Eletricidade A - ENG04474
AULA VI
Técnicas de Análise de Circuitos
Método das Tensões de Nó
 Determinam-se as diferenças de potencial entre Nós Essenciais
 Vantagem: Menor número de Equações Simultâneas
 Número de Equações Simultâneas
 No máximo n.Eqs. = (ne-1) Equações baseadas nas tensões de Nó.
 Tensão de Nó
 É a diferença de potencial entre um Nó Essencial e o Nó de Referência
 Nó de Referência
 1 Nó de Referência - Terra
 O potencial do Nó de referência é estabelecido como 0V (zero Volts)
 Qual deve ser o Nó de referência?
• Qualquer nó essencial. Geralmente (mas nem sempre) o mais indicado é o nó que
possui o maior número de bipolos conectados a ele.
 Exemplo
A
R2
B
R4
ne = 3
+
R1
Is1
V1
R3
-
C

2 Equações
Método das Tensões de Nó
 Como determinar as tensões e correntes nos elementos básicos do
circuito conhecendo-se as tensões de Nó?
 Calcula-se a corrente em cada ramo essencial
 Calcula-se a queda de tensão em cada elemento básico
 Exemplo
i4
+
C
R6
5
19,5V
V2
20V
R3
20
5
i1
V
I1
1A
R5
5
B
0V
R5
R4
20
R2
6,91V
A
i2
R1
10
-
i1 
10V
i3
D
+
-
V1
10V
i4 
i2 
i3 
V A  VB
R5
6 ,91  0
5
 1 ,38 A
 R5  i1  5  1 ,38  6 ,91 V
VC  V D
R3  R4
VD  V A
R2
VC  20  VA 
R6




19 ,5  10
20  20
10  6 ,91
5
 0 ,237 A
 0 ,618 A
19,5  20  6,91 
5
 1,482 A
Método das Tensões de Nó
 Número de Equações Simultâneas
 n. Eqs = (ned-1)
 ned = número de nós essenciais cujo potencial em relação a
qualquer outro nó essencial é desconhecido.
 Exemplos:
B
R6
R8
A
R2
C
+
V1
-
I1
R7
R7
R5
R4
-
C
D
ned = ne= 4

3 Equações
Vs2
Is1
E
D
+
Vs1
V2
R5
R4
R1
R2
+
G
+
R3
-
R1
A
+
R10
V3
R3
-
F
R9
R6
-
R8
B
Nós D e E bem como C e B estão vinculados por
uma fonte de tensão
ne= 7 mas ned = 5

4 Equações
VD=VE+Vs2
VC=VB+Vs1
Método das Tensões de Nó
 Equações das Tensões de Nó
 São as equações das correntes dos nós escritas como
função das tensões de nó
 Exemplo:
i3
A
i1
i2
R1
B
R2
Is1
i5
i4
+
R3
Vs1
VA  0
-
R1
C
ned = 3  2 Equações
VB  V A
R2

V A  VB
R2
 I s1
i3  i 4  i5  0
B
Incónitas:
VA, VB
VC=0
i1  i2  I s1
A
R4

V B  Vs1
R4

VB  0
R5
 0
Método das Tensões de Nó
 Exemplo - Caso com Super Nó:
F
R9
R3
G
R5
i2
R8
R2
i1
C
i3
R7
Is1
A
R7
E
D
+
VA  0
Vs2
R1
+
A
R4
-
R10
Vs1
VF  V A
R6
-
F
R 9  R 10
B
ned = 5  4 Equações
Super Nó DE
VG  VF
G
Incónitas:
VA, VF, VG, VE
R3
VG  VF

R3
VB=0 VC=Vs1
VD=Vs2+VE
DE
VE  VG
R5

VE  VG
R5
VE  0
R6


V E

V A  Vs1
R2


V A  VF

VF  VG
R 9  R 10
VG  VD
R4
R4
R6

VD  VG
 Vs2   V G
R4
R4

VE
R8
R5


0
VG  VE

V G   Vs2  V E 
VE  0
V F  Vs1

R3
 I s1
VG  VE
R5
VD  Vs1
R1
 Vs2   Vs1
R1
0
0
0
0
Método das Tensões de Nó
 Exemplo - Caso com Fontes Controladas:
A
R1
R2
B
R4
ix
Is1
+
V1
R3
-
ix
A
C
B
Escrever as fontes
controladas como
função das tensões
de Nó
 Substituí-las nas
equações de tensão
de Nó

VA  0
R1
VB  VA
R2
V1    ix
ix 
V A  VB
V1  
R2
V A  VB
R2

VB  V A
R2

V A  VB
R2
VB  V1
R4
VB  

 I s1

VB  0
R5
0
V A  VB
R2
R4

VB  0
R5
 0
Método das Tensões de Nó
 Montagem Algorítmica do Sistema de Equações
 Exemplo:
A
B
R2
Obs: nesta página quando se fala em ramo
está se referindo a ramo essencial
R4
+
R1
Is1
R3
Vs1
-
C
Soma das condutâncias dos ramos que
ligam o nó A aos demais Nós




A  V A  1  1   V B  1   I s1
R
R 
R 2 
 1
 2 
 1
 1 
1
  VB 
 VA 

R 
R
R4
 2 
 3
Soma das condutâncias dos ramos
que ligam o nó A ao nó B
B

 1
  V s1 
R

 4

Soma das condutâncias dos ramos que
ligam o nó B aos demais Nós
Fontes de corrente colaborando
com corrente para o Nó
Soma das condutâncias dos ramos que
ligam o nó B ao nó A




Soma das condutâncias dos ramos
que ligam a fonte de tensão ao nó B
Fontes de tensão colaborando
com corrente para o Nó
Método das Tensões de Nó
 Exemplo: Caso com Super Nó
R10
R8
C
R2
R4
Vs2
R1
Is1
E
D
+
R7
R5
+
A
G
R3
-
F
R9
Vs1
R6
-
B
A
 1
1
1
VA 


R
R2
R 9  R 10
 7


1
  VF 

R R
10

 9

 1 
  I s1  Vs 1

R 

 2 

F

1
 VA 
R R
10
 9
G
 1 
 1
 1
 1
1
1 
1 
  VG 
  VE 
  Vs2 
 VF 



R
R 
R
R
R4
R 5 
R 5 
 4
 3 
 3
 4
DE
 1
1
 VG 

R
R5
 4


 1 
 1 
1
1
1 
  VF 
  VG 
  Vs 1




R R





R8
R3 
10

 9
 R3 
 R8 

 1
1
1
1
 V 



E

R4
R5
R6

 R1

   Vs2






 1
1


R
R4
 1

 1 
  Vs1 


R 

 1 
Método das Tensões de Nó
 Exemplo: Caso com Fonte Controlada
A
R1
R2
B
R4

ix
Is1
+
V1
R3
-
ix
B
C
Escrever as fontes
controladas como
função das tensões
de Nó
 Substituí-las nas
equações de tensão
de Nó




A  V A  1  1   V B  1   I s1
R
R 
R 2 
 1
 2 
 1
 VA 
R
 2
 1

1
  VB 


R
R4

 3

 1
  V 1
R

 4





V1    ix
ix 
V A  VB
V1  
R2
V A  VB
R2
 1
 1 
1
  VB 
 VA 

R 
R
R4
 2 
 3

V  VB
  A

R2

 1 


R 
 4 