APLICAÇÕES COM EXCEL: Distribuição Binomial
Considere:
p a probabilidade de sucesso;
q = 1-p a probabilidade de insucesso(fracasso);
A probabilidade do evento acontecer exatamente x
vezes, em n tentativas (x sucessos e n-x insucessos)
é definida por:
 n  x n x
P(x)   p q
x
Função DistrBinom: calcula a Prob.de x sucessos
(cumulativo=0) ou a soma acumulada desde x=0
(cumulativo=1) até o valor estipulado.
Exemplo 1:
A porcentagem de neutrofilos numa amostra
de sangue é de 70%. Qual a probabilidade de
encontrar 50% de neutrofilos tomando-se 20
leucócitos ao acaso?
 20 
P(10)   (0,7)10 (0,3)10  0,0308
 10 
Exemplo 2:
Uma infecção experimental em camundongos determina
morte de 30% dos animais a ela submetidos, 70%
sobrevivendo. Qual a probabilidade de obter num lote de
5 animais, uma mortalidade de, no máximo 20%?
 5
P(0)   (0,3) 0 (0,7) 5  0,16807
 0
 5
P(1)   (0,3)1 (0,7) 4  0,36015
1
p(x  1) = p(0)+p(1)
APLICAÇÕES COM EXCEL: Distribuição Poisson
Definição
Considere X uma variável aleatória com os
seguintes valores: 0,1,2,3,...,n. A probabilidade
de assumir um valor k é dada pela fórmula de
distribuição de probabilidade:
P(X  k) 
e


k!
k
Função Poisson: calcula a Prob.de x sucessos
(cumulativo=0) ou a soma acumulada desde x=0
(cumulativo=1) até o valor estipulado.
Exemplo: Mortes por esclerose múltipla, em uma
determinada população.
Nº DE ÓBITOS
Nº DE CONDADOS
0
18
1
13
2
3
3 ou mais
0
TOTAL
34
Encontrar os valores esperados, admitindo uma
distribuição de Poisson.
APLICAÇÕES COM EXCEL: Distribuição Normal
Características:
1.A área sob a curva normal é igual a 1;
2.Como a distribuição é continua, só faz sentido
calcular a Prob.de X assumir valores dentro de
intervalos;
3.Como a média é igual à mediana, a Prob. de se
obter um valor inferior à média é igual a 0,50;
4.A maior concentração de freqüências ocorre no
centro da distrbuição, isto é, em torno da média.
Função Dist.norm: calcula a área da curva
normal de menos infinito (cumulativo=1) até o
valor estipulado (X).
APLICAÇÕES COM EXCEL: Distribuição Normal
Exemplo 3.
Seja a variável X = altura de indivíduos adultos,
com distribuição aproximadamente normal, com
média m = 1,65 m e desvio padrão  = 0,09 m.
Ou seja, X  N(1,65;0,09).
Qual a proporção de indivíduos desta população que
mede 1,65 m e 1,80 m?
APLICAÇÕES COM EXCEL: Distribuição Normal
A curva normal padronizada é dada por:
x  média
z
desvio padrão
Exemplos: Calcular
1) P(0  z  1,96)
2) P(0  z  2,56)
3) P(1,44  z  1,96)
4) P(-2  z  2)
5) P(-3  z  3)
Função Dist.normp: calcula a área da curva
normal de menos infinito (cumulativo=1) até
o valor estipulado (z).
Exemplo 4
1.
Seja a variável X = altura de indivíduos adultos, com distribuição
aproximadamente normal, com média m = 1,65 m e desvio padrão
 = 0,09 m. Ou seja, X  N(1,65;0,09).
Calcular a proporção de indivíduos desta população que mede 1,65
m e 1,80 m, ou seja, entre a média da distribuição e 1,80 m. Para
isso transformar o valor x = 1,80 m em um específico valor z,
usando a relação.
z
xm

1,80  1,65 0,15
, 0,09  0,09  1,67.
Função Padronizar: calcula o valor de z, ao
se digitarem os valores de x, da média e
do desvio-padrão.
Intervalo de Confiança para a Média
Com variância conhecida
Conforme mostrado na aula anterior, o intervalo de
confiança bilateral de 100 (1-  )% para  é dado por:
X  z / 2

n
   X  z / 2

n
Função Int.Confiança: calcula o valor do erro
de amostragem dado os valores de alfa,
desvio-padrão e tamanho da amostra.
A Distribuição F
Considere duas populações com distribuição de Gauss com
médias 1, 2 e variâncias 12 e 22 .
Retire uma amostra aleatória de tamanho n1 da primeira
população, com uma variância s12, e outra amostra aleatória
de tamanho n2 da segunda população com variância s22 .
A estatística (s12 /  12 ) /(s22 /  22 ) indica a relação entre as razões das variâncias
amostral e da população.
Supondo que as variâncias amostrais sejam oriundas de amostras aleatórias
independentes e com as mesmas variâncias populacionais, então:
F=s12 /s22.
A distribuição teórica que modela essa razão denomina-se Distribuição F
Função TesteF: realiza o teste de igualdade
de variância dado os valores da amostra1 e
da amostra2 e do valor de alfa.
No menu Ferramentas, a opção Análise de Dados leva ao Teste F. .
Exercício sobre o Teste F
Exemplo: Considere as medidas de alturas de alunos e alunas da
disciplina RGM 5837.
F 1,60 1,65 1,54 1,55 1,59 1,65 1,73 1,71 1,73
M 1,71 1,72 1,92 1,73 1,83 1,80 1,82 1,76 1,75
Considerando-se uma confiança de 95%, pode-se afirmar que as
variâncias são iguais?
No Menu Ferramentas, a opção Análise de Dados leva ao Teste F:duas
amostras para variâncias, que realiza o teste de igualdade de
variâncias.
Intervalo de Confiança para a Diferença de Médias
Considerando iguais as variâncias das populações
A variável aleatória X1 é modelada por uma distribuição de Gauss
com média 1 e variância 12, isto é, X1~N(1, 12) e a variável X2,
também é de Gauss, isto é, X2~N(2, 22)
O intervalo de 100 (1-)% de confiança para a diferença (1 - 2 ) entre as
médias das duas populações é dado por:
X 1  X 2  t / 2, n1  n2  2 s p
1
1

 1   2  ( X 1  X 2 )  t / 2, n1  n2  2 s p
n1 n2
Com a variância comum, ponderada, dada por:
s 2p
(n1  1) s12  (n2  1) s22

n1  n2  2
1
1

n1 n2
A Distribuição Qui-quadrado
Considere uma população de tamanho n que tem uma
distribuição de Gauss com média 0 e variância 1, ou seja, z12,
z22, ..., zn2.
A distribuição qui-quadrado(2) é definida como a soma dos
quadrados dos n valores de zi:
2=z12 + z22 + z32 + ... + zn2
Se continuarmos a retirar as amostras da mesma população, cada
uma das n quantidades terá uma distribuição de probabilidade 2
que poderá ser representado por um histograma.
Com o número de amostras(n) grande, tem-se a distribuição do quiquadrado com n-1 graus de liberdade.
Exemplo com o Excel
No menu Colar função, escolher Estatística e a opção INV.QUI ou
DIST.QUI.
TESTES DE HIPÓTESES
Exemplos
1. Suponha que um medicamento P tenha, com
relação a uma doença, uma eficiência de curas da
ordem de 50%.
Admita, ainda, que o laboratório esteja
interessado em lançar no mercado um novo
medicamento N cuja eficiência, com relação à
mesma doença, seja EN, esperada superior a EP.
O objetivo é testar a hipótese de que os dois
medicamentos têm a mesma eficiência contra a
hipótese de que o medicamento N é mais eficiente
do que o padrão (P)
H0
EN = EP
H1
EN  EP
H0
H1
ou
EN = 50%
EN  50%
Exemplos
TESTES DE HIPÓTESES
2. Suponha que um levantamento realizado na população de
postos de gasolina do Estado de São Paulo tenha fornecido a
média de R$ 1,437.
Após, o atentado de 11 de setembro houve um aumento de
preço do petróleo no mercado internacional. Temendo as
repercussões sobre a inflação doméstica, o governo reduziu
os impostos sobre a gasolina.
Pela cultura de inflação no Brasil, parece que o preço da
gasolina aumentou nos postos do Estado assim, o governo
selecionou uma amostra de 36 postos para testar a hipótese
de que houve aumento de preços.
TESTES DE HIPÓTESES
Selecionada a amostra e colhidos os preços, encontrouse média maior que
R$ 1,437, a antiga média da
população.
Há evidência suficiente para concluir que os preços da
gasolina aumentaram no Estado de São Paulo?
ELEMENTOS DE UM TESTE ESTATÍSTICO
• A hipótese nula, H0
• A hipótese alternativa, Ha ou H1
• O teste estatístico
• A região de não rejeição
Região de não rejeição
Região de não rejeição
Para testar H0 contra H1, suponha a realização
do seguinte experimento:
Toma-se
uma
amostra
de
indivíduos
apresentando as características da doença e
casualmente aplica-se os dois medicamentos. Por
exemplo,
20
indivíduos,
10
tomam
o
medicamento P e o restante o N.
Ao final do experimento, com os resultados
obtidos, o laboratório deverá tomar uma
decisão, entre duas possíveis:
• aceitar H0, ou seja, o medicamento N tem a
mesma eficiência que o P.
• rejeitar
H0
(aceitar
H1),
isto
é,
medicamento N tem eficiência maior que o P.
o
Ao tomar uma decisão o laboratório estará
cometendo algum tipo de erro?
a) Suponha que H0 seja realmente verdadeira
• se for tomada a primeira decisão (aceitar H0),
não se estará cometendo erro
• se for tomada a segunda decisão (rejeitar H0
), comete-se um erro, denominado tipo I que
consiste em rejeitar H0 quando H0 é
verdadeira, cuja probabilidade de ocorrência é
o .
b) Suponha que H1 seja realmente verdadeira:
se for tomada a primeira decisão (aceitar H0),
comete-se um erro, denominado tipo II que
consiste em aceitar H0 quando H0 é falsa, cuja
probabilidade de ocorrência é .
EM RESUMO
Verdade
H0
H1
Não há erro
Erro tipo II = Aceitar H0
(rejeitar H1) quando H0 é
falso (H1 é verdadeiro)
Decisão
H0
H1
Erro tipo I = Rejeitar H0
(aceitar H1) quando H0 é
verdadeira (H1 é falso)
Não há erro
OBSERVAÇÕES
a) Os dois erros são igualmente importantes,
porém depende do problema;
b) Ao reduzir um ocorre aumento no outro ;
c) A única maneira de reduzir
aumentando o tamanho da amostra;
ambos
é
OBSERVAÇÕES
d) Em geral, fixa-se o
possível;
 e o  é o menor
e) A escolha prévia do valor de  , não é um
problema estatístico e sim do pesquisador
interessado em testar H0 contra H1.
Resumo:
Funções:
1.
DistrBinom
2.
Poisson
3.
Dist.norm
4.
Dist.normp
5.
Padronizar
6.
Int.Confiança
7.
TesteF:duas amostras