4 REPRESENTAÇÃO E/S NO DOMÍNIO TRANSFORMADO
(funções de transferência)
4.1 Transformada de Laplace
É um operador linear, que opera sobre funções de variável contínua positiva, definido
por:
L  f(t)  = f(s) =

 f(t) e
-st
dt
0
Nota: f(s) é uma função diferente de f(t)!!!!
No nosso caso a variável contínua será o tempo.
A operação inversa é única e tem a forma
f(t)  L1  f(s) =
1
2i
e
st
i  1
f(s) ds
c
Trata-se de uma integral de linha no plano complexo. Este tipo de integrais pode ser
calculado usando resultados do teorema dos resíduos.
De formas esquemática a operação de transformação pode ser indicada da forma:
Relação com a transformada de Fourier
Estudamos a Transformada de Fourier para encontrar-mos uma interpretação física da
transformada de Laplace.
Seja uma função periódica de período T:
1
f p (t)  f p (t + j  T)
j = 0,  1,  2 ...
Ela pode ser desenvolvida em série de Fourier,

f (t)  a 0    a k cos  kt   b k sen  kt  
p
k 1
2
é a freqüência (em radianos por unidade de tempo) com que se repete a
T
onde  
forma básica da função.
Os coeficientes são calculados segundo
1
a0 
T
ak 
bk 
2
T
2
T
T
2
f
p
(t) dt
T
2
T
2
f
p
(t) cos  kt  dt
p
(t) sen  kt  dt
T
2
T
2
f
T
2
Observar que estes coeficientes são funções de múltiplos da freqüência básica:
a k  a k (k ) ; b k  b k (k ) .
Uma outra forma (a forma exponencial) pode ser obtida para a série de Fourier se senos e
cosenos forem substituídos usando as identidades de Euler derivadas da formula de
Euler de análise complexa:
e  i

e i  e -i
cos  =
2
 cos   i sen   
i

e
e -i
 sen  =

2i
f p (t) 

 f  i  e
k 
ik t
k  k. 
k
Com os coeficientes, que são funções complexas de múltiplos da freqüência básica,
dados por:
2
f  i k  
1
T
T
2
f
p
(t) e -ik t dt
T
2
Dada uma função periódica fp(t), a função f(ik) é sua transformação ao domínio da
freqüência discreta k.
É interessante observar que a função transformada representa (no campo complexo) as
amplitudes de termos oscilatórios de diferentes freqüências.
Uma função não periódica é o limite de uma função periódica, com o período tendendo
a infinito; T  .
Podemos escrever a função periódica assim:

1
f p (t) = 
k=- T




 f p   e-ik  d  eik t *  k
-T
k

2
T
2
onde k  k 1  k   k  1  - k   
2
T
Assim

 T2
1
 k


f p (t) =    f p    e -ik  d  e ik t
2
 -T
k=- T

 2
T

Então
1
lim f (t)  f(t) 
T 
2
p


   f    e-i d  eit d
- -

ou
f(t) =
1
2

f(i) =

 f  i e
it
d
-
 f t  e
-it
dt
Transformada de Fourier
-
A existência desta última integral está condicionada a:
3

 f  t
dt < 

Esta condição não é satisfeita por muitas funções de interesse prático (por exemplo, o
degrau).
Se as funções que não satisfazem a convergência exigida forem multiplicadas por uma
exponencial negativa.
f(t) e -at
a convergência estará satisfeita para algum valor do parâmetro “a” e, então, pode ser
calculada a transformada de Fourier:

 f(t) e
-at
e -it dt

Considerando só tempo positivo e definindo a variável complexa s=a+i, o resultado é
a transformada de Laplace de f(t):

f (s) =
 f(t) e
-st
dt
0
O parâmetro “a” é chamado de abscissa de convergência.
Existem tabelas muito completas de transformada de Laplace. Os pares transformados
de maior interesse, em termos da análise de processos, são:
4
função
f(t)
impulso
f(s)
 t 
1
A
A
unitário
degrau
s
rampa
r
rt
s2
e at
exponencial
1
s a
t k 1 at
e
k  1!
1
s  a k
sen t 
seno

2
  s2

f t  td
tempo morto

t s
e d f  s
Algumas propriedades de interesse
- transformada de uma integral de convolução
t

L   f    g  t -   d  = f  s g s
0

- teorema do valor inicial
lim f(t) = lim s.f(s)
t 0
s 
- teorema do valor final
lim f(t) = lim s.f(s)
t 
s 0
- transformada da integral de uma função (entre 0 e t)
t

1
L   f    d  =
f(s)
s
0

- transformada da derivada de ordem n de uma função
 d n f(t)  n
df  t 
L
= s f(s) - s n-1 f  t  t  0  s n-2

dt
 dt 
5
t=0 ... s
d n-2 f  t 
dt n-2
t=0

d n-1 f  t 
dt n-1
t=0
Exemplo de solução de equações diferenciais
dx(t)
 x(t ) + y(t) = e -3t
dt
x(0) = 1
dy(t)
 y(t ) + 4x(t) = 0
dt
y(0) = 0
Transformando com a transformada de Laplace:
s  x(s)  x(0)  x(s)  y(s) 
1
s3
s  y(s)  y(0)  y(s)  4  x(s)  0
Nesta última equação, usando y(0) = 0,
s  1  ys   4  x s   ys  
4
 x s 
s 1
Substituindo na anterior
s  x s   1  x s  
4
1
 x s  
s 1
s3
1
s  4  s + 1  s  4  s + 1  s 2  5  s  4
s3 
x s  
4
s 2  2.s  3  s + 3 .s  1  s + 32 s 3  5  s 2  3  s  9
s 1
s 1
1


x t   L1 x s 
4.2 Transformada Z
É um operador linear, que opera sobre seqüências de variável discreta positiva, definido
por

Z  f  k    f  z   f  k  z  k
série de potências negativas de z
k0
A operação inversa é
f  k   Z 1  f  z  
1
 f  z z k-1dz
2i c
6
Relação com a transformada de Laplace
Seja uma função contínua no tempo, amostrada a cada Ta unidades de tempo (gera uma
seqüência)
O processo de amostragem é, por conveniência, representado por uma operação
envolvendo uma série de funções delta de Dirac ponderadas (uma idealização), seguida
pelo tratamento desta série com uma função que mantém os valores da série constantes
entre dois tempos de amostragem.

f   t    f  kTa   t  kTa 
k0
kTa 
f

0
(    d  1 )
 t  dt  f  kTa 
kTa 
0
Transformando com a transformada de Laplace

f   s   f  kTa  e -kTa s
k 0
Fazendo z  e  Tas e deixando implícito Ta
f  (s)

z  e  TaS
 f ( z)   f(k) z -k
k 0
A transformada z de uma seqüência é obtida amostrando a função contínua que gera a
seqüência, transformando por Laplace e fazendo z  e  Tas .
Como s  a  i é uma variável complexa, z também é: z  e  a Ta e +iTa   e i
Existem extensas tabelas de pares transformados, sendo os principais:
7
função (seqüência)
f(k)
f(z)
impulso unitário
0  k 
1
degrau
A
rampa
rkTa
A
1  z 1
rTaz1
 1  z 1  2
e aTak
exponencial
1
1 e
    e 
potência
Ta k
a
e  akTa coskTa 
 a Ta
z 1
1
1   Ta z 1
1  e  aTa z 1 cosTa 
1  2e  aTa z 1 cosTa   e  2aTa z  2
Algumas tabelas estão em potências positivas de z.
Az
A

z  1 1  z 1
Algumas propriedades de interesse
- Teorema da translação real

Z f k  n    f k  n   z  k
k 0
Substituindo (k-n) por m temos
knm
se k  0 , então m  - n
se k =  então m  
Então

Z f k  n    f k  n   z  k 
k 0

 f m   z 
 n m 
 z n
m n

 f m   z 
m n

 1

n

z  n   f m   z m    f m   z m    z  n  f  k   z k  f z 
m 0
m n

 k 1

No caso em que os valores de f(k) são zero para k<0,
8
 m

Zf k  n   z  n  f z 
Por outro lado
n 1


Z f k  n   z n f z    f k z k 
k 0


- Teorema da translação complexa

 

Z e  a.k.Ta f k   f ze  a.Ta  f z  z  ze  a Ta
- Teorema do valor inicial
f k  k 0  lim f z 
z 
- Teorema do valor final
lim f  k   lim 1  z -1  f  z
k 
k 1
Exemplo de solução de equações de diferenças finitas
x k  2  3x k  1  2x k   0
x 0  0 ; x 1  1
Usando a transformada z


 1 z -1   3. z. x z  x  0   2.x z  0
z 2  x z  x  0  x


1
x z  z 2  3z  2  z
z
z
z -1
z -1
x z   2



z  3z  2 z  1  z  2 1  3z -1  2z -2 1  z -1   1  2z -1 
4.3 Inversão de Funções Transformadas
Transformada de Laplace Inversa
Para a transformada de Laplace, o método mais popular para se determinar a função
inversa é o da expansão em frações parciais. Em geral, para os casos de interesse, as
funções cujas transformadas inversas se desejam calcular se apresentam na forma de um
cociente de polinômios
9
f  s 
b m s m  b m 1 s m1 + ... + b 1 s + b 0
s + a n-1 s ... a 1 s  a 0
n
n-1

N s
D(s)
Se as raízes de D(s)=0 forem p1, p2, ..., pn, o polinômio denominador pode ser escrito na
forma fatorada:
D s  sn  a n 1 sn 1 ...a1 s + a 0   s  p1  s  p 2  ...  s - p n 
Assim
f  s 
N s
 s  p  s  p  ...  s - p 
1
2
n
Esta equação pode ser escrita na forma de uma expansão em frações parciais que, no
caso de raízes distintas é:
f  s 
c1
c
c
 2  ... + n
s  p1 s  p 2
s - pn
Os coeficientes ci devem ser determinados de tal forma que os dois lados da equação
sejam iguais. Usando a propriedade de linearidade da transformada de Laplace, a
determinação da transformada inversa se reduz à soma das transformadas inversas de
funções simples:
 1 
 1 
 1 
1
1
f  t   L1 f  s   c1 .L1
  c2 .L 
+...+ c n .L 

 s  p1 
 s  p2 
 s  pn 
No caso
 1 
pt
L1 
e i
s
p


i 
Determinação dos Coeficientes ci
As "n" raízes de um polinômio de grau "n" com coeficientes reais podem ser todas
distintas, reais ou complexas, ou repetidas. Toda vez que aparece uma raiz complexa,
também aparece a correspondente conjugada. Os vários casos possíveis são
introduzidos através de exemplos
10
Raízes reais e distintas
f  s 
s2  s  6
s3  2s2  s  2
p1 = 1
f  s 
p2 = -1
p3 = 2
s2  s  6
c
c
c
 1  2  3
 s  1  s  1  s  2 s  1 s  1 s  2
Para determinar c1
 s  1 f  s   s  1
 s2  s  6
 s  1  s  1  s  2
  s  1
c1
c
c3
  s  1 2   s  1
 s  1
 s  2
 s  1
Fazendo s=1
c1 
1 1 6
=3
 1  1  1- 2
Isto é, na determinação de c1 foi feito
c1   s  1 f  s s1  lim s  1 f  s  lim  s  p1  f  s
s 1
s  p1
Para c2 e c3 o procedimento é o mesmo
s2  s  6
2

s  1 s  1s  2 
3
c 2  lim s  1 f s   lim
s  1
c 3  lim s  2  f s   lim
s2
s2
s2  s  6
4

s  1s  1 3
Assim
f s  
3
2 1
4 1
 
 
s 1 3 s 1 3 s  2
f t   3  e t 
2 - t 4 2t
e  e
3
3
Raízes complexas
f  s 
2
s  s  2 s  2
2
11
p1  0
p 2  1  i
p 3  1  i
Observamos que a uma raiz complexa corresponde uma raiz conjugada.
f  s 
c1
c2
c3


s s   1  i s   1  i
Neste caso as raízes são distintas e é usada a mesma metodologia do caso anterior, para
o cálculo dos ci. Isto é:
ci  lim  s  pi  f  s
s pi
Assim
c1  lim
s 0
2
1
s  2s  2
2
c 2  lim s - - 1 + i 
s -1+i 
c 3  lim
s   -1-i 
2
-1 + i
=
s s - - 1 + i  s - - 1 - i 
2
 s -  -1- i f  s
=
-1- i
= c*2
2
Na expansão em frações parciais, os coeficientes associados a pares de raízes
complexas conjugadas são complexos conjugados (basta calcular um para conhecer o
outro). Assim
1
1
1  1  i 
 1  i 


f  s   
+ 
 2  s -  -1- i
s  2  s -  -1 + i
f  t  1 
1  i  -1+i  t 1  i  -1-i  t
e

e
2
2
Isto não é real!
Vamos aproveitar este momento para relembrar alguns conceitos de variáveis
complexas que, no caso, serão úteis para colocar a equação anterior em uma forma mais
clara.
O número complexo c  a  ib , representa um ponto no plano complexo
12
Além das coordenadas cartesianas "a" e "b", podem ser usadas as coordenadas polares
"" e "" para localizar o mesmo. Isto conduz à representação polar do número
complexo.
c  a  ib   e i
com
   a 2  b2 
  arctg
1
2
b
a
Assim, no exemplo considerado:
c 2  2 e i2
c 3  c 2   2 e -i2
com
1 1
2    
4 4
1
2

1
2
1
3
 2  arctg 2  
-1
4
2
Então
f  t  1 
 3 
1 i 43   -1+i  t
1 -i 43   -1-i  t
1 -t  i t + 4  
e e

e
e
 1
e e
e
2
2
2

 3 
- i t + 4  



Para continuar com a simplificação desta função vamos lembrar novos conceitos
observando a figura anterior.
13
a   cos 
b   sen 
Então
c  a  ib    cos  + i sen    e i
e
e i  cos  + isen 
Fórmula de Euler
porém
e  i  cos  - i sen 
Somando, conclui-se que:
cos  =
e i  e i
2
Subtraindo, conclui-se que:
sen  =
e i  e  i
2i
Usando a primeira destas relações de Euler no nosso problema
f (t)  1 
2 t
 3 
e cos  t +  
 4 
2
É possível mostrar ainda, usando a relação trigonométrica
 cos  A  B  cos A cos B
 sen A sen B
que
f ( t )  1  e  t  cos t + sen t 
Através das operações realizadas chegamos a uma função real, o que não estava
aparente na primeira f(t) obtida. Como sempre estaremos trabalhando com sistemas
reais, os sinais associados têm que ser reais.
14
Raízes múltiplas
f  s 
1
s  s  1
3
p1  0
p 2  p 3  p 4  1
f  s 
c1
c2
c3
c4


2 
s s  1  s  1
 s  1 3
Neste caso há funções a inverter é da forma
1
s  p i n
e a inversa é


1
t n 1 pi t
L1 

e
n 


n

1
!



s
p
i


Os coeficientes c1 e c4 são calculados como nos casos anteriores
c 1  lim s f  s  1
s 0
3
c 4  lim  s + 1 f  s  1
s 1
Entretanto
2
c 3  lim  s + 1  f  s
s 1
Porém
c

d
d
 s  1 3 f  s    s  1 3 1   s  1 2 c 2   s  1 c 3  c 4 


ds
ds 
s
1 3  s  1 c 1 s   s  1 c 1
 2 
 2  s  1 c 2  c 3
s
s2
2
3
e, assim
lim
s 1
d
 s  1 3 f  s   c 3  1

ds
Da mesma forma
d2
ds 2
c

d2 
 s  1  f  s  ds2  s  1 3 s1   s  1 2 c 2   s  1 c 3  c 4 
3
15
2
3
d  3 s + 1 c 1s   s  1 c 1 
2


 + 2 c2
s 3 ds 
s2

e, assim
 d2

3
lim  2  s + 1 f  s  = 2 c 2  c 2  1
s 1  ds

A função no domínio do tempo é
 1 
 1 
 1 
 1
1
  L1 
f  t   L1    L1 
2  L 
3
 s  1
 s
  s  1 
  s  1 

t2 
f  t   1  e  t 1  t  
2

O polinômio em t é conseqüência das raízes repetidas.
Transformada Z Inversa
Ao inverter a transformada z de uma dada função, f(z), é obtida uma seqüência de
valores que nada diz respeito do intervalo de tempo que os separa (Ta)
Z 1  f  z    f  0 , f  1 , f  2 , ..., f  k  , ...
Também nada diz respeito de uma eventual f(t) que possa ter gerado, por amostragem ,
essa seqüência. Pelos valores resultantes podem passar inúmeras funções contínuas.
Divisão direta
Nf (z) b 0  b1 z 1  b 2 z 2  ...  b m z  m
f (z) 

Df (z) a 0  a 1 z 1  a 2 z  2  ...  a n z  n

  o   1 z   2 z ...   f  k  z  k
1
2
k0
então
16
f  0   0

f  k   k

É um método simples, que pode ser continuado indefinidamente.É indicado para
determinar a transformada inversa nos primeiros intervalos de tempo.
Expansão em frações parciais
b 0  b1 z 1  ...  b m z  m
cn
c1
c2
f z  


 ... 
1
n
1
1
a 0  a 1 z  ...  a n z
r1 z  r2 z 
rn z 1 
 1 
 1 
 1 
 c 2 Z -1 
...c n Z -1 
Z 1  f  z    c 1 Z 1 
1 
1 
1 
 r1  z  
 r2  z  
 rn  z  
Raízes reais e distintas
f z  
c1
c2
z
z 1
z 1




2
-1
-2
1
1
1
1  z 1  3z  1  z 1  3z 1
z  4z  3 1  4z  3z
c 1  lim 1  z 1 
z 1
 1- z  1  3z 
c 2  lim 1  3z 1 
z3
f  z  
z -1
1
-1
z -1

1
2

1
2
 1- z  1  3z 
-1
1
1  1
1 


1 
2 1  z
1  3z 1 
Na tabela
 1 
1
Z 1 
 1  z 1 
 1 
  3k
Z 1 
 1  3z 1 
f  k   Z 1  f  z    
1 1 k
 3
2 2
17
k=
0
1
2
3
...
f(k) = 0
1
4
13
...
Raízes complexas conjugadas
f z  
z2  6  z
z2  6  z
z
z
z

 c1
 c2
 c2
2
z  2z  2  z  1 z  1  i   z  1  i   z  1
z 1
z  1  i 
z  1  i 

c1  lim
z 1

z 2  6z 1
 7
z 2  2z  2 z
2

1  i   6  7  i
z2  6  z
1
1  i   6  1  i 
 

c 2  lim
z 1 i  z  1  i   z  1 z
2
1  i   1  i   1  i  1  1  i 
2i  i
c 2 
7i
2
f z   7 
z
z
z
7i
7i





z  1   2  z  1  i    2  z  1  i 
7
1
1
1
7i
7i




1
1
1
1 z
  2  1  1  i   z
  2  1  1  i   z
k


1
Lembrando Z 1 
   Ta  , vem
Ta 1 
1   z 
7i
7i
k
k
f k   7  
1  i 
1  i   
 2 
 2 
Porém
1 i  2 e
i
1 i  2 e

4
i

4
 1 
iarctg 

7i 1
 7 
  50  e
2 2
18
 1 
iarctg 

7i 1
 7 
  50  e
2 2
Substituindo e operando
f k   7  50 
 2
k
 
  1 
 cos k   arctg

  7 
 4
Raízes múltiplas
c3
c1
c2
c1 z 2
c 2 z 1 c 3 z 1
11 z 2  15 z + 6
11 z 2  15 z + 6







z 3  4 z 2  5z  2
z  12 z - 2 z  12 z  1 z  2 1 - z -1 2 1 - z -1 1 - 2z -1

 z  1 2 
11 z 2  15 z  6
2
c 1  lim z  1 f  z  lim
 lim c 1   z  1 c 2 
c 
z 1
z 1
z 1
z-2
z 2 3
f z  

c1  2
 22 z  15  z  2   11z 2  15z  6
d
 z  1 2 f  z   lim
 9

z 1 dz
z 1
 z - 2 2
lim
 z  1 2 
d




1

c
z
c
c 
 1
2
z 1 dz 
z 2 3
 lim
2


2  z  1 z  2   z  1
 lim 0  c 2 
c
3   c2
z 1
 z - 2 2

c2 = -9
c 3  lim z  2 f  z  20
z2
 2 z 1
9
20  1
z
f  z  


2
1  z 1 1  2 z 1 
  1  z 1 
f k   u k  1   9  2k  1  1k 1  20.2 k 1
f k  1   9  2  k   1k  20.2 k
para k = 0, 1, 2, ...
4.4 Função de Transferência
A integral de convolução é dada pela equação
19

t
y t    g t    u   d
0
Transformando por Laplace
y s  G s u s
onde
G s  L g t  
é a função de transferência.
Pode, também, ser definida como o cociente entre as transformadas de Laplace dos
sinais de saída e entrada.
A dinâmica de um sistema monovariável (SISO), linear e invariante é, genericamente,
modelada por:
dy
du
d n1 y
d m1 u
dny
d mu
a n n  a n1 n1 ...a 1
 a 0 y  b m m  b m1 m1 ... b 1
 b0u
dt
dt
dt
dt
dt
dt
Em termos de variáveis desvio, com o sistema inicialmente no estado estacionário
(condições iniciais nulas), transformando por Laplace
b m s m  b m1 s m-1 +...+ b 1 s + b 0
y s


G s 
u s
a n s n + a n-1 s n-1 ... a 1 s + a 0
Para que corresponda à função de transferência de um sistema real é necessário que
n  m
Considerando um exemplo em que n < m
a 0 y t   b 1
du t 
 b 0 u t 
dt
esta equação implicaria que para um degrau unitário o sistema responderia com um
impulso unitário, (t); isto é uma idealidade.
A natureza não deriva, só integra!!!
Para um sistema multivariável (MIMO) haverá tantas funções de transferência como
indicado pelo produto do número de variáveis de entrada pelo número de variáveis de
saída.
20
Num caso 2x2.
 y 1   G 11
 y   G
 2   21
G 12   u 1 
G 22   u 2 
ou
yG u
G s  é a matriz de funções de transferência ou matriz de transferência.
É claro que não haverá interação das variáveis de entrada se G12 e G21 forem nulas.
Um exemplo deste caso 2x2 (que poderia corresponder ao cstr, uma vez linearizado,
expresso em termo de variáveis desvio e com a nomenclatura redefinida) é o seguinte:
dy 1
 a 11 y 1  a 12 y 2  b 11 u 1  b 12 u 2
dt
dy 2
 a 21 y 1  a 21 y 2  b 21 u 1  b 22 u 2
dt
Tranformando por Laplace e resolvendo o sistema de equações algébricas resultante vem
y 1  s 
y 2  s 
b 11 s   a 12 b 21  a 22 b 11 
P s
b 21 s   a 21 b 11  a 11 b 21 
P s
u 1  s 
u 1  s 
b 12 s   a 12 b 22  a 22 b 12 
P s
b 22 s   a 12 b 22  a `11 b 22 
P s
u 2  s
u 2  s
P s  s 2   a 11  a 22  s   a 12 a 21  a 11a 22 
O denominador de todas as funções de transferência de um mesmo sistema é o mesmo.
P(s)=0 é a equação característica e suas raízes são os pólos do modelo (sistema).
21
O numerador da função de transferência é um polinômio que quando igualado a zero tem
como raízes os zeros.
Os pólos da matriz de transferência são a soma de todos os pólos das funções de
transferência que a compõem.
Para matrizes quadradas, os zeros de G s  são os zeros de G s  . Em geral, para
matrizes transferência de qualquer forma, os zeros são os valores de "s" para os quais é
reduzido o "posto" da matriz.
4.5 Função de Transferência de Pulsos

y( k )   h j u k - j
j 0
Aplicando a transformada z

y z   y k  z    h j
k0
k  0  j 0



-k



u k
- j z -k


 l 
Para
k = 0  l  j
k jl  
; k = l+ j
k
=


l



y z 


l  j
j 0
  h j u l z 
- l+ j
Quando u l  0

y z   h( j) z -j
j 0
 l  0 , então,

 u l z
-l
l=0
y z  G z u z
com
G z  Z  h  k  
22
A função de transferência de pulsos (ou simplesmente pulso) é a transformada z da
resposta pulso ou seqüência ponderada. Relaciona entrada discreta e saída discreta.
Também pode ser definida como

G z 
y z
u z
Para sistemas contínuos observados discretamente (como faz o computador)


y kTa    g jTa  u  k - j Ta
j 0

g j Ta  : Seqüência de valores da resposta impulsional

G z  Z  g kTa     g kTa  z -k
k 0
Consideremos o sistema discreto (ou discretizado) caracterizado por uma equação de
diferenças finitas
a 0 y k  n  a 1 y k  n  1 ...a n1 y k  1  a n y k  
b 0 u k  n   b1 u k  n  1  ...  b m 1 u k  n  m  1  b m u k  n  m 
ou, para coeficientes constantes (invariância no tempo),
a 0 y k   a 1 y k  1 ... a n1 y k  n  1  a n y k  n 
b 0 u k   b1 u k  1  ...  b m 1 u k  m  1  b m u k  m 
Usando a transformada z, para condições iniciais nulas:
a
0
z n  a 1 z n1 ... a n1 z  a n  y z   b 0 z n  b 1 z n1 ... b m1 z n m1  b m z n m  u z
G z 
b 0 z n  b 1 z n1 ... b m1 z n m1  b m z n m
a 0 z n  a 1 z n1 ...a n1 z  a n
ou
b 0  b 1 z 1 ... b m1 z  m1  b m z  m
G z 
a 0  a 1 z 1 ...a n1 z  n1  a n z  n
Neste caso, para que a função de transferência de pulsos represente um sistema real:
se a 0  0 então b 0  0;
se a 0  a 1  0 então b 0  b 1  0
23
Exemplo:
a 0  0, b 0  0
a 1 y k  n  1 ...  b 0 u k  n ...
ou
a 1 y k  1 ...  b 0 u k  ...
Não Pode!!!
Porém, se:
b 0  b 1 z... b m z m
G z 
a 0  a 1 z...a n z n
Para representar um sistema real
nm
24