário) de modo que:
p p  ps
ip
vp
Np 1
is
v pi p  vsis 



vs i p N s a
+
vp
-
is
ais
+
avp v
s
+
Modelo
Ideal
Transformador - Exemplos
Circuito Linear
 Um circuito é linear quando as relações entre tensão e corrente no
circuito são determinadas por uma função linear
f(ax1 + bx2) = af(x1) +b f(x2)
 Equações Diferenciais Lineares
d ni
di
d mv
dv
n
   1
  0i  m
   1
 0v    0
dt
dt
dt
dt
Caso Particular de Circuitos Lineares
v =  i +  ou i =  v + 
Funções Lineares Algébricas
 Todo circuito constituído por elementos básicos ideais lineares é um
circuito linear.







Fontes de Tensão independente
Fontes de Tensão dependentes
Fontes de Corrente independente
Fontes de Corrente dependentes
Resistores lineares
Capacitores lineares
Indutores lineares.
Exemplos de
Circuitos Lineares
 Equações diferenciais lineares
i
L
R1
C
+ vL - + vR1 - + vC - +
+
v R2
1k
V1
-
-
vL+ vR1+ vC+ v - V1 = 0
L
di
1
+ R1 i +
dt
C
 Função linear Algébrica
i
+
R1
+ vR1 - +
V1
-
vR1+ v - V1 = 0
v
-
R2
 i dt + v - V1 = 0

v
V1
i R1 + v -V1 = 0
v = - R1 i + V1
V1
R1
i
Análise de Circuitos
NOME
 Terminologia
DEFINIÇÃO
EXEMPLO
Ponto ao qual estão ligados dois ou mais
bipolos.
Nó
Nó Essencial Ponto ao qual estão ligados três ou mais bipolos.
 Exemplo
b
Caminho
Seqüência de bipolos ligados entre si na qual
nenhum bipolo é incluido mais de uma vez.
V1-R1-R5-R6
Ramo
Caminho que liga dois Nós
R1
Ramo
Essencial
Caminho que liga dois Nós Essenciais sem passar
V2-R4
por outro Nó Essencial.
Laço
Caminho cujo último Nó coincide com o primeiro
V1-R1-R5-R6-R4-V2
Malha
Laço que não inclui nenhum outro Laço
V1-R1-R5-R3-R2
Ramo
a
b
R1
+
V1
R5
Malha
Nó Essencial
-
c
Ramo Essencial
a
R2
+
V2
-
d
Laço
R3
e
Nó
R6
R4
f
R7
g
I1
Técnicas de Análise de Circuitos
Aplicação Direta das Leis de Kirchhoff
 Objetivo:
 Obter Tensões e Correntes no Circuito
 Equações Simultâneas




Eqs. = Número de ramos, b, onde as correntes são desconhecidas.
n Nós  (n-1) Equações de Nó (se faltam equações??).
b-(n-1) Equações de Laço.  (não garante equações independentes)
+ Equações dos Bipolos, f(v,i)=0.
 Equações Simultâneas Independentes






Utiliza-se os Ramos Essenciais, Nós Essenciais e Malhas.
Diminui o número de equações
Eqs. = Número de Ramos Essenciais, be, onde as correntes são desconhecidas.
ne Nós Essenciais  (ne-1) Equações de Nó (se faltam equações??).
be -(ne -1) Equações de Malha (garante equações independentes).
+ Equações dos Bipolos, f(v,i)=0.
Técnicas de Análise de Circuitos
 Método Sistemático para obter Equações Simultâneas Independentes
 Marcar os nós essenciais
 Contar os nós essenciais (ne)
 Assinalar as correntes desconhecidas de cada ramo essencial
 Contar as correntes desconhecidas (be)







Assinalar a tensão de cada bipolo seguindo a convenção passiva
Escrever as (ne-1) equações de nó
Marcar as malhas ( exceto as que contêm fontes de corrente) ou e super malhas
Escrever as be-(ne-1) equações de malha
Escrever as equações dos bipolos (relaciona i com v)
Substituir as equações dos bipolos nas equações de nó ou nas de malha
Resolver o sistema com be equações
Exemplo
be = 6  6 Equações
iV1R1
+
ne = 4  3 Equações de Nó
b
R1
iR5
V1
R5
Nó b :  iV1R1  iR5  iR7  I1  0
-
c
R2
iR2R3
+
iR7
- vR1 +
R2
R3
+ vR2 -
+ vR3 -
+
V2
-
Nó e :  iR5  iR2R3  iR6  0
be = 6, ne = 4  6-(4-1) = 3 Equações de Malha
B
R4
Malha A :  vR1  vR5  vR3  vR2  V1  0
Malha A :  iV1R1R1  iR5R5  iR2R3R3  iR2R3R2  V1  0
+
vR5 R5
-
A
-
Nó c :  iV1R1  iR2R3  iV2R4  0
g
R1
V1
I1
R4
iV2R4
+
R7
R6
iR6
V2
-
e
R3
+
vR6
-
+
+
R7
vR7
vI1
R6
C
+ vR4 -
Lei de Ohm v = Ri
I1
Malha B :  vR2  vR3  vR6  vR4  V2  0
Malha B :  iR2R3R2  iR2R3R3  iR6R6  iV2R4R4  V2  0
Malha C :  vR7  vR6  vR5  0
Malha C :  iR7R7  iR6R6  iR5R5  0
Super Malha
 Laço composto de malhas vizinhas separadas por um ramo essencial
que contêm uma fonte de corrente
iV1R1
iR2R3
R1
R2
+ vR1 -
+ vR2 -
+
I1
V1
-
A
R4
+
B vR3
-
Super Malha AB
R3
Equação da Super Malha
Super Malha AB :  V1  vR1  vR2  vR3  0
Super Malha AB :  V1  iV1R1 R1  iR2R3 R2  iR2R3 R3  0
Divisor de Tensão
Em alguns casos é mais simples aplicar expressões derivadas das leis de Kirchhoff do
que as próprias leis de Kirchhoff para determinar as tensões e correntes no circuito.
Bipolo
+
i
-
Vb
+ vR1- + vR2-
R1
+ vRk-
R2
vRk = i Rk =
Rk
+ vRnRn
vR1 + vR2 +.... + vRk +....+ vRn - Vb=0
i R1 + i R2 +.... + i Rk +....+ i Rn-Vb=0
i=
Vb
R1 + R2 +.... + Rk +....+ Rn
Rk
R1 + R2 +.... + Rk +....+ Rn
Vb
vRk =
Rk
p=n
 Rp
p=1
Vb
Divisor de Corrente
Ib
+
v iR1 R1 iR2 R2 iRk Rk iRn Rn
Bipolo
-
iR1 + iR2 +.... + iRk +....+ iRn - Ib=0
v
R1
+
v=
v
R2
1
+
1
R2
+ .... +
1
+ .... +
Rn
Rk
1
Ib
v
R1
v
+ .... +
- Ib = 0
Rn
Rk
v
Ib
R1
1 .
iRk =
=
Rk
Rk 1
+ .... +
+
1
R2
+ .... +
1
+ .... +
Rn
Rk
1
iRk =
1
Rk
.
1
p=n

p=1
1
Rp
Ib
Exemplos
 Divisor de Tensão
Bipolo
vR2 = ?
15
vR2 =
10 + 15 + 5
.
7 = 14 V
+
i
+ vR1- + vR2- + vR310
iR3 =
15
5
5A
 Divisor de Corrente
iR3 = ?
-
7V
+
Bipolo
1
1 .
. 5 = 2 A
1
10 1
1
1
+
+
+
12 20 10 60
v iR1 12 iR2 20 iR3 10 iR4 60
-