MAP – Matemática Aplicada
Universidade do Estado de Santa Catarina
Centro de Ciências Tecnológicas - CCT
Departamento de Matemática
Antônio João Fidélis
PROVA III
12/11/2013
Turma A
É proibido o uso de telefone celular, smartphones, tablets ou calculadoras programáveis, assim como o
empréstimo de materiais durante a prova. Só é permitido o uso de calculadora cientı́fica comum. Aproximações
numéricas serão desconsideradas. O desenvolvimento de todos os cálculos deve estar presente na prova.
Assinatura:
Nome:
1) [2,0 pontos] Parametrize a parte do paraboloide elı́ptico com concavidade voltada para o semi-eixo −Oz,
que está no primeiro octante, de vértice no ponto V (0, 0, 4) e que intercepta o eixo x no ponto A(4, 0, 0) e o
eixo
ponto
C(0, 6, 0). Informe os limites dos parâmetros. Determine a equação da reta normal ao ponto
y no
√
3 3
P 1, 2 , 3 .
2) [2,0 pontos] Determine a área
do paraboloide x = y 2 + z 2 entre x = 0 e x = 9 e a equação
√ √ da superfı́cie
do plano tangente ao ponto Q 4, 2, − 2 .
~ (x, y, z) = (z, y, x)
3) [2,0 pontos] Determine o fluxo de um lı́quido cujo campo de velocidade é dado por V
através de uma esfera de raio 2 e centrada na origem do sistema de coordenadas. Qual seu significado?
ZZ
4) [2,0 pontos] Use o Teorema de Stokes para calcular I =
~ × F~ · ~ndS, com F~ (x, y, z) = xzı̂ + yz̂ + xy k̂,
∇
S
e S é a parte da esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 que está dentro do cilindro x2 + y 2 = 1 acima do plano xOy.
ZZ
5) [2,0 pontos] Seja L =
2
~ · dS, com G(x,
~
G
y, z) = xyı̂ + y 2 + exz ̂ + sin(xy)k̂, com S sendo a superfı́cie
S
da região T definida pelo cilindro parabólico z = 1 − x2 e pelos planos z = 0, y = 0 e y + z = 2 . Use o Teorema
do Divergente para calcular L.
∂~
r
×
~n = ± ∂u
∂~
r
×
∂u
~r(u, v) = x(u, v)ı̂ + y(u, v)̂ + z(u, v)k̂, u, v ∈ R
ZZ ∂~r
∂~
r
a(S) =
∂u × ∂v du dv
ZZ
a(S) =
ZZ
f dS =
S
Φ=
1+
∂z
∂x
2
+
∂z
∂y
2
dx dy
s
2 2
ZZ
∂~r
∂~
r
∂z
∂z
du dv =
+
dx dy
f ~r(u, v) ×
f x, y, z(x, y) 1 +
∂u ∂v
∂x
∂y
R
R
ZZ
R
R
ZZ
s
∂~
r
∂v ∂~
r
∂v f~ · ~n dS =
S
ZZ
f~ ~r(u, v) ·
∂~r
∂~r
×
∂u ∂v
ZZ du dv = ±
R
R
ZZ
S
~ × ~g · ~n dS =
∇
∂z
∂z
−f1
− f2
+ f3 dx dy
∂x
∂y
I
ZZ
~g · d~r
C
S
f~ · ~n dS =
ZZZ
T
~ · f~ dV
∇