Métodos Matemáticos em Biologia I
Polo da UFRJ em Xerém
2 semestre de 2010
◦
Limites e continuidade
Continuidade e TVI
Exercício 1.
Investigue a continuidade nos pontos indicados:
 3
 x −8
x2 − 4
1. f (x) =

3
, x 6= 2
 2
 x − 3x + 2
x2 − 1
2. f (x) =
 1
−2

 x2 sen( 1 ) ,
x
3. f (x) =
 0
,

 sen x
x
4. f (x) =
 1
Exercício 2.
(
1. f (x) =
2. f (x) =
(
3. f (x) =
, x 6= 1
em x = 1.
, x=1
x 6= 0
em x = 0.
x=0
, x 6= 0
, x=0
em x = 0.
Calcule p de modo que as funções abaixo sejam continuas:
x2 + px + 2 , x 6= 3
3
(
em x = 2.
, x=2
, x=3
x − 2p , x ≤ −1
p2
, x > −1
e2x
, x 6= 0
p3 − 7 , x = 0
Exercício 3.
Determine, se existirem, os pontos de descontinuidade das seguintes funções:
1. f (x) =
x2 − 6x + 9
x−3
2. f (x) =
x2
3. f (x) =
x2 + 3x − 1
x2 − 6x + 10
2x + 8
+ x − 12
Seja f a função denida em R por f (x) = x3 − 4x + 5. O objetivo deste exercício é
demonstrar a existência de uma solução à equação f (x) = 8.
Exercício 4.
a) Justique a continuidade de f em [−2; 3].
1
b) Calcule f (−2), f (3), comparar-los com 8.
c) Conclua.
Use o teorema do valor intermediârio para mostrar que a equação x = cos x tem, pelo
menos, uma solução no intervalo [0, π2 ].
Exercício 5.
Use o teorema do valor intermediârio para mostrar que a equação x + sen x = 1 tem,
pelo menos, uma solução no intervalo [0, π6 ].
Exercício 6.
Limites
Exercício 7.
Ache (a) lim+
x→4
(
Exercício 8.
Ache
Seja f (x) =
(a) lim− f (x)
x→3
Exercício 9.
(b) lim−
x→4
2−x
(x − 4)(x + 2)
2−x
x→4 (x − 4)(x + 2)
(c) lim
, x≤3
3x − 7 , x > 3
(c) lim f (x)
x→3
x→3
Calcule os limites indicados:
x→+∞
2. lim (2x3 − 100x + 5)
x→+∞
x→2
x−1
(b) lim+ f (x)
1. lim (1 + 2x − 3x5 )
3. lim−
2−x
(x − 4)(x + 2)
(x − 1)(x − 2)
x+1
x2 − 2
x→3 x + 1
4. lim
x2 + 3x + 2
x→−1
x2 − 1
5. lim
3x + 5
6. lim
x→+∞ 6x − 8
4x2 − x
x→−∞ 2x3 − 5
r
3x + 5
8. lim 3
x→+∞
6x − 8
r
x2 + 2
9. lim 3
x→+∞
3x − 6
√
x2 + 2
10. lim
x→−∞ 3x − 6
7. lim
√
11. lim
x→+∞
3x4 + x
x2 − 8
12. lim √
x→−∞
2−x
7 + 6x2
1
|x − 3|
√
x+4−2
14. lim
x→0
x
√
x2 + 4 − 2
15. lim
x→0
x
13. lim−
x→3
Assíntotas
Exercício 10.
Seja f a função denida por:
2x3 − 5x2 − x + 6
x2 − 3x + 2
a) Determine o dóminio de f .
b) Seja P (x) = 2x3 − 5x2 − x + 6, verique que 2 é raiz de P , logo factoriza P por x − 2.
c) Estude o limite de f em 2. A reta de equação x = 2 é assintota vertical da curva y = f (x)?
d) Estude o limite de f em +∞. A curva tem uma assíntota horizontal em +∞? Neste caso, dê sua
equação.
e) Monstre que a reta vertical x = 1 é assíntota à curva y = f (x).
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