CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO DISTRITO FEDERAL
DIRETORIA DE ENSINO E INSTRUÇÃO
CENTRO DE ASSISTÊNCIA AO ENSINO
COLÉGIO MILITAR DOM PEDRO II
Lista 2 de Matemática
1a Série do Ensino Médio - 1o Bimestre de 2011
Professores Diogo, Edgard e Iracema
1. Ao medir o nı́vel do óleo do cárter do motor de um automóvel, um mecânico constatou que havia apenas
3 L, quando deveria haver, no mı́nimo, 5,5 L. Por isso, o mecânico completou o nı́vel mı́nimo despejando óleo
no cárter à razão de 0,5 L por minuto. O gráfico abaixo representa a função f que expressa a quantidade
y de litros de óleo no cárter em função do tempo x, em minuto, a partir do momento em que se iniciou o
abastecimento até o momento em que foi atingido o nı́vel mı́nimo.
y
5,5
5
4,5
4
3,5
3
1
2
3
4
5
x
Construa o gráfico da função que expressa o tempo, em minuto, em função da quantidade de litros de óleo
contida no cárter, a partir do instante em que se iniciou o abastecimento até o momento em que foi atingido
o nı́vel mı́nimo.
2. No centro de provas de uma indústria de motocicletas, uma moto percorreu vários trajetos de comprimentos diferentes. O tempo t, em hora, para a moto percorrer cada trajeto em função da velocidade constante
1
v, em quilômetro por hora, adotada no trajeto é dado por t =
, para v > 50.
v − 50
a) Escreva uma equação que expresse a velocidade v em cada trajeto em função do tempo t.
b) Qual é o comprimento do trajeto percorrido pela moto à velocidade de 60 km/h?
c) Qual é o comprimento do trajeto percorrido pela moto em 30 min?
3. Um agricultor tem um terreno e duas opções: plantar soja ou plantar feijão. O gasto com a plantação
da soja será de R$ 10.000,00, e o preço de venda de cada quilograma, R$ 2,00. Já o gasto com a plantação
de feijão é de R$ 12.000,00, e preço de venda de cada quilograma R$ 3,00.
a) Determine a lei de formação da função Vs (x) que descreve o valor obtido com a produção de soja em
função do número x de quilogramas vendidos.
b) Determine a lei de formação da função Vf (x) que descreve o valor obtido com a produção de feijão em
função do número x de quilogramas vendidos.
c) Para quantos quilogramas teremos Vs (x) = Vf (x)?
4. A quantia y que uma pessoa gasta para abastecer seu carro depende da quantidade x de litros que são
colocados no tanque do veı́culo. Isso quer dizer que o gasto, em reais, é uma função do número de litros
colocados. Supondo que em um determinado posto o litro de gasolina custe R$ 2,20, escreva a lei de formação
dessa função.
1
www.diogo.mat.br
5. Seja x o número de anos decorridos a partir de 1960 (x = 0). A função y = f (x) = x + 320 fornece,
aproximadamente, a média de concentração de CO2 na atmosfera em ppm (partes por milhão) em função
de x. A média de variação do nı́vel do mar, em cm, em função de x, é dada aproximadamente pela função
x
g(x) = . Seja h a função que fornece a média de variação do nı́vel do mar em função da concentração de
5
CO2 . No diagrama seguinte estão representadas as funções f , g e h.
tempo
(anos) MM
/ média de variação do
nı́vel do mar (cm)
l5
l
l
hllll
l
ll
lll
g
MMM f
MMM
MMM
M&
concentração de CO2
(ppm)
Determine a expressão de h em função de y e calcule quantos centı́metros o nı́vel do mar terá aumentado
quando a concentração de CO2 na atmosfera for de 400 ppm.
6. O número de funcionários necessários para distribuir contas de luz, em um dia, para x por cento dos mo300x
radores de uma cidade, é dado por f (x) =
. Determine a porcentagem de moradores que receberam
150 − x
a conta de luz num dia em que foram destinados 75 funcionários para esse fim.
7. O fı́sico inglês William Thompson (1824-1907), também conhecido como Lord Kelvin, ao estudar o
comportamento dos gases, verificou que, quando se mantém a pressão constante, todos eles (na faixa em que
os consideramos gases ideais) dilatam-se na mesma proporção em relação ao volume inicial. Para realizar
esse experimento, basta colocar um gás num tubo longo de vidro de 1 mm2 de secção (área), confinado por
uma gota de mercúrio (a gota serve para o gás não escapar e para marcar seu volume a partir da altura).
Pode-se perceber a gota de mercúrio subir ou descer quando o tubo é aquecido ou resfriado. Observe o
esquema do experimento:
--~--------~---373 mm
273
-200
0
(
-100
mml
0
(
Para qual temperatura o volume do gás será zero?
8. Ao usar lupas (ou lentes de aumento), podemos ver detalhes de objetos pequenos. Por exemplo, utilizamos
algumas lupas para enxergar melhor uma formiga. O interessante é que o comprimento virtual (ou aparente)
da formiga aumenta numa proporção peculiar, de acordo com os dados da tabela:
Aumento da lente
Comprimento virtual
10×
12 mm
25×
30 mm
50×
60 mm
Se o aumento da lente for de 70×, qual será o comprimento virtual da formiga?
9. Em 1950, as populações de Tóquio e de Nova Iorque eram de 7 e 12,6 milhões de habitantes, respectivamente. Em 1974, as populações de Tóquio e de Nova Iorque passaram para 20 e 16 milhões de habitantes,
respectivamente. Admitindo-se que o crescimento populacional dessas cidades foi linear no perı́odo 19501974, determine o ano em que as duas cidades ficaram com a mesma população.
2
www.diogo.mat.br
10. Em uma fábrica, o custo de produção de 500 unidades de camisetas é de R$ 2.700,00, enquanto o custo
para produzir 1.000 unidades é de R$ 3.800,00. Sabendo que o custo das camisetas é dado em função do
número produzido através da expressão C(x) = qx + b, em que x é a quantidade produzida e b é o custo
fixo, determine:
a) Os valores de b e de q.
b) O custo de produção de 800 camisetas.
11. Em uma aplicação financeira, em regime de juro simples, o montante M , em real, em função do tempo
t, em mês, varia de acordo com a função M (t) = a + bt, em que a e b são constantes e t ∈ N. Sabendo que
os pontos (8, 1.740) e (10, 1.800) pertencem ao gráfico da função M , calcule:
a) o capital inicial dessa aplicação;
b) a taxa mensal de juro dessa aplicação.
12. Observe o gráfico das funções afins g e h.
y
g
h
1
-3
1
x
-1
a) Sem fazer cálculos, estime qual das funções tem maior taxa de variação. Justifique sua resposta.
b) Calcule o coeficiente angular das retas que são os gráficos de g e h.
c) Determine o coeficiente linear de cada uma das retas representadas no gráfico.
d) Determine o ponto de intersecção das retas.
e) Para quais valores de x, h(x) é menor que g(x)?
13. No perı́odo de 1 a 21 de fevereiro, o saldo bancário de uma pessoa variou linearmente de R$ 200,00 a
R$ 300,00 respectivamente.
a) Determine a taxa média de variação do saldo bancário (em real) em função do tempo (em dia) nesse
perı́odo e explicar o significado dessa taxa.
b) Calcule o saldo bancário dessa pessoa no dia 15 de fevereiro.
14. O preço do ingresso de uma peça de teatro é R$ 50,00, e o custo da apresentação de uma sessão é R$
5.000,00. Supondo-se não haver ingressos promocionais, responda às perguntas.
a) Qual é a expressão que relaciona o faturamento por sessão dessa peça com o número de ingressos
vendidos?
b) Qual deve ser o número mı́nimo de pagantes para que uma apresentação não acarrete prejuı́zo?
c) Considerando-se quatro apresentações semanais, qual deve ser o número mı́nimo de frequentadores por
semana para que não haja prejuı́zo?
d) Qual é o lucro máximo por sessão se o teatro tem 180 lugares?
3
www.diogo.mat.br
15. Para construir uma estrada, uma empresa cobra uma taxa fixa mais uma taxa que varia em função do
número de quilômetros de estrada construı́da. O gráfico abaixo descreve o custo y da obra, em milhão de
dólar, em função do número x de quilômetros construı́dos.
y
5
4
10 x
a) Obtenha a lei de associação y = f (x), para x ≥ 0, que determina esse gráfico.
b) Determine a taxa fixa cobrada pela empresa para a construção da estrada.
c) Qual será o custo total da obra se a estrada terá 50 km de extensão?
d) Calcule a taxa média de variação de y em relação a x quando este varia de 5 km a 8 km.
16. Admita que o valor da conta de água de um consumidor, em determinado mês, até o vencimento, é R$
21,00; que a multa cobrada para pagamento após o vencimento é 2% sobre o valor da conta; e que os juros
cobrados são 0,05% ao dia sobre o valor da conta. Considerando que a fatura foi paga com x dias de atraso
e que o valor pago foi R$ 21,63. Qual é o valor de x?
17. Quando a temperatura interna de uma sala atinge 30 ◦ C, um aparelho de ar condicionado é ligado de
forma automática, fazendo a temperatura variar linearmente com a variação do tempo. Sabe-se que, no
intervalo de 5 a 10 minutos, depois de ser ligado o aparelho, a temperatura variou, respectivamente, de 26
◦ C a 22 ◦ C. Elabore uma função que expresse a temperatura y, em grau Celsius, da sala em função do tempo
x, em minuto, enquanto estiver ligado o aparelho.
18. (PAS-UNB/1a Etapa, Sub-Programa 2006) A função cujo gráfico corresponde ao perı́odo 1 é
1
x + 70
24
1
b) f (x) = x + 85
24
c) f (x) = 24x + 70
a) f (x) =
d) f (x) = 24x + 85
19. (AFA/2007) Uma pessoa caminha, ininterruptamente, a partir de um marco inicial, com velocidade
constante, em uma pista circular. Ela chega à marca dos 1500 m quando são exatamente 5 horas. Se às 5
horas e 25 minutos ela atinge a marca dos 4000 m, é INCORRETO afirmar que
a) a velocidade média da pessoa é 100 m/min.
b) a pessoa começou a caminhar às 4 horas e 15 minutos.
c) para caminhar 2500 m essa pessoa gastou 25 minutos.
d) se a pessoa deu 4 voltas completas em 1 hora e 20 minutos, então a pista tem 2 km de comprimento.
e) às 5 horas e 50 minutos esta pessoa chega a marca de 6500 m.
4
www.diogo.mat.br
r
t
20. (IME/2010) Sejam r, s, t e v números inteiros positivos tais que
< . Considere as seguintes
s
v
relações:
I.
r+s
t+v
<
s
v
III.
r
r+t
<
s
s+v
II.
r
t
<
r+s
t+v
IV.
r+t
r+t
<
s
v
O número total de relações que estão corretas é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Gabarito
b) 1 e 31
c) g:-1; h:1
d) (3,2)
e) x > 3
1. 2. a) v = 1+50t
t
b) 6 km
c) 26 km
13. a) 5
b) R$ 270,00
3. a) Vs (x) = 2x − 10000
b) Vf (x) = 3x − 12000
c) 2.000 kg
14. a) y = 50x
b) 100 pagantes
c) 400 frequentadores
d) R$ 4.000,00
4. y = 2, 2x
5. h(y) =
y−320
5 ;
16cm
6. 30%
x
15. a) y = 10
+4
b) 4 milhões
c) 9 milhões
d) 0,1
7. -273 o C
8. 84 mm
9. 1964
16. 20 dias
10. a) q = 2, 2; b = 1600
b) R$ 3.360,00
17. y = −0, 8x + 30
11. a) R$ 1.500,00
b) 2%
18. a
12. a) A função g pois forma com
o eixo x um ângulo maior comparado com h.
19. b
20. d
5
www.diogo.mat.br