Cap. 4 – Energia para volume de
controle
4.1 - Conservação da massa para volume de controle
Sistema m:
V.C.
Região e
m  me  mVC (t)
m  mVC (t  t)  ms
me
mVC (t  t)  ms  me  mVC (t)
mVC (t  t)  mVC (t)  me  ms
mVC (t  t)  mVC (t) me ms


t
t t
 mVC (t  t)  mVC (t)  dmVC
lim
  dt
t 0 

t


mVC (t)
V.C.
Região s
mVC (t  t)
ms
m  
m

lim  e  s   m
e  ms
t 0 t
t 

dmVC
 e m
s
m
dt
V.C.
kg / s
e
m
Uma entrada - uma saída
dmVC
e  m
s
 m
dt
s
m
kg / s
dV
Várias entradas - Várias saídas
mVC   dV

V

dA
0
d dV
VC
dt
Velocidade paralela ao vetor área:
Escoamento uniforme:

SC

SC
 
V.dA
 
V.dA  0
 
V.dA  0
saídas
entradas
 
V.dA  s Vs A s  e Ve A e
Exemplo 4.1
Misturador
Água 2
2 ?
m
1
Vapor
V2 = ?
dmVC
e  m
s
 m
dt
T1 = 200 oC
p1 = 7 bar
 1 = 40 kg/s
m
cm2
A2 = 25
T2 = 40 oC
p2 = 7 bar
3
1 m
 2 m
3
0m
Líquido saturado
0  40  2 A2 V2  3 A3 V3
Tabela A-3 - Líquido saturado :
(AV)3 = 0,06 m3/s
p3 = 7 bar
3  1 / v 3 = 1 / 1,108x10-3 = 902,5 [kg/m3]
 2  902,5 x 0,06  40  m
 2  54,15
0  40  m
 2  54,15  40  14,15 [kg / s]
m
Tabela A-3 - Líquido saturado (T=40 oC > v2 = 1,0078x10-3 > 2 = 992,3 [kg/m3]
 2  2 A2 V2  14,15  992,3 x 25x104 x V2
m
V2  5,7 [m / s]
Exemplo 4.2
 = 62,4 [lb/ft3]
 e  30 [lb / s]
m
Esboçar graficamente a variação
da altura de líquido com o tempo
 s  9Lm / 0,3048 [lb / s]
m
 s  9Lm / 0,3048 0,453 [kg / s]
m
 s  13,37Lm  [kg / s]
m
A=3 [ft2]
1 [lb] = 0,453 [kg]
1[ft] = 0,3048 [m]
 e  13,6 [kg / s]
m
A=0,279 [m2]
 = 998 [kg/m3]
L [ft]
dmVC
 e m
s
m
dt
mVC  V  AL
dmVC
dL
 A
dt
dt
dL
 0,049  0,048 L
dt

0 ,048 t
A
dy
 C1 y  C 2
dt
dL
 0,048 L  0,049
dt
L  1,02 1  e
 s  9L [lb / s]
m
dL
dL
 998 x 0,279
 13,6  13,37L
dt
dt
y

C2
1  e C1t
C1
C2 
L[m]


t[s]
e
m
A
s L
m
C1 
A
4.2 - Conservação da energia para VCs
V.C.
Região e
E(t)  EVC (t)  me (ue  Ve2 / 2  gze )
me
E VC (t)
E(t  t)  EVC (t  t)  ms (us  Vs2 / 2  gzs )
E(t  t)  E(t)  Q  W
V.C.
Região s
EVC (t  t)
ms
Vs2
Ve2
[E VC (t  t)  E VC (t)]  ms (us 
 gzs )  me (ue 
 gze )  Q  W
2
2
Vs2
Ve2
[E VC (t  t)  E VC (t)]  ms (us 
 gzs )  me (ue 
 gze )  Q  W
2
2
[E VC (t  t)  E VC (t)] Q W me (ue  Ve2 2  gze ) ms (us  Vs2 2  gzs )




t
t t
t
t
[E VC (t  t)  E VC (t)] dE VC

t 0
t
dt
lim
Q

Q
t 0 t
lim
W

W
t 0 t
lim
 me (ue  Ve2 2  gze ) 
2

lim 

m
(
u

V
e
e
e 2  gze )

t 0
t


 ms (us  Vs2 2  gzs ) 
 s (us  Vs2 2  gzs )
lim 
m

t 0
t


dE VC  
 e (ue  Ve2 2  gze )  m
 s (us  Vs2 2  gzs )
 QWm
dt
dE VC  
 e (ue  Ve2 2  gze )  m
 s (us  Vs2 2  gzs )
 QWm
dt

W
+
_

W
VC
ex.: potência de eixo, potência elétrica e outros

W
P
Q>0
Q<0
= Trabalho que atravessa as superfícies de controle
= Trabalho associado à pressão do fluido nas entradas
e saídas do volume de controle
W>0
Sistema
+
W<0
_
Trabalho de fluxo

V
pe A e
VC

V
ps A s
(pe Ae )Ve  e / e
pem
(ps As )Vs +
 s / s
psm
e
pe v em
s
ps v sm
dE VC  
 sp s v s  m
 ep e v e  m
 e (ue  Ve2 2  gze )  m
 s (us  Vs2 2  gzs )
 Q  WVC  m
dt
dE VC  
 sp s v s  m
 ep e v e  m
 e (ue  Ve2 2  gze )  m
 s (us  Vs2 2  gzs )
 Q  WVC  m
dt
dE VC  
 e (ue  pe v e  Ve2 2  gze )  m
 s (us  ps v s  Vs2 2  gzs )
 Q  WVC  m
dt
he
hs
dE VC  
 e (he  Ve2 2  gze )  m
 s (hs  Vs2 2  gzs )
 Q  WVC  m
dt
W
Uma entrada - uma saída
dE VC  
 e (he  Ve2 2  gze )   m
 s (hs  Vs2 2  gzs ) W
 Q  WVC   m
dt
Várias entradas - Várias saídas
4.3 - Análise em regime permanente
Conservação da massa
dmVC
e  m
s
 m
dt
dmVC
0
dt
 m   m
e
s
Conservação da energia:
dE VC  
 e (he  Ve2 2  gze )   m
 s (hs  Vs2 2  gzs )
 Q  WVC   m
dt
dE VC
0
dt
 W
 
 (h  V 2 2  gz ) 
 (h  V 2 2  gz )
Q
m
m
VC

s m
e m

m
(Vs2  Ve2 )  0
s
s
s
s

e
e
e
e
 W
 m
 [(hs  he )  (Vs2  Ve2 ) 2  g(zs  ze )]
Q
VC
(zs  ze )  0
 W
 m
 (hs  he )
Q
VC
W
Bocais e difusores
e m
s
m
e A e Ve  s A s Vs
Ae  As
Ve  Vs
As  Ae
Vs  Ve
Aceleração e desaceleração
do escoamento
2
2
 W
 m

Q
[(
h

h
)

(
V

V
VC
s
e
s
e ) 2  g(zs  ze )]
s m
e m

m
0
0
 m
 [(hs  he )  (Vs2  Ve2 ) 2]
Q
Processo adiabático:
 0
Q
0  (hs  he )  (Vs2  Ve2 ) 2
Exemplo 4.3
 = 2 [kg/s]
m
T1 = 400 oC
p1 = 40 bar
V1 = 10 m/s
p2 = 15 bar
V2 = 665 m/s
A2 = ?
0  (hs  he )  (Vs2  Ve2 ) 2
0  (hs  he )  (6652  102 ) 2
he  hs  221.062 [J / kg]
he  hs  221,1 [kJ / kg]
Tabela A-4
T
he = 3.213,6 [kJ/kg]
hs  3.213,6  221,1  2.992,5 [kJ / kg]
T=400 oC
e
Tabela A-4
p=40 bar
s
  s A s Vs
m
p=15 bar
v
vs = 0,1627 [m3/kg]
2  (1 / 0,1627) A s 665
As  4,89 x 104 [m2 ]
Turbinas : É uma máquina que produz trabalho através da passagem de um fluido
 = 4.600 [kg/h]
m
T1 = 400 oC
p1 = 60 bar
V1 = 10 m/s
e A e Ve  s A s Vs
s m
e m

m
2
2
 W
 m

Q
[(
h

h
)

(
V

V
VC
s
e
s
e ) 2  g(zs  ze )]
  1.000 [kW]
W
VC
p2 = 0,1 bar
V2 = 50 m/s
x2 = 0,9
0
Exemplo 4.4
 W
 m
 [(hs  he )  (Vs2  Ve2 ) 2]
Q
VC
  106  (4.600 / 3.600) [(h  h )  (V2  V2 ) 2]
Q
s
e
s
e
T
  106  1.277 [(h  h )  (502  102 ) 2]
Q
s
e
T=400 oC
p=60 bar
p=0,1 bar
v
Tabela A-4
he = 3.177,2 [kJ/kg]
Tabela A-3
hs = 2.345,4 [kJ/kg]
  106  1.277 [(2.345,4  3.177,2)x103  1.200]
Q
  106  1.277 [1.200  831.800]
Q
  106  1,061x106
Q
  61.300 [W]
Q
  61,3 [kW]
Q
Quarta lista de exercícios
4.7 – 4.13 – 4.21 – 4.30 – 4.37 – 4.49 – 4.81