Editora Ferreira - Toque de Mestre
Olá Amigos!
Hoje coloco à disposição de vocês aqui na seção Toque de Mestre da Editora Ferreira
(www.editoraferreira.com.br) as questões de Matemática Financeira cobradas no último concurso da
Caixa Econômica Federal (CEF), em prova aplicada no último domingo, dia 22 de abril de 2012.
Como houve seis tipos de prova, diferentes apenas pela disposição das questões e suas respectivas
respostas, optei por seguir a prova com gabarito tipo 1. A cada questão, vou procurar trazer os
detalhes mais importantes acerca dos conhecimentos necessários na solução, bem como os
comentários pertinentes.
Assim como coloquei quando da resolução de uma prova anterior da CEF aqui mesmo no Toque de
Mestre, mais uma vez me posiciono criticamente a respeito da pouca quantidade de questões de
Matemática Financeira (apenas cinco!) numa prova dessa natureza, que irá selecionar empregados
para a maior Empresa Pública brasileira do ramo financeiro; onde, necessariamente, o perfil desejado
exige, na prática, diversos conhecimentos matemáticos, bem como aptidões específicas na área,
inerentes às atividades desenvolvidas. Seja como for, mesmo com poucas questões, a banca colocou
uma prova de alto nível, com questões interpretativas bem elaboradas dentro dos temas abordados.
Agora vamos às questões comentadas...
Questão 6 (prova CEF gabarito 1)
Um imóvel de 100 mil reais é financiado em 360 prestações mensais, a uma taxa de juros de
1% ao mês, pelo Sistema de Amortização Francês (Tabela Price), gerando uma prestação de
R$ 1.028,61. Reduzindo-se o prazo do financiamento para 240 prestações, o valor de cada
prestação é, em reais, aproximadamente,
Dado: (1,01)
(A) 1.099,00
(B) 1.371,00
(C) 1.428,00
(D) 1.714,00
(E) 2.127,00
-120
= 0,3
COMENTÁRIO: Os sistemas de Amortização sempre são cobrados em provas da CEF. Entretanto é
bem mais comum serem cobradas questões sobre o sistema SAC (Sistema de
Amortização Constante), talvez por ser o sistema predominante no segmento de
financiamento de imóveis. Entretanto, nessa prova foi cobrado o Sistema Price (ou
Francês), em que as prestações são sempre constantes, pois se trata de uma série de
pagamentos uniformes, ou sistema de prestações constantes.
SOLUÇÃO:
Vamos partir do dado fornecido no enunciado, de que (1,01) -120 = 0,3, que nos trará o seguinte
resultado:
(A)
(1,01)−120 =
1
1
120
120
= 0,3 → (1,01) =
→ (1,01) = 3,33
120
0,3
(1,01)
De (A) vem (B):
(B)
[(1,01) ] = (3,33)
120 2
2
240
→ (1,01)
= 11,11
Professor Humberto Lucena
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Tomemos agora a relação fundamental (#) abaixo para séries de pagamentos uniformes:
n
i.(1 + i )
(#) PMT = PV .
(1 + i )n − 1
►Onde PMT representa o valor das parcelas
ou prestações, PV o valor presente ou
capital inicial, i a taxa da operação e n os
períodos ou tempo.
Na questão em tela, para a resposta procurada, usemos PV = 100000, i = 1% = 0,01 e n = 240
(Obs.: não será necessário o valor dado das prestações para o prazo de 360 meses). Nesse caso
queremos calcular o valor PMT para n = 240, e teremos em (#) que:
240
PMT = 100000.
0,01.(1,01)
1000000.0,01.11,11
11110
→ PMT =
→ PMT =
∴ PMT ≅ 1099
240
11,11 − 1
10,11
(1,01) − 1
Resposta: A
Questão 7 (prova CEF gabarito 1)
Um projeto de investimento, cujo aporte de capital inicial é de R$ 20.000,00, irá gerar, após
um período, retorno de R$ 35.000,00. A Taxa Interna de Retorno (TIR) desse investimento é
(A) 34%
(B) 43%
(C) 75%
(D) 175%
(E) 275%
COMENTÁRIO: Eis nessa questão outro assunto recorrente nas provas de concursos nos ramos
fiscal e financeiro. De forma geral, as séries de pagamentos envolvem fluxos de caixa
(entradas e saídas), onde a taxa interna de retorno (TIR) representa o índice
percentual que “zera” o fluxo de caixa em relação às entradas e saídas. Apesar de
tratar de um tema denso, essa questão pode ser classificada como uma das mais
fáceis da prova, pois envolve um cálculo muito simples para quem estudou a teoria.
SOLUÇÃO:
Vejamos o fluxo de caixa para o investimento apresentado na questão:
Professor Humberto Lucena
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Para o fator de capitalização (1 + i ) n , a TIR será a taxa i que trará o resultado padronizado abaixo:
n
Pn
∑ (1 + i )
n
− V0 = 0 →
1
P1
P2
Pn
+
+ ... +
=V
1
2
(1 + i ) (1 + i )
(1 + i )n 0
►Onde os P são as entradas (para cima) e
V0 é a saída inicial (para baixo) no fluxo de
caixa. Lembrando que, para fins de
simplificação na solução da equação, esses
fatores, respectivamente, podem ficar em
membros distintos da equação.
Na questão em tela, temos V0 = 20000 e P1 = 35000 ; o que trará:
35000
35000
= 20000 → 1 + i =
→ i = 1,75 − 1∴ i = 75%
1
20000
(1 + i )
Resposta: C
Questão 8 (prova CEF gabarito 1)
Nas operações de empréstimo, uma financeira cobra taxa efetiva de juros, no regime de
capitalização composta, de 10,25% ao ano. Isso equivale a cobrar juros com taxa anual e
capitalização semestral de
(A) 5%
(B) 5,51%
(C) 10%
(D) 10,25%
(E) 10,51%
COMENTÁRIO: Questão mais fácil da prova, aborda o tema taxas no regime de capitalização
composta. Lembremos que nesse regime as taxas proporcionais não são equivalentes
para n > 1, donde surge a necessidade de se diferenciar taxa nominal de taxa efetiva.
SOLUÇÃO:
Queremos achar uma taxa nominal anual (ianual ) que, quando capitalizada semestralmente a partir
(
)
de sua proporcional semestral (isemestral ) resulta numa taxa afetiva anual iefetiva de 10,25%. Como
um ano tem dois semestres, teremos:
(1 + isemestral )2 = 1 + iefetiva
→ isemestral =
ou 1 + isemestral = 1 + iefetiva → 1 + isemestral = 1 + 0,1025 → isemestral = 1,1025 − 1
11025
11025
105
− 1 → isemestral =
− 1 → isemestral =
− 1 → isemestral = 1,05 − 1∴ isemestral = 0,05 ou 5%
10000
100
10000
Como a questão pede a taxa nominal anual (dois semestres), basta acharmos sua proporcional
em relação à semestral encontrada:
ianual = 2 × isemestral → ianual = 2 × 0,05 ∴ ianual = 0,1 ou 10%
Resposta: C
Professor Humberto Lucena
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Questão 9 (prova CEF gabarito 1)
O montante gerado por uma instituição financeira, em uma aplicação no regime de juros
compostos, é R$ 5.000,00, em 10 meses, ou R$ 5.202,00, em 1 ano. Se a taxa de juros é
constante, o valor aplicado é, em reais, de, aproximadamente,
(A) 1.950
(B) 3.100
(C) 3.400
(D) 3.950
(E) 4.100
COMENTÁRIO: Novamente uma questão envolvendo capitalização composta. Dessa vez o
elaborador quis fugir ao mero uso da teoria, e colocou uma questão inteligente; sem
muita dificuldade, mas que exige certo grau de interpretação para sua solução.
Entretanto, cabe atentar para um erro de digitação em um dos valores da tabela
fornecida (em i = 2% e n = - 10), o que pode levar à anulação da questão.
SOLUÇÃO:
Para um capital C, tomemos os montantes fornecidos no enunciado para os seus respectivos
períodos de capitalização (10 meses, e um ano ou 12 meses):
10
10
12
12
(A) Para 10 meses, n = 10
→ M A = C (1 + i ) → C (1 + i ) = 5000
(B) Para 12 meses, n = 12
→ M B = C (1 + i ) → C (1 + i ) = 5202
Como a taxa i é constante, façamos:
(B ) → C (1 + i )12
( A) C (1 + i )10
=
5202
2
→ (1 + i ) = 1,04 → 1 + i = 1,04 → i = 1,02 − 1∴ i = 0,02 ou 2%
5000
Na tabela fornecida vemos que, para a taxa encontrada de 2%, em n =10 e n = 12, teremos:
Escolhendo n = 10, e tomando o valor da tabela (1,22) como referência, vem que:
n
10
C (1 + i ) = M A → C (1 + 0,02 ) = 5000 → 1,22 × C = 5000 → C =
5000
∴ C ≅ 4100
1,22
Resposta: E
Professor Humberto Lucena
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Questão 10 (prova CEF gabarito 1)
O setor financeiro de uma empresa, que tem taxa mínima de atratividade de 10% ao ano,
avalia duas alternativas: montar um laboratório fotográfico ou terceirizar o serviço de
fotografias. Para a opção de montar o laboratório fotográfico, o investimento inicial, os custos
pagos ao final de cada ano, o tempo de utilização do laboratório e a informação adicional do
valor presente liquido, (VPL), do fluxo de caixa, estão apresentados no quadro a seguir.
No caso de terceirizar o serviço, o custo de manutenção fica por conta da empresa
contratada. É mais atraente terceirizar se, e somente se, o custo operacional anual dessa
opção, em reais, for, no máximo, de
-4
Dado: (1,10) = 0,68
(A) 42.240,10
(B) 41.250,10
(C) 33.000,08
(D) 22.060,40
(E) 11.760,00
COMENTÁRIO: Tendência nas últimas provas da CEF são as questões envolvendo análise de
investimentos. Essa questão especificamente aborda o conceito de Valor Presente
Líquido (VPL) que, num fluxo de caixa, representa a saída inicial. A solução consiste
em achar o valor das entradas (PMT) a cada período que justificam o desembolso
inicial representado pelo VPL, considerando a taxa de atratividade como a taxa interna
de retorno (TIR) do investimento. Como os conceitos de PMT e TIR já foram
abordados na solução das questões 6 e 7, sigamos novamente os mesmos raciocínios.
SOLUÇÃO:
Considerando o fator fornecido no enunciado, teremos que:
(1,10)−4 = 0,68 →
1
1
= 0,68 → 1,14 =
→ 1,14 = 1,47
4
1,1
0,68
Tomando a relação para séries de pagamentos (#), para PV = VPL, vem que:
n
PMT = VPL.
→ PMT =
4
i.(1 + i )
0,1.(1 + 0,1)
0,1.1,14
→
PMT
=
132000
,
30
.
→
PMT
=
132000
,
30
.
1,14 − 1
(1 + i )n − 1
(1 + 0,1)4 − 1
132000,30 × 0,1× 1,47
19404,04
→ PMT =
∴ PMT ≅ 41250,10
1,47 − 1
0,47
Resposta: B
Professor Humberto Lucena
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