Capítulo 4
Valor do
dinheiro no
tempo
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Objetivos de
aprendizagem
1. Discutir o papel do valor do dinheiro no tempo em
finanças, o uso das ferramentas de cálculo e os
padrões básicos de fluxos de caixa.
2. Entender os conceitos de valor futuro e valor
presente, seu cálculo para quantias unitárias e a
relação entre os dois valores.
3. Determinar o valor futuro e o valor presente de uma
anuidade ordinária e de uma anuidade vencida, além
de determinar o valor presente de uma perpetuidade.
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4. Calcular o valor futuro e o valor presente de uma
série mista de fluxos de caixa.
5. Compreender o efeito que a composição de juros com
frequência superior à anual exerce sobre o valor
futuro e sobre a taxa anual efetiva de juros.
6. Descrever os procedimentos envolvidos (1) na
determinação dos depósitos necessários para atingir
uma dada soma no futuro, (2) na amortização de
empréstimos, (3) na determinação das taxas de juros
ou de crescimento e (4) na determinação de um
número indeterminado de períodos.
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O papel do valor do
dinheiro no tempo
em finanças
• A maioria das decisões financeiras envolve custos e
benefícios que se disseminam pelo tempo.
• O valor do dinheiro no tempo permite a comparação
entre fluxos de caixa em diferentes períodos.
• Questão: Seu pai lhe oferece dinheiro e pede que
escolha uma das seguintes opções:
– $ 1.000 no presente ou
– $1.100 no prazo de um ano.
• O que você escolhe?
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• A resposta depende da taxa de juros que você
poderia obter sobre qualquer valor recebido no
presente.
• Por exemplo, se pudesse depositar os $ 1.000 no
presente a uma taxa de 12% ao ano, você deveria
preferir receber o dinheiro de imediato.
• Por outro lado, se pudesse obter somente 5%
sobre os fundos depositados, seria melhor optar
por receber os $ 1.100 em um ano.
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Conceitos básicos
• Valor futuro: composição ou crescimento ao longo do
tempo.
• Valor presente: desconto ao valor presente.
• Fluxos de caixa únicos e em série podem ser
considerados.
• Linhas de tempo são usadas para ilustrar essas
relações.
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Ferramentas de cálculo
• Uso de equações.
• Uso de tabelas financeiras.
• Uso de calculadoras financeiras.
• Uso de planilhas eletrônicas.
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Figura 4.1 Linha de tempo
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Figura 4.2 Composição e desconto
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Figura 4.3 Teclas das calculadoras financeiras
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Figura 4.4 Tabelas financeiras
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Padrões básicos de
fluxo de caixa
• O fluxo de caixa — sejam entradas ou saídas — de uma
empresa pode ser descrito segundo seu padrão geral.
• Pode ser definido como uma quantia única, uma
anuidade ou uma série mista:
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Juros simples
• Com juros simples, não se obtém juro sobre juro.
• Ano 1: 5% de $100
=
$5 + $100 = $105
• Ano 2: 5% de $100
=
$5 + $105 = $110
• Ano 3: 5% de $100
=
$5 + $110 = $115
• Ano 4: 5% de $100
=
$5 + $115 = $120
• Ano 5: 5% de $100
=
$5 + $120 = $125
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Juros compostos
• Com juros compostos, um depositante obtém juro sobre
juro!
• Ano 1: 5% de $100,00 = $5,00 + $100,00 = $105,00
• Ano 2: 5% de $105,00 = $5,25 + $105,00 = $110,25
• Ano 3: 5% de $110,25 = $5,51+ $110,25
= $115,76
• Ano 4: 5% de $115,76 = $5,79 + $115,76 = $121,55
• Ano 5: 5% de $121,55 = $6,08 + $121,55 = $127,63
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Termos do valor
no tempo
• VP = principal original, ou valor presente
• i = taxa de juros anual
• VFn = valor futuro no final do período n
• n = número de períodos compostos
• A = uma anuidade (série de pagamentos ou
recebimentos iguais)
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Valor futuro de uma
quantia única
• As técnicas de valor futuro geralmente medem os fluxos de
caixa no final da vida de um projeto.
• O valor futuro é o valor a ser recebido em uma determinada data
futura.
• A técnica de valor futuro usa a composição para determinar o
valor futuro de cada fluxo de caixa ao final da vida do
investimento e depois soma esses valores para determinar o valor
futuro do investimento.
• Falamos de juros compostos para indicar que o valor dos juros
obtidos sobre um determinado depósito tornou-se parte do
principal ao fim de um período qualquer.
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Valor futuro de uma
quantia única: usando
tabelas FVF
• Se Fred Moreno depositar $ 100 em uma conta
poupança que paga 8% de juros com composição anual,
quanto ele terá na conta ao final de um ano?
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$100  (1,08)1
= $100  FVF8%,1
$100  1,08
= $108
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Valor futuro de uma
quantia única: equação
de valor futuro
• Jane Farber deposita $ 800 em uma conta poupança
que paga 6% de juros compostos anualmente. Ela
quer saber quanto terá ao fim de cinco anos.
VF5 = $800  (1 + 0,06)5 = $800  (1,338) = $1.070,40
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Valor futuro de uma
quantia única: usando
calculadora financeira
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Valor futuro de uma
quantia única: usando
planilhas
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Valor futuro de uma
quantia única: uma visão
gráfica do valor futuro
Figura 4.5
Relação de valor
futuro
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Valor presente de uma
quantia única
• O valor presente é o valor atual em dinheiro de um
montante futuro.
• Baseia-se na ideia de que um dólar no presente vale mais do
que um dólar no futuro.
• É o valor no presente que deve ser investido a uma dada
taxa para atingir um valor futuro.
• O cálculo do valor presente é também conhecido como
desconto.
• A taxa de desconto é também conhecida como custo de
oportunidade, retorno exigido ou custo de capital.
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Valor presente de uma
quantia única: usando
tabelas PVIF
• Paul Shorter tem a oportunidade de receber $ 300
daqui a um ano. Se ele puder, em condições normais,
receber 6% sobre seus investimentos, qual o valor
máximo que deveria pagar por essa oportunidade?
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$300  [1/(1,06)1]
= $300  PVIF6%,1
$300  0,9434
= $283,02
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Valor presente de uma
quantia única: equação
de valor presente
• Pam Valenti quer encontrar o valor presente de
$ 1.700 que serão recebidos daqui a oito anos. Seu
custo de oportunidade é de 8%.
VP = $1.700/(1 + 0,08)8 = $1.700/1,851 = $918,42
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Valor presente de uma
quantia única: usando
calculadora financeira
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Valor presente de uma
quantia única: usando
planilhas
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Valor presente de uma
quantia única: uma visão
gráfica do valor presente
Figura 4.6 Relação de valor presente
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Anuidades
• Uma anuidade é uma série de fluxos de caixa
periódicos iguais, ao longo de um determinado período
de tempo.
• Podem ser entradas ou saídas.
• Uma anuidade ordinária possui fluxo de caixa que se
dá no fim de cada período.
• Uma anuidade vencida possui fluxo de caixa que
ocorre no início de cada período.
• Uma anuidade vencida sempre será maior do que
outra ordinária equivalente porque os juros serão
compostos por um período adicional.
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Tipos de anuidade
• Fran Abrams precisa escolher entre duas anuidades.
Ambas são de cinco anos e $ 1.000; a anuidade A é
ordinária, e a B, vencida. Para entender melhor a
diferença entre as duas, ela lançou seus fluxos de caixa
na Tabela 4.1 a seguir.
Observe que o valor acumulado das duas anuidades
corresponde a $ 5.000.
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Tabela 4.1 Comparação dos fluxos
de caixa de uma anuidade ordinária de uma anuidade
vencida ($ 1.000, cinco anos)
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Como determinar o valor
futuro de uma anuidade
ordinária
• Fran Abrams quer determinar quanto dinheiro terá ao fim de
cinco anos, se escolher a anuidade A, a ordinária, em uma conta
de poupança que rende juros anuais de 7%. A situação encontra-se representada na linha de tempo a seguir:
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Valor futuro de uma
anuidade ordinária:
usando tabelas FVIFA
VFA = $1.000 (FVFA,7%,5)
= $1.000 (5,751)
= $5.751
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Valor futuro de uma
anuidade ordinária:
usando calculadora financeira
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Valor futuro de uma
anuidade ordinária:
usando planilhas
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Valor presente de uma
anuidade ordinária
• A Braden Company, uma pequena produtora de
brinquedos de plástico, quer determinar o máximo que
deverá pagar pela compra de uma anuidade ordinária
específica. A anuidade consiste em fluxos de caixa de
$ 700 ao fim de cada ano por um prazo de cinco anos.
A empresa requer que a anuidade forneça um retorno
mínimo de 8%.
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Valor presente de uma
anuidade ordinária:
método detalhado
Tabela 4.2 Método detalhado de cálculo do valor presente
de uma anuidade ordinária
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Valor presente de uma
anuidade ordinária:
usando tabelas FVPA
VPA = $700 (FVPA,8%,5)
= $700 (3,993)
= $2.795,10
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Valor presente de uma
anuidade ordinária:
usando calculadora financeira
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Valor presente de uma
anuidade ordinária:
usando planilhas
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Valor futuro de uma
anuidade vencida:
usando tabelas VFAV
• Agora, Fran Abrams quer calcular o valor futuro de
uma anuidade vencida para a anuidade B da Tabela 4.1.
Lembre-se de que a anuidade B era de um período de
cinco anos, com a primeira iniciando-se imediatamente.
VFA
= $1.000(VFAV,7%,5)(1+.07)
= $1.000 (5,751) (1,07)
= $6.154
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Valor futuro de uma
anuidade vencida:
usando calculadora financeira
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Valor futuro de uma anuidade
vencida: usando planilhas
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Valor presente de uma
anuidade vencida: usando
tabelas VPAV
• No exemplo anterior, descobrimos que o valor da
anuidade ordinária de cinco anos da Braden Company
descontada a 8% seria de aproximadamente $ 2.795. Se
agora considerarmos que os fluxos de caixa ocorrem no
início do ano, podemos determinar o VP da anuidade
vencida.
VPA
= $700 (VPAV,8%,5) (1,08)
= $700 (3,993) (1,08)
= $3.018,40
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Valor presente de uma
anuidade vencida: usando
calculadora financeira
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Valor presente de uma
anuidade vencida: usando
planilhas
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Valor presente de uma
perpetuidade
• Uma perpetuidade é um tipo especial de anuidade.
• No caso de uma perpetuidade, a anuidade periódica ou
o fluxo de caixa tem duração infinita.
VP = Anuidade/Taxa de juros
• Por exemplo, quanto eu teria que depositar hoje para
sacar $ 1.000 por ano para sempre, se pudesse obter 8%
sobre meu depósito?
VP = $1.000/0,08 = $12.500
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Valor futuro de uma
série mista
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Valor futuro de uma
série mista: usando Excel
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Tabela 4.3 Valor futuro de uma série mista de
fluxos de caixa
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Valor presente de uma
série mista
• A Frey Company, uma fabricante de calçados, está
diante de uma oportunidade de receber a seguinte
série mista de fluxos de caixa pelos próximos cinco
anos:
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• Se a empresa precisa obter pelo menos 9% de juros
sobre seus investimentos, qual é o valor máximo que
ela deve pagar por essa oportunidade?
• Essa situação encontra-se representada na linha de
tempo a seguir.
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Valor presente de uma
série mista: usando Excel
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Tabela 4.4 Valor presente de uma série mista de fluxos
de caixa
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Composição de juros
com frequência maior
que a anual
• A composição de juros com frequência maior do que a
anual resulta em uma taxa de juros efetiva mais elevada
porque se obtém juro sobre juro com mais frequência.
• Como resultado, a taxa de juros efetiva é maior do que
a nominal (anual).
• Além disso, a taxa de juros efetiva crescerá quanto
maior for a frequência da composição de juros.
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• Fred Moreno encontrou uma instituição que lhe oferece
8% de juros compostos trimestralmente. Se deixar o
dinheiro nessa conta por 24 meses (dois anos), receberá
2% de juros compostos ao longo de oito períodos.
Tabela 4.5 Valor futuro do investimento de $ 100 a 8% de
juros compostos semestralmente durante 24 meses (dois anos)
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Tabela 4.6 Valor futuro do investimento de $ 100 a juros
de 8% compostos trimestralmente por 24 meses (dois
anos)
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Tabela 4.7 Valor futuro no final do primeiro e do
segundo ano do investimento de $ 100 a juros de 8%
compostos a diferentes intervalos
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• Equação geral para composição com frequência maior
do que a anual
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• Equação geral para composição com frequência maior
do que a anual
– Recalcule o exemplo da Fred Moreno supondo (1)
composição semestral e (2) composição trimestral.
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Composição de juros com
frequência maior que a anual:
usando calculadora financeira
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Composição de juros com
frequência maior que a anual:
usando planilha
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Composição contínua
• No caso da composição contínua, o número de períodos
compostos por ano tende ao infinito.
• Usando cálculo, a equação torna-se:
VFn (composição contínua) = VP × (ei × n)
onde e é a função exponencial, de valor 2,7183.
• Prosseguindo com o exemplo anterior, determine o valor
futuro do depósito de $ 100 após cinco anos, se o juro
for composto de modo contínuo.
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• No caso da composição contínua, o número de
períodos compostos por ano tende ao infinito.
• Usando cálculo, a equação torna-se:
VFn (composição contínua) = VP × (ei × n)
onde e é a função exponencial, de valor 2,7183.
VFn
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= 100  (2,7183)0,08  2 = $117,35
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Composição contínua:
usando calculadora
financeira
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Composição contínua:
usando planilha
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Taxas de juros anuais
nominais e efetivas
• A taxa anual nominal, ou declarada, é a taxa anual de
juros contratada e cobrada por um credor ou
prometida por um tomador.
• A taxa anual efetiva, ou verdadeira (TAE), é a taxa
anual de juros efetivamente paga ou recebida.
• Em geral, a taxa efetiva > taxa nominal sempre que a
composição ocorrer mais de uma vez ao ano.
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• Fred Moreno deseja encontrar a taxa anual efetiva
associada a uma taxa anual nominal de 8% (i = 0,08)
quando os juros são compostos com periodicidade (1)
anual (m = 1); (2) semestral (m = 2); e (3) trimestral
(m = 4).
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Aplicações especiais do
valor do dinheiro no tempo:
depósitos necessários para
acumular uma quantia futura
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• Suponhamos que você queira comprar uma casa
daqui a cinco anos e estime que será necessário
um sinal de $ 30.000 na ocasião. Quanto você
deverá depositar ao final de cada ano pelos
próximos cinco anos para acumular os $ 30.000,
se puder obter 6% sobre seus depósitos?
PMT = $30.000/5,637 = $5.321,98
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Aplicações especiais de
valor do dinheiro no tempo:
amortização de empréstimo
Tabela 4.8 Planilha de amortização de empréstimo
(principal de $ 6.000, juros de 10% e prazo de
pagamento de quatro anos)
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Aplicações especiais de
valor do dinheiro no tempo:
taxas de juros ou de
crescimento
• Muitas vezes é necessário calcular a taxa de juro anual
composto ou taxa de crescimento de uma série de fluxos de
caixa.
Ray Noble quer saber a taxa de juros ou crescimento refletida
na série de fluxos de caixa que recebeu de um investimento
imobiliário no período entre 2005 e 2009. A tabela a seguir
apresenta os fluxos de caixa em questão.
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PVIFi,5anos = VP/VF = ($1.250/$1.520) = 0,822
PVIFi,5anos = aproximadamente 5%
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Aplicações especiais de
valor do dinheiro no tempo:
determinação de um número
desconhecido de períodos
• Às vezes precisamos calcular o número de períodos
necessários para gerar um dado montante de fluxo de caixa
a partir de um valor inicial.
Ann Bates deseja determinar o número de anos necessários
para que um depósito inicial de $ 1.000, a juros anuais de 8%,
atinja $ 2.500. Simplificando, a uma taxa de juros de 8% ao
ano, quantos anos, n, serão necessários para que os $ 1.000 de
Ann, VP, atinjam $ 2.500, VFn?
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FVP8%,n = VP/VF = ($ 1.000 ÷ $ 2.500) = 0,400.
FVP8%,n = aproximadamente 12 anos
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Tabela 4.9 Resumo das principais
definições, fórmulas e equações do
valor do dinheiro no tempo
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