Universidade Federal de Alagoas
Centro de Tecnologia
Estatística
Aula 09
Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves
Adaptado do material elaborado pelo Prof. Wayne
Santos de Assis
Aula 09
 Probabilidade

Introdução

Propriedades básicas

Regra da adição
Introdução
O que vimos até o momento ?
análise preliminar de uma amostra de dados por meio de
um conjunto de técnicas numéricas e gráficas
O que são aquilo que vimos?
meras estimativas de quantidades populacionais
desconhecidas
Como então podemos tirar conclusões sobre
populações?
é necessário estabelecer um modelo matemático que
contenha os principais elementos do processo que
determinou a ocorrência das observações
Introdução
Que tipo de modelo utilizamos e por que?
probabilístico pela impossibilidade de se sintetizar em um
conjunto de equações a lei que descreve rigorosamente a
variação de um certo fenômeno.
Explique melhor ...
A teoria de probabilidades lida com a realização de
experimentos, naturais ou planejados pelo homem, cujos
resultados não podem ser previstos com exatidão.
Há um componente aleatório nos experimentos
Provoca variações nos resultados  às vezes não
podem ser ignoradas  modeladas
Introdução
Experimento aleatório
É aquele cujo resultado não pode ser conhecido antes da
realização do experimento  ele pode ser repetido várias
vezes da mesma forma e apresentar resultados diferentes
Exemplos:




O resultado da jogada de um dado
O número de carros que passam em um posto de
pedágio movimentado no intervalo de meia hora
Os números que vão “sair” no concurso da Mega-Sena
da próxima semana
O risco de uma construção ser alagada nas proximidades
de um rio
Introdução
Experimento aleatório
Note que, embora não saibamos exatamente qual o
resultado da experiência aleatória, também não existe
ignorância completa sobre o assunto

No exemplo da jogada do dado, é claro que os
resultados possíveis são {1, 2, 3, 4, 5, 6}, as faces do
dado

No caso da Mega-Sena, o conjunto de valores
possíveis são os 6 números sorteados no conjunto
{0, ..., 50}

No caso do pedágio, podemos estabelecer um intervalo
de valores máximos e mínimos de carros
Introdução
Evento
Evento
Qualquer conjunto de
resultados ou saídas de um
experimento
Simples  é um resultado
ou evento que não pode
mais ser decomposto em
componentes mais
simples
Ao lançar um dado  5 é um evento simples
Ao lançarmos e tomarmos a soma dos resultados dos dois
 7 é um evento simples?
Introdução
Evento
Experimento: lançamento de 2 dados  somam-se os
resultados: o evento 7
Dado 1
1
2
3
Dado 2
Resultado
1
.
.
.
2
3
Eventos mais
simples:
6-1, 5-2, 4-3, ...
7
4
4
7
5
5
7
6
6
7
Há 36 maneiras de
obtermos o número
7  36 eventos
simples
Introdução
Espaço amostral
É o conjunto de todos os eventos simples
possíveis de uma experiência aleatória, isto é,
consiste em todos os resultados que não podem
ser mais decompostos
Introdução
Espaço amostral
Experimento: lançamento de 1 dado
Espaço amostral S = {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6}
S
1
2
4
3
5
6
Propriedades de Eventos

Interseção

Exclusão

União

Negação
Propriedades de Eventos

Interseção
O evento interseção de dois eventos A e B equivale à
ocorrência de ambos
Contém todos os pontos do espaço amostral comuns a
A e B e é denotado por A ∩ B
Propriedades de Eventos

Exclusão
Dois eventos A e B dizem-se mutuamente exclusivos, ou
mutuamente excludentes ou ainda disjuntos quando a
ocorrência de um deles impossibilita a ocorrência do outro
 não ocorrem simultaneamente
Os dois eventos não têm nenhum ponto em comum,
exprimindo-se esse fato escrevendo-se A ∩ B = Ø
Propriedades de Eventos

União
O evento união de dois eventos A e B equivale à ocorrência
de A, ou de B, ou de ambos
Contém os elementos do espaço amostral que estão em
pelo menos um dos dois conjuntos e é denotado por A U B
Propriedades de Eventos

Negação
A negação do evento A, denotada por A, é chamada de
evento complementar de A
Definição de Probabilidade
Há diferentes maneiras de definir probabilidade
Probabilidade
Abordagem clássica
(requer resultados
igualmente prováveis)
Probabilidades subjetivas
Aproximação pela frequência relativa
(frequencial)
Definição Clássica
Suponha que um determinado experimento tenha n
diferentes eventos simples, e que cada um desses eventos
simples tenha igual chance de ocorrer. Se o evento A pode
ocorrer em m dessas maneiras, então a probabilidade do
evento A é dada por:
P(A) 
Em outros termos :
P(A) =
P(A) =
m
n
No de maneiras como o evento A pode ocorrer
Número de eventos simples
Número de casos favoráveis ao evento A
Número de casos possíveis
Definição Clássica
Exemplos:
 Um dado homogêneo tem probabilidade 1/6 de cair com
a face 5 para cima.

Em um conjunto de cartas (sem os coringas) bem
embaralhadas a probabilidade de sortearmos uma carta
de copas é de 13/52.
Observações

A probabilidade de um evento qualquer é um
número real não negativo
Formas de obtenção de probabilidades
a priori ou matemática, calculada a partir de hipóteses segundo um
modelo matemático e sem experimentação, determinando as
probabilidades de acontecimentos futuros;
a posteriori, que é a estimativa por meio de dados experimentais, da
verdadeira probabilidade ou valor mais provável.
Definição Frequencial
Depende da reprodutibilidade do mesmo processo
e da habilidade de contarmos o número de
repetições
Se algum processo é repetido um grande número
de vezes, n, e se o evento A ocorre m vezes, a freqüência
relativa m/n é aproximadamente igual à probabilidade de A:
P(A) 
m
n
Obs.: m/n é apenas uma estimativa de P(A).
Definição Subjetiva
Estimada com base no conhecimento de circunstâncias
relevantes
Probabilidade
Exemplos
clássica
P (sair o no 2 em um dado balanceado e imparcial) = ?
Achar a razão:
No de maneiras como 2 pode ocorrer/ No total de eventos simples = 1/6
Frequência relativa
P (tachinha cair com a ponta para cima) = ?
Deve-se repetir o experimento de jogar a tachinha várias
vezes e então, achar a razão
No de vezes com a ponta para cima/ No total de lançamentos
Subjetiva
P (chover amanhã) = ?
Meteorologistas possuem conhecimento especializado para esta estimativa
Propriedades Básicas
0  P 1
0
Evento certamente
não ocorrerá
Evento impossível
0,5
Máxima incerteza
1
Evento certamente
ocorrerá
Evento certo
Propriedades Básicas
1. Dado algum processo (ou experimento) com n
resultados mutuamente excludentes (eventos), E1,
E2,. . ., En , à probabilidade de cada evento Ei é
atribuído um valor numérico não-negativo.
P (E i )  0
2. A soma das probabilidades de resultados
mutuamente excludentes é igual a 1.
n
 P (E
i 1
i
)  P (E 1 )  P (E 2 )      P (E n )  1
Propriedades Básicas
Exemplo
Ache a probabilidade de que, quando um casal tem 3 filhos,
exatamente 2 deles sejam meninos. Suponha que meninos (M) e
meninas (F) sejam igualmente prováveis e que o sexo de uma
criança não seja influenciado pelo sexo de qualquer outra
criança
1º
2º
3º
Resultados possíveis
M
Espaço
amostral
M
M
M
M
M
M
P(2 meninos
e 3 nascimento
s) 
3
8
 0,375
menino-menino-menino
menino-menino-menina
menino-menina-menino
menino-menina-menina
menina-menino-menino
menina-menino-menina
menina-menina-menino
menina-menina-menina
Propriedades Básicas
Exemplo
Ainda no exemplo anterior, qual a probabilidade de não nascer
exatamente 2 meninos?
1º
Espaço
amostral
2º
3º
Resultados possíveis
M
menino-menino-menino
menino-menino-menina
menino-menina-menino
menino-menina-menina
menina-menino-menino
menina-menino-menina
menina-menina-menino
menina-menina-menina
M
M
M
M
M
M
P(não nascer
exatamente
2 meninos)
 1 - P(2 meninos
e 3 nascimento
s)  0,625
Propriedades Básicas
Regra da Adição
Estamos interessados na probabilidade de que ou o evento
A ocorre ou o evento B ocorre (ou ambos ocorrem) com um
único resultado de um experimento
Palavra – chave  ou
Evento composto
É qualquer evento combinando 2 ou mais eventos
simples
Notação
P(A ou B ) = P(evento A ocorrer ou o evento B ocorrer ou
ambos ocorrem)
Propriedades Básicas
Regra da Adição
Amostra de ervilhas, semelhante ao experimento de Mendel
Quantas
delas têm
vagem
verde ou
flor roxa?
Propriedades Básicas
Regra da Adição
Ao calcular a probabilidade da ocorrência do
evento A ou da ocorrência do evento B, ache o no
total de maneiras em que A pode ocorrer e o no
total de maneiras em que B pode ocorrer, mas
ache o total de modo que nenhum resultado seja
contado mais de uma vez
Regra da Adição formal
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)
Propriedades Básicas
Teorema da adição
Se Ei e Ej são eventos num espaço amostral finito S,
a probabilidade de reunião dos subconjuntos Ei e Ej é
igual a adição das probabilidades de Ei e Ej, menos a
probabilidade da intersecção do subconjunto Ei e Ej.
P(Ei  Ej) = P(Ei) + P(Ej) - P(Ei  Ej)
Propriedades Básicas
Regra da Adição
Ao invés de decorar uma fórmula, pense ... e calcule da
forma seguinte
Ache a soma do no de maneiras como o evento A
pode ocorrer e o no de maneiras como o evento B
pode ocorrer, somando de tal forma que cada
resultado seja contado apenas uma vez. P(A ou
B) é igual a esta soma dividida pelo no total de
resultados do espaço amostral
Propriedades Básicas
Regra da Adição
Esta regra é simplificada sempre que os eventos A e B não
podem ocorrer simultaneamente, de modo que P(A ∩ B) se
torna zero
P(A  B) = P(A) + P(B)
Propriedades Básicas
3. Considere dois eventos mutuamente excludentes,
Ei e Ej. A probabilidade de ocorrência de Ei ou Ej é
igual à soma das probabilidades individuais:
P (E i  E j )  P (E i )  P (E j )
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Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves
Adaptado do material elaborado pelo Prof. Wayne
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