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Universidade Federal Fluminense
Instituto de Computação
Programa de Pós-Graduação em Computação
Disciplina: Tratamento de Incertezas (TIC-10.005), Semestre: 2015/2
Professor: Leandro Augusto Frata Fernandes
LISTA DE EXERCÍCIOS 3
Conteúdo .............. : Propagação de Incertezas, Teoremas sobre Limites e Cadeias de Markov
Instruções Gerais .. : Apresentar as soluções em folhas de papel escritas à mão. As folhas devem ser
identificadas com nome completo e número de matrícula do aluno. Cada questão
deve ser identificada inequivocamente. Soluções de problemas que requerem
manipulação algébrica devem ser apresentadas passo-a-passo.
No caso do item (d) do exercício 2, a entrega deve ser feita por e-mail
([email protected]). Os programas deverão ser entregues até 23:59 do dia 05
de novembro de 2015 e deverão ser apresentados pelo aluno em dia e horário a
combinar.
Datas de Entrega... : 05 de novembro de 2015 (entregar, na aula, as questões feitas no papel)
05 de novembro de 2015 (entregar, por e-mail, a questão que envolve programação)
Observações ......... : Errata nas questões 4 e 5
Propagação de Incertezas
1)
Considere um triângulo com arestas 𝐴 e 𝐵 medindo, respectivamente, 100 ± 0,5 metros e
40 ± 0,2 metros. O ângulo interno definido pelas arestas 𝐴 e 𝐵 é igual a 25°. Utilize propagação
de incerteza em primeira ordem para estimar:
a. O comprimento da aresta 𝐶 do triângulo e sua incerteza padrão.
b. A área do triângulo e sua incerteza padrão.
c. O perímetro do triângulo e sua incerteza padrão.
2)
Sejam 𝑃1 = (𝑥1 , 𝑦1 ), 𝑃2 = (𝑥2 , 𝑦2 ), 𝑃3 = (𝑥3 , 𝑦3 ) e 𝑃4 = (𝑥4 , 𝑦4 ) pontos no plano Cartesiano, com
incerteza Gaussiana modelada, respectivamente, pelas matrizes de covariância
𝑣𝑎𝑟(𝑥𝑖 )
𝑐𝑜𝑣(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 )
Σ𝑖 = (
),
𝑐𝑜𝑣(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 )
𝑣𝑎𝑟(𝑦𝑖 )
para 1 ≤ 𝑖 ≤ 4.
a. Apresente a expressão que calcula o ponto 𝑄 resultante da intersecção da reta 𝑅1 , definida pelos
pontos 𝑃1 e 𝑃2 , com a reta 𝑅2 , definida pelos pontos 𝑃3 e 𝑃4 .
23/10/2015
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𝑅2
𝑃1
𝑃4
𝑄
𝑃2
𝑃3
𝑅1
b. Apresente as derivadas parciais que compõe a matriz Jacobiana utilizada na propagação de
primeira ordem das incertezas associadas aos dados de entrada para os dados de saída.
c. Apresente a matriz de covariância utilizada na propagação de incerteza de primeira ordem.
Considere que as incertezas associadas aos pontos de entrada não são correlacionadas.
d. Escreva um programa que receba como entrada os pontos 𝑃𝑖 e as matrizes de covariância Σ𝑖 .
O programa deverá desenhar a incerteza associada às entradas, a incerteza associada às retas 𝑅1
e 𝑅2 , e a incerteza associada ao ponto resultante 𝑄.
Teoremas sobre Limites
3)
Considere as variáveis aleatórias independentes 𝑋1 , 𝑋2 , ⋯ , 𝑋10 , com distribuição uniforme sobre o
intervalo unitário [0, 1].
a. Use a desigualdade de
𝑷(𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋10 ≥ 7).
Markov
para
encontrar
um
limite
superior
para
b. Use a desigualdade de Chebyshev para limitar a mesma probabilidade.
c. Use o teorema central do limite para limitar a mesma probabilidade. Utilize a dica do item (b)
para resolver esse item.
4)
Um conjunto de dados é enviado sequencialmente por um canal ruidoso, onde a probabilidade de
um bit ser trocado acidentalmente é 0,002. Você recebeu um bloco de 1000 bits. Considere que 𝑋
é uma variável aleatória que representa o número de bits que foram trocados.
a. Use a desigualdade de Markov para encontrar um limite superior para a probabilidade do bloco
de dados ter cinco ou mais bits trocados.
b. Use a desigualdade de Chebyshev para limitar a mesma probabilidade.
c. Use o teorema central do limite para limitar a mesma probabilidade.
23/10/2015
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Cadeias de Markov
5)
Considere a cadeia de Markov com a matriz de transição 𝑃 para os estados {1, 2,3,4,5,6}:
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0 0,2 0,8
0
0 0,5 0,5 0
0
𝑃=
0 0,3 0,4 0 0,3 0
1
0
0
0
0
0
(0,9 0,1 0
0
0
0)
a. Desenhe o diagrama de transição de estados desta cadeia de Markov.
b. Para cada um dos seis estados, indique se ele é recorrente ou transiente.
c. Quais as classes de recorrência desta cadeia de Markov?
d. Para cada classe recorrente, indique se ela é periódica ou aperiódica. Se for periódica, qual o
período?
e. Seja 𝑋𝑡 o estado da cadeia de Markov no tempo 𝑡. Encontre 𝑷(𝑋3 = 5|𝑋0 = 3).
f. Em um período de tempo longo, qual a proporção do tempo em que a cadeia de Markov estará
em cada estado?
6)
Considere duas moedas com aparência idêntica, de modo que não é possível diferenciar uma da
outra. Uma não é viciada, portanto a probabilidade de um lançamento resultar em cara é igual à
probabilidade de resultar em coroa. A outra moeda é viciada, com probabilidade 𝑝 de resultar em
cara e 1 − 𝑝 de resultar em coroa.
Uma sequência de caras e coroas é gerada da seguinte forma: uma das moedas (a atual) é lançada.
Se o resultado é coroa, trocamos para a outra moeda para o próximo lançamento. Se o resultado é
cara, lançamos a mesma moeda para gerar o próximo resultado. Defina uma cadeia de Markov de
tempo discreto onde o estado corresponde à cada moeda, ou seja: estado 1 = 𝑣𝑖𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎 e estado
2 = 𝑛ã𝑜 𝑣𝑖𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎.
a. Desenhe a cadeia de Markov.
b. Escreva a matriz de transição para esta cadeia de Markov.
c. Qual é a solução para as probabilidades de estado estacionário.
d. Baseado no resultado do item (b), qual é a fração de moedas em uma grande quantidade de
lançamentos que resulta em cara?
e. Dado que o resultado do lançamento é cara, qual é a probabilidade do próximo lançamento
também ser cara?
23/10/2015