Modelagem de Problemas como
ferramenta ensino-aprendizagem
Algumas considerações finais
Ferramentas de modelagem de
problemas estudados
• Sistemas Lineares
• Programação Linear
• Funções (Lineares, Afins, Escada, Quadrática,
Racional, Polinomial geral, Exponencial,
Logarítmica)
• Equações de Recorrência Lineares
Um problema de população
• Num país as taxas de nascimentos e mortes são, respectivamente 40 por
mil e 15 por mil, por ano, respectivamente. A população inicial é de 50
milhões de habitantes.
a) Deduza uma equacão de diferenças para a população no final de um ano,
em relação à do final do ano anterior.
b) Resolva a equação e estime qual será a população em 10 anos.
c) Se, devido à alta taxa de natalidade, ocorrer emigração a uma taxa de
10000 por ano, qual será a mudança nos resultados?
Solução do Problema
• Pn=Pn-1+4/100 Pn-1-1.5/100 Pn-1, P0= 50 milhões
• Pn= (102.5/100)n P0= (102.5/100)n 50 milhões
• P10=(102.5)10.50.106/(100)10=64. 106 habitantes
aproximadamente.
• Pn=Pn-1+4/100 Pn-1-1.5/100 Pn-1-104, logo
• Pn=(102.5/100)Pn-1-104, equação não homogênea
• Pn=k1(102.5/100)n+k2, logo k2=0.4 x 106 e
k1=49.6x106
• P10= 63.89 milhões de habitantes, aproximadamente
Sistema de Equações de Diferenças
• Suponha que a população de um país é dividida em 2 grupos de idades:
G1= de 0 a 12 anos, G2= o resto. Suponha que os nascimentos só ocorrem
no grupo 2, a uma taxa de 0.04 e cada grupo tem sua própria taxa de
mortalidade, no G1, de 0.016 e no G2, de 0.03. Suponha que a população
inicial de G1 é de 5 milhões e de G2 é de 15 milhões. É assumido que em
cada ano 1/12 dos sobreviventes do G1 progridem para G2.
a) Qual a população em G1/G2 após 1 ano?
b) E após 2 anos?
c) Como deve ser obtida a população após 10 anos?
Solução do Problema
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P1(t)= população de G1, P2(t)=população de G2
Para G1: P1(t+1)=0.04P2(t)+11/12 P1(t)(1-0.016)= os nascidos do G2+ a parcela dos
sobreviventes que não foram para o G2
Para G2: P2(t+1)=1/12 P1(t)(1-0.016)+P2(t)(1-0.03)=os sobreviventes de G1 que
foram para G2 e os sobreviventes de G2.
Usando matrizes, se o vetor Pt for formado por P1(t) e P2(t), teremos
Pt+1=A Pt, levando à resolução Pt=AtP0, onde as linhas de A são: 0.902 e 0.04 a
primeira e 0.082 e 0.97 a segunda.
P1(t)=5.11 e P2(t)=14.96, logo a população total será de 20.07 milhões.
Para as demais deverá ser utilizado o recurso de produto de matrizes (pode ser
implementado facilmente em MAPLE, por exemplo).
Porque resolver uma recorrência?
• Utilizar a relação de recursividade é ineficiente em geral, porque
recalcula o mesmo valor várias vezes.
• Recorrência de Fibonacci: Fn=Fn-1+Fn-2 (recursivo)
• Fn=1/√5(өn-(-ө)-n), onde ө=(1+√5)/2, razão de outro (iterativo)
• Comparação: se n=20, o recursivo leva 1s e o iterativo leva 1/2ms,
se n=30, o recursivo leva 2 min e o iterativo leva ½ ms, se n=50, o
recursivo leva 21 dias e o iterativo leva ¾ ms, se n=100 o recursivo leva
109 anos e o iterativo leva 1,5ms.
• Recursividade= conceitual, Iteratividade = computacional.
Extensões dos tópicos estudados
• Programação não linear: a função objetivo e/ou as
restrições são não lineares--- derivadas parciais de
funções não lineares de várias variáveis+ Método de
Multiplicadores de Lagrange (Teorema de KuhnTucker)
• Equações de Recorrência não lineares
yn+1=f(yn, yn-1,…), onde f função não linear
Exemplos de relação de recorrência
não linear
• Xn+1=axn(1-xn)
Equação Logística Discreta ( May -1976)
• ∆Rn=aRn-bRnWn e ∆Wn=cRnWn-dWn
Sistema de Equações de Diferenças Predador x Presa,
W=Lobos (predadores) e R=Coelhos (presas),
a,b,c,d constantes positivas – análise experimental
Outras ferramentas importantes
• Derivada de funções --máximos e mínimos de
funções
• Integral (anti-derivada) de funções – equações
diferenciais e sistemas de equações diferenciais
• Funções de Várias Variáveis, Derivadas parciais,
Máximos e Mínimos de funções de várias variáveis,
equações diferenciais parciais e sistemas de
equações diferenciais parciais.
Exemplo 1
Solução do Exemplo 1
Exemplo 2
•
Se U(x,y,z,t) for a temperatura num ponto (x,y,z) de um corpo sólido, num
instante t, conhecendo as leis físicas que descrevem a evolução das trocas
de calor, a temperatura inicial em cada ponto e a temperatura na
superfície do sólido, determinar a temperatura em cada ponto do interior
do corpo, em cada instante.
Modelagem utilizando EDP; solução utilizando séries de Fourier,
implementação computacional utilizando aproximação por polinômio
trigonométrico ou método de diferenças finitas
Exemplo 3
Solução do Exemplo 3
Conclusão
• Método de Polya para Modelagem de Problemas: ainda útil
nas áreas mencionadas e nos exemplos citados
•
Compreensão do Problema,
•
•
•
Dedução de um modelo matemática que descreva o problema,
Solução do Modelo e verificação da solução,
Interpretação da Solução
• Tópicos estudados: são úteis para estudar problemas mais
sofisticados (aproximação de problemas não lineares por
famílias de problemas lineares, de forma iterativa- métodos
de ponto fixo)