Escola Básica e Secundária de Velas
Planificação Anual do 12º Ano
Matemática A
(Decreto-Lei nº 139/2012, de 5 de julho, alterado pelo Decreto-Lei nº 91/2013, de 10 de julho)
Ano letivo 2014 /2015
Planificação Anual – Matemática A – 12º Ano
Nº DE BLOCOS PREVISTOS
Ano Letivo 2014/2015
1º Período
2º Período
3º Período
38
32
22
2º Período
3º Período
-
-
1º Período
Apresentação
0,5
Auto e heteroavaliação
0, 5
0, 5
0, 5
Atividades de fim de período
-
-
-
Atividades específicas de avaliação
4
4,5
4,5
Blocos de aulas com matéria
33
27
17
Avaliação: Testes de avaliação; Trabalhos individuais e/ou de grupo; Registos de observação.
2
Planificação Anual – Matemática A – 12º Ano
Ano Letivo 2014/2015
Tema I: Introdução ao cálculo das probabilidades
Nº de Aulas Previstas (90 m): 26
Conteúdos
Objetivos

1- Cálculo de Probabilidades
 Experiências aleatórias;
Espaço de resultados;
Acontecimento como subconjunto;
Acontecimento elementar, composto,
certo e impossível.
Operações sobre acontecimentos.
Acontecimentos contrários e incompatíveis.
Acontecimento A implica B;
Acontecimento diferença entre A e B;
Conceito frequencista de probabilidade.
Acontecimentos equiprováveis.
Definição clássica de probabilidade ou Lei
de Laplace.
Calendarização
(Blocos 90 m)
Estratégias/ Atividades
Atividades
permitam
ou
estratégias
que
consolidar
os
conhecimentos adquiridos no 9ºano
 Conhecer terminologia das probabilidades.
sobre probabilidades.
 Determinar o espaço de resultados em experiências  Referência a Pascal e Laplace.
aleatórias.


 Resolução actividades do manual.
Definir acontecimento como subconjunto do conjunto  Fichas de apoio
7
de resultados.
 Resolução fichas de trabalho;
Operações com acontecimentos.
 Trabalhos de grupo/individuais;
 Aplicar a definição frequencista de probabilidade.
 Recurso ao Excel e/ou calculadora
 Aplicar a definição clássica ou de Laplace de Para facilitar a abordagem à Lei dos
probabilidade de resolver problemas de probabilidades Grandes Números.
usando a análise combinatória para efectuar contagens.
 Método expositivo participativo.
 Descrever raciocínios em probabilidades.
 Discussão de vários processos de
resolução.
 Elaboração de pequenos textos
onde
sejam
apresentados
os
raciocínios efectuados.
3
Planificação Anual – Matemática A – 12º Ano
2- Definição
axiomática
de
probabilidades.
Probabilidades condicionada.
Acontecimentos
independentes.
Ano Letivo 2014/2015
 Aplicar os axiomas das probabilidades.
 Resolução actividades do manual.
 Fichas de apoio
 Definição axiomática de probabilidade e Demonstrar teoremas envolvendo probabilidades.
propriedades elementares.
problemas
Definição de probabilidade condicionada Resolver
e sua verificação da axiomática das probabilidades.
probabilidades.
aplicando
Probabilidade da
acontecimentos;
envolvendo
intersecção
de
dois Resolver
de
problemas
 Trabalhos de grupo/individuais;

3
de  Método expositivo participativo.
 Discussão de vários processos de
resolução.
probabilidades  Elaboração de pequenos textos
condicionadas.
Acontecimentos independentes;
Resolução
problemas
teoremas
 Resolução fichas de trabalho;
Definir acontecimentos independentes.
onde
sejam
apresentados
os
raciocínios efectuados.
envolvendo
acontecimentos independentes; *

Resolver
problemas
envolvendo
probabilidade
condicionada e acontecimentos independentes.
Resolução de problemas envolvendo
probabilidade
condicionada
e
acontecimentos independentes;
4
Planificação Anual – Matemática A – 12º Ano
Ano Letivo 2014/2015
 Aplicar o princípio fundamental da contagem.
3-Problemas de contagem. Cálculo
combinatório. Triângulo de Pascal.
Binómio de Newton
 Aplicar estratégias de contagem.
 Resolução actividades do manual.
Aplicar o conceito de factorial de um número natural
 Fichas de apoio
Resolver problemas de probabilidade escolhendo uma  Resolução fichas de trabalho;
estratégia adequada à situação, aplicando:
 Trabalhos de grupo/individuais;
permutações;
 Método expositivo participativo.
Princípio fundamental da contagem;
arranjos sem repetição;
 Discussão de vários processos de
Análise combinatória;
arranjos com repetição;
resolução.
Factorial de um número natural;
combinações sem repetição.
 Elaboração de pequenos textos
Permutações;
Resolver problemas aplicando as propriedades do onde
Arranjos sem repetição;
triângulo de Pascal;
Arranjos com repetição;
sejam
apresentados
os
8
raciocínios efectuados.
Aplicar o desenvolvimento do binómio de Newton na
resolução de problemas.
Combinações sem repetição;
Triângulo de Pascal;
Propriedades do triângulo de Pascal;
Propriedades
das
combinações
(sem
repetição);
 Binómio de Newton.
5
Planificação Anual – Matemática A – 12º Ano
4-Distribuição
relativas
e
probabilidades
de
frequências
distribuição
de
Ano Letivo 2014/2015
 Definir variável aleatória;
 Determinar, em tabela e gráfico, a distribuição de
Distribuição de probabilidades de uma
variável aleatória discreta
Distribuição
de
 Resolução actividades do manual.
probabilidades de uma variável aleatória;
Variável aleatória;
frequências
versus
distribuição de probabilidades
Média versus valor médio. Desvio-padrão
amostral versus desvio-padrão populacional
Distribuição binomial
Distribuição de probabilidades de uma
variável aleatória com distribuição binomial
Valor médio e variância da distribuição
binomial
Aplicação do modelo binomial
A simetria da distribuição binomial
Variáveis aleatórias continuas. Distribuição
normal
Distribuição normal estandardizada
 Relacionar distribuição de frequências com distribuição  Fichas de apoio
 Resolução fichas de trabalho;
de probabilidades;
 Relacionar média e desvio-padrão com valor médio e  Trabalhos de grupo/individuais;
8
 Método expositivo participativo.
desvio-padrão populacional;
 Determinar o valor médio e o desvio-padrão de uma  Discussão de vários processos de
distribuição de probabilidades;
resolução.
 Identificar uma distribuição binomial;
 Elaboração de pequenos textos
 Usar tabelas e calculadora gráfica para calcular o valor onde
de uma probabilidade numa distribuição binomial;
sejam
apresentados
os
raciocínios efectuados.
 Identificar uma distribuição normal;
Conhecer as características de urna distribuição normal;
 Usar tabelas da distribuição N (0,1);
 Estandardizar uma distribuição normal;

Usar
a
calculadora
gráfica
para
determinar
probabilidades numa distribuição normal;
 Resolver problemas envolvendo distribuição binomial e
distribuição norma.
* Conteúdo lecionado no âmbito da Educação para a Saúde, enquadrado no tema “Alimentação saudável”.
6
Planificação Anual – Matemática A – 12º Ano
Ano Letivo 2014/2015
Tema II: Introdução ao cálculo diferencial
Nº de Aulas Previstas (90 m): 34
Conteúdos
Objetivos
Funções exponenciais e funções
logarítmicas
 Definição de função exponencial;
Propriedades das funções exponenciais;
Equações exponenciais;
Transformações
do
gráfico
de
uma
função exponencial;
Aplicação das funções exponenciais na
modelação de situações reais;
Definição de função logarítmica;
Logaritmos com bases especiais;
 Propriedades das funções logarítmicas;
 Transformações do gráfico de funções
logarítmicas;
 Propriedades operatórias dos logaritmos;
 Equações exponenciais e logarítmicas;
Resolução
de
inequações
com
exponenciais ou Inversa de uma função
exponencial ou de uma logarítmica;
 Resolução actividades do manual.
 Identificar funções exponenciais.
 Fichas de apoio
 Conhecer as propriedades das funções exponenciais.
 Resolução fichas de trabalho;
 Resolver equações exponenciais.
 Trabalhos de grupo/individuais;
10
 Aplicar as transformações dos gráficos de funções a  Método expositivo participativo.
funções exponenciais.

ou
Atividades
problemas
que
Aplicar as funções exponenciais na modelação de permitam conectar e relacionar os
situações reais.
novos
conhecimentos
com
os
já
 Aplicar a função exponencial de base e na modelação adquiridos sobre funções.
 Função exponencial de base e;

Calendarização
(Blocos 90 m)
Estratégias/ Atividades
de situações reais. Identificar funções logarítmicas.
Tratamento
 Conhecer as bases especiais 10 e e.
conhecimentos
 Conhecer as propriedades das funções logarítmicas.
intuitivamente.
 Aplicar as transformações dos gráficos de funções às Resolução
funções logarítmicas. Aplicar as propriedades operatórias permitam
dos logaritmos.
utilização
mais
já
de
a
rigoroso
utilizados
exercícios
compreensão
de
de
que
e
a
procedimentos
 Resolver equações exponenciais e logarítmicas. Resolver algébricos.
inequações com exponenciais e logaritmos. Definir a  Utilização da calculadora gráfica
função inversa de uma função exponencial ou logarítmica.  Apresentação de exemplos de
funções que descrevem fenómenos
 Resolver problemas em contexto real usando funções
da
Física,
Química,
Economia,
exponenciais e funções logarítmicas.
Geografia
7
Planificação Anual – Matemática A – 12º Ano
Ano Letivo 2014/2015
 Aplicação das funções exponenciais e
logarítmica modelação de situações reais
Limites. Cálculo de limites de
funções e de sucessões.
 Calcular limites das funções por concretização da
 Noção intuitiva de limite
variável independente;
 Limites laterais;
 Definição de limite segundo Heine;
 Regras operatórias com limites
 Limites e infinitos. Cálculo de limites;
 Indeterminações;

Limites
de
funções
envolvendo
exponenciais e logaritmos;
 Limites de sucessões (revisão).
6
 Calcular limites laterais;
 Aplicar a definição de limite segundo Heine;
 Aplicar teoremas sobre limites no cálculo de limites;
 Calcular limites quando
x
;
 Levantar indeterminações.
 Calcular limites envolvendo funções exponenciais e
logarítmicas.
 Calcular limites de sucessões
3- Continuidade de uma função
 Continuidade de uma função num  Estudar a continuidade de uma função num ponto;
 Estudar a continuidade lateral de uma função num
ponto;
 Continuidade lateral;
6
ponto.
 Continuidade de uma função num  Estudar a continuidade de uma função num intervalo.
 Aplicar teoremas e propriedades sobre funções
intervalo;
 Operações com funções contínuas;
contínuas.
 Teorema de Bolzano - Cauchy
 Aplicar o Teorema de BoIzano - Cauchy.
 Determinação das assimptotas do gráfico  Determinar as assimptotas do gráfico de uma função.
 Resolver problemas usando continuidade.
de uma função.
 Resolver problemas aplicando o conceito de assimptota
do gráfico de uma função.
8
Planificação Anual – Matemática A – 12º Ano
Ano Letivo 2014/2015
 Definir derivada de uma função num ponto.
4- Derivadas
 Interpretar geometricamente o valor da derivada de

Definição de derivada. Significado
geométrico de derivada;
 Derivadas laterais;
 Referências a pontos nos quais a função
não é derivável;
 Função derivada;
 Derivada de uma função constante;
 Derivada de uma função afim;
 Derivada do produto de uma constante
por uma função;
Interpretar
a
derivada como
taxa
de
variação
instantânea de uma função num ponto.
 Interpretar a derivada como velocidade ou aceleração
 Determinar as derivadas laterais de uma função num
ponto.
6
 Interpretar derivadas infinitas.
 Relacionar os conceitos de derivabilidade e de
continuidade de uma função num ponto.
 Conhecer o significado de função derivada de uma
 Derivada da soma e da diferença de
duas funções;
função.
 Demonstrar regras de derivação (derivada da função
 Derivada de uma potência;
 Derivada de funções polinomiais;
Derivada de um produto de funções;
Derivada de um quociente de funções;
Derivada de funções compostas;
de

de um móvel num ponto.
 Derivabilidade e continuidade;
Derivada
uma função num ponto.
funções exponenciais e
logarítmicas;
Função segunda derivada
constante, derivada da função afim, derivada do produto
de uma constante por uma função, derivada da soma e
do produto de funções).
 Aplicar regras de derivação.
 Derivar funções exponenciais e logarítmicas.
 Calcular a segunda derivada de uma função.
 Relacionar os gráficos de uma função da respectiva
função derivada.
 Relacionar os gráficos de uma função e da respectiva
função segunda derivada.
9
Planificação Anual – Matemática A – 12º Ano
Ano Letivo 2014/2015
5- Aplicação das derivadas
 Função estritamente crescente e função
estritamente decrescente (revisão);
 Extremos de uma função (revisão);
 Intervalos de monotonia e primeira
derivada de uma função (revisão);
Determinar os extremos de uma função aplicando o
6
 Máximos e mínimos absolutos e primeira conceito de derivada.
derivada da função;
Estudar a monotonia de uma função usando o conceito
 Extremos relativos e primeira derivada de de derivada.
uma função
Estudar o sentido das concavidades do gráfico de uma
 Concavidade e segunda derivada de função usando a segunda derivada da função.
uma função
Estudar analiticamente uma função (a calculadora é
 Teste da segunda derivada
usada apenas para confirmação de resultados)
 Estudo de funções
Escrever o modelo matemático correspondente a uma
 Problemas de optimização
situação real.
Resolver problemas de optimização.
10
Planificação Anual – Matemática A – 12º Ano
Ano Letivo 2014/2015
Tema III: Trigonometria. Complexos
Nº de Aulas Previstas (90 m): 17
Conteúdos
1- Introdução ao estudo da
trigonometria.
Razões
trigonométricas
no
triângulo
rectângulo (revisão)
 Medidas de ângulos: o grau e o radiano;
 As razões trigonométricas num triângulo
rectângulo
 As razões trigonométricas de ângulos
especiais
 A calculadora gráfica e as razões
trigonométricas
Resolução de problemas envolvendo as
razões trigonométricas.
Objetivos
 Usar o radiano como medida de ângulos.
 Fazer a conversão entre graus e radianos.
Determinar o comprimento de um arco circular.
 Determinar a área de um sector circular.
 Resolver problemas usando comprimentos de arcos
circulares ou áreas de sectores circulares.
Usar o triângulo rectângulo para escrever as razões
trigonométricas.
Usar a calculadora para determinar ângulos ou razões
trigonométricas.
 Deduzir as razões trigonométricas de:
30º, 45º e 50º
Resolver problemas usando a trigonometria do triângulo
rectângulo.
Calendarização
(Blocos 90 m)
Estratégias/ Atividades
 Resolução actividades do manual.
 Fichas de apoio
 Resolução fichas de trabalho;
2
 Trabalhos de grupo/individuais;
 Método expositivo participativo.
 Recurso à calculadora gráfica no
estudo das propriedades das funções
trigonométricas
Uso da calculadora gráfica
Resolução
de
problemas
que
envolvam funções trigonométricas.
Exposição teórica dos conteúdos.
Abordagem
histórica
aparecimento
dos
do
números
complexos.
Apresentação
de
situações
explorem a ligação dos
que
números
complexos à Geometria
11
Planificação Anual – Matemática A – 12º Ano
Ano Letivo 2014/2015
2- Generalização da noção de
ângulo. Razões trigonométricas de
um ângulo qualquer (revisão)
 Representar um ângulo num referencial
Indicar diferentes amplitudes para um lado origem e um
Ângulo orientado
lado extremidade de um ângulo.
Ângulo num referencial
Generalização da noção de ângulo
 Definição das razões trigonométricas de
um ângulo
1
Usar as razões trigonométricas para um ângulo qualquer.
 Usar o sinal das razões trigonométricas.
Conhecer as razões trigonométricas de ângulos de
referência.
Linhas trigonométricas
Reduzir um ângulo ao 1º quadrante.
 Sinal das razões trigonométricas
Razões trigonométricas dos ângulos
0°,90°, 180º e 270°
Redução ao 1.0 quadrante
3- Funções trigonométricas como
funções reais de variável real.
Utilização
das
funções
trigonométricas na modelação de
situações reais.
Definir as funções trigonométricas como funções reais de
variável real.
Representar graficamente as funções trigonométricas.
Conhecer propriedades das funções trigonométricas.
 Funções trigonométricas como funções Obter gráficos de funções trigonométricas a partir do
reais de variável real
gráfico de y = sinx e y = cosx.
Gráficos de funções trigonométricas;
Utilizar as funções trigonométricas na moderação de
Estudo
intuitivo
das
1
funções situações reais.
trigonométricas;
Transformações dos gráficos das funções
trigonométricas
12
Planificação Anual – Matemática A – 12º Ano
Ano Letivo 2014/2015
Aplicação das funções trigonométricas na
modelação situações reais
 Utilização da calculadora na modelação
de funções gráfica é uma sinusóide
4–
Equações
trigonométricas.
Fórmulas trigonométricas
 Equações trigonométricas
 Resolver equações trigonométricas. (Revisão)
 Fórmula fundamental da trigonometria
Deduzir as fórmulas sin2a+cos2a=1 e tan a = sin a /cos a
2
 Fórmulas trigonométricas do seno, co- sendo a um ângulo qualquer. (Revisão)
seno e tangente da soma e da diferença de Deduzir as fórmulas trigonométricas do seno, co-seno e
dois ângulos
tangente da soma e da diferença de dois ângulos.
 Razões trigonométricas do ângulo
Verificar identidades trigonométricas aplicando fórmulas
trigonométricas.
5–
Derivada
trigonométricas
das
funções
 Conhecer que
 Estudo intuitivo do
sin x
;
0
x
lim
x
Derivada das funções trigonométricas;
x
0
sin x
=1
x
Calcular limites aplicando o conhecimento de que
sin x
=1
0
x
lim
x
Resolução
de
problemas
envolvendo a derivada de funções
trigonométrica.
lim
4
Deduzir e aplicar as fórmulas das derivadas das funções
y = sinx; y = cosx e y = tan x,
Resolver problemas envolvendo a derivada de funções
trigonométricas.
13
Planificação Anual – Matemática A – 12º Ano
6– Números Complexos. Forma
algébrica e forma trigonométrica.
 Identificar
Ano Letivo 2014/2015
1
como i, ou seja, a unidade imaginária.
Determinar as soluções imaginárias de uma equação do
 Evolução do conceito de número, O 2° grau que seja impossível em IR.
conjunto dos números complexos;
Representação
geométrica
Conhecer o conjunto C
de
um Representar geometricamente um número complexo.
número complexo;
Complexos
conjugados
Escrever n conjugado e o simétrico de um número
e
complexos complexo.
simétricos;
Adicionar, subtrair, multiplicar e dividir dois números
 Operações com números complexos;
complexos.
4
 O número i como operador da rotação Calcular potências de i.
de 90º;
Reconhecer que multiplicar por i um número complexo
 Raízes complexas de uma equação do equivale a rodar 90º a sua representação geométrica.
2.° grau;

Determinar as raízes complexas de uma equação.
Módulo e argumento de um número Calcular o módulo e o argumento de um número
complexo;
complexo.
 Forma trigonométrica de um número Escrever números complexos na forma trigonométrica e
complexo;
na forma algébrica.
 Operações com números complexos na Multiplicar e dividir dois números complexos escritos na
forma trigonométrica;
forma trigonométrica.
 Construção geométrica das raízes de Calcular uma potência de um número complexo escrito
uma equação em C;
na forma trigonométrica.
 Translação e rotação no plano de
Argand.
Calcular as raízes de índice n de um número complexo
escrito na forma trigonométrica moderação de situações
reais.
14
Planificação Anual – Matemática A – 12º Ano
7– Números Complexos. Forma
algébrica e forma trigonométrica.
Ano Letivo 2014/2015
 Representar no plano complexo conjuntos definidos por
condições.
 Escrever uma condição que represente um conjunto de
pontos, definido no plano complexo.
 Interpretar condições em C tais como:
Operações
com
condições
e
com
• Iz—z1| =r
conjuntos (Revisão);
• Iz—z1| = Iz—z2|
Conjuntos definidos por condições
envolvendo números complexos.
• Im (z — z1) = a
3
• Re (z — z1) = b
• arg (z — z1) =
15