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Inferências Envolvendo Variâncias
UFSC.PósMCI.FME.Inferências Envolvendo Variâncias. (8.1)
estimativa da variância
•estimador:
1 n
2
é um estimador não tendencioso de 2
S 
(
x

x
)

i
n  1 i 1
2
•intervalo de confiança para 2 (população normal)
(n -1)S2
2 / 2
 2 
(n  1)S 2
12 / 2
2 é a distribuição chi-quadrada com  = n - 1 graus de liberdade
UFSC.PósMCI.FME.Inferências Envolvendo Variâncias. (8.2)
exemplo 1:
O índice de refração de uma amostra de 20 peças de vidro apresenta
variância de 0,000120. Construa o intervalo de confiança do desvio padrão
para 95% .
O intervalo de confiança da variância é determinado por:
(n -1)S2
(n  1)S 2
Sendo: u = 20 – 1
2
 
2
2
2
=19
 / 2
12 / 2

8
,
907

0,975
0,025  32,852
19* 0,000120 2 19* 0,000120
 
32,852
8,907
0,0083   0,0160
Que é o intervalo de confiança do desvio padrão.
UFSC.PósMCI.FME.Inferências Envolvendo Variâncias. (8.3)
hipóteses envolvendo uma variância
H0: 2 = 02
hipóteses alternativas
rejeite H 0 se
 2   02
 2  12
 2   02
 2  2
 2   02
 2  12 / 2 ou  2  2 / 2
2 
(n  1)S 2
 02
UFSC.PósMCI.FME.Inferências Envolvendo Variâncias. (8.4)
exemplo 2:
As variações de um determinado processo devem ser tais que   0,50.
Uma amostra aleatória de tamanho 15 foi retirada deste processo que
resultou em s = 0,64. Com o nível de significância  = 0,05 é possível
sustentar que o desvio padrão deste processo pode ser mesmo 0,50?
Solução:
P1 P2 P3 P4 P5 -
parâmetro de interesse: desvio padrão do processo
H0:  = 0,05
H1:  > 0,05
nível de significância: 0,05
rejeite a H0 e aceite a H1 se:
2
 
2
(n  1) S
 02
 2
UFSC.PósMCI.FME.Inferências Envolvendo Variâncias. (8.5)
P6 H0 será rejeitada se o valor de , calculado a partir da
amostra, obedecer a condição:
2 > 23,685 (= 20,05, u = 14)
P7 -
Fazendo as contas:
2
(
15

1
)(
0
,
64
)
2 
 22,94
2
(0,50)
P8 Como 22,94 < 23,68 não é possível rejeitar H0, isto é,
mesmo que 0,64 > 0,50 esta diferença não é uma evidência
suficientemente forte.
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hipóteses envolvendo duas variâncias
H0: 12 = 22
(populações normais)
hipóteses alternativas
 12   22
 12   22
 12   22
estatística do teste
rejeite H0 se:
S22
F 2
S1
S12
F 2
S2
F  F (n1 1, n2 1)
S M2
F 2
Sm
F  F / 2 (nM 1, nm 1)
F  F (n2 1, n1 1)
M = maior
m = menor
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exemplo 3:
Pretende-se determinar se a variabilidade do processo 1 é diferente da
variabilidade do processo 2. Amostras aleatórias independentes de n = 12
de cada processo resultaram em s1 = 0,035 e s2 = 0,062. Teste a hipótese
H0: 12 = 22 contra H1: 12 < 22 para  = 0,05.
Solução:
P1 P2 P3 P4 P5 -
parâmetro de interesse: variâncias dos processos
H0: 12 = 22
H1: 12 < 22
nível de significância: 0,05
rejeite a H0 e aceite a H1 se:
2
S2
F  2  F (n2  1, n1  1)
S1
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P6 H0 será rejeitada se o valor de F, calculado a partir das
amostras, obedecer a condição:
F > 2,82 (= F0,05, n1 = n2 = 11)
P7 -
Fazendo as contas:
(0,062) 2
F
 3,14
2
(0,035)
P8 Como 3,14 > 2,82 rejeita-se H0 e aceita-se a H1, isto é,
é possível afirmar que 12 < 22.
UFSC.PósMCI.FME.Inferências Envolvendo Variâncias. (8.9)