Circuitos Elétricos
Senoides e Fasores
Alessandro L. Koerich
Engenharia de Computação
Pontifícia Universidade Católica do Paraná (PUCPR)
Introdução
• Corrente contínua x corrente alternada.
– Ver War of Currentes
• Análise de circuitos onde a fonte de tensão ou corrente
varia no tempo.
• Em particular, nosso interesse é em fontes variantes no
tempo de forma senoidal.
• Uma senoide é um sinal que tem a forma de uma função
seno ou coseno.
Introdução
• Uma corrente senoidal é normalmente chamda de
corrente alternada (ca) (alternating current – ac).
• A corrente é revertida em intervalos de tempo regulares
e tem, alternadamente, valores positivos e negativos.
Senóides
• Considere a tensão senoidal
=
onde
– Vm = amplitude da senóide
– ω = frequência angular em radianos/s
– ωt = argumento da senóide
– A senóide se repete a cada T segundos, logo T é chamado de
período da senóide.
– Temos a relação:
2
=
Senóides
• Como v(t) se repete a cada T segundos:
• Uma função periódica é aquele que satisfaz
para todo t e para todos inteiros n.
• Vamos considerar agora uma expressão mais geral para
a senoide:
onde
é o argumento e
é a fase.
Senóides
• Considerando duas senóides:
1
2
ocorre primeiro tempo. Portanto 2 está na frente de
1 por ϕ ou 1 está atrasada de 2 por ϕ.
2
Senóides
• Se
• Se
≠ 0,
= 0,
1e
2estão
fora de fase.
1e 2estão em fase.
• Uma senoide pode ser expressa tanto na forma de seno e
cosseno. Podemos usar as seguintes identidades
trigonométricas:
±
=
cos ± cos ±
= cos cos ∓ sen • Com estas identidades…




± 180 = −
± 180 = −
± 90 = ±
± 90
=∓
Senóides
• Para adicionar duas senoides de mesma frequência:
onde
2
2
Fasores
• Senoides podem ser expressar em termos de fasores,
que são convenientes para trabalhar com funções seno
e cosseno.
• Fasor é um número complexo que representa a
amplitude e fase de uma senoide.
• Um número complexo z pode ser escrito na forma
retangular como:
onde
; x é a parte real de z; y é a parte
imaginária de z.
Fasores
• O número complexo z pode ser escrito na forma polar como:
= ⁄ =
onde r é a magnitude de z e ϕ é a fase de z. z pode ser
representado em três formas:
retangular:
= +
polar:
= ⁄
exponencial:
=
• Se conhecemos x e y, a relação entre a forma polar e
retangular é:
2+ 2
=
=
Fasores
• Se conhecemos r e ϕ, podemos obter x e y:
• Então, z pode ser escrito como:
Fasores
• Operações:
•
OBS: notar que = −
Fasores
• A idéia da representação por fasores é baseada na
identidade de Euler:
±
• O que mostra que podemos tratar
e
como as
. Podemos escrever:
partes real e imaginária de
• Dada uma senoide
expressá-la por:
, podemos
Fasores
ou
= Re(
)
então
= Re(
)
onde
=
•
=
⁄
V é portanto a representação fasorial da senoide v(t).
Fasores
• Suprimindo o fator tempo, transformamos a senoide do
dominio do tempo para o dominio do fasor:
• Note que fator
foi suprimido
e a frequencia não aparece no
fasor, pois é constante, porém a
resposta depende dela, por isso,
o domínio fasor é também
conhecido como domínio da
frequencia.
Fasores
Fasores
• Das equações anteriores temos:
= Re
=
+
então:
=−
+
=
= Re ω
•
+
= Re
Isso mostra que:
⟺ • Do mesmo modo:
⟺ + 90
Fasores
• As equações anteriores são úteis para encontrar a
solução em regime permanente, sem precisar conhecer
as condições iniciais das variáveis envolvidas.
• As diferenças entre v(t) e V são:
1.
2.
3.
•
v(t) é a representação instantânea ou no domínio do tempo,
enquanto V é a representação fasor ou no domínio da
frequencia.
v(t) é dependente do tempo, enquanto V não é.
v(t) é sempre real sem termo complexo, enquanto V é
geralmente complexo.
Atenção! A análise de fasores somente se aplica
quando a frequência é constante e é a mesma para dois
ou mais sinais senoidais.
Fasores e Elementos de Circuitos
• Transformar a relação tensão-corrente do domínio do
tempo para o domínio da frequência.
• Novamente, assumimos a convenção de sinais para os
elementos passivos.
• Para o resistor, assumindo que a corrente através dele é
, a tensão sobre ele será:
=
•
=
+
=
Mas a representação fasor da corrente é =
=
⁄
⁄ , então:
Fasores e Elementos de Circuitos
•
Relação tensão-corrente para o RESISTOR no domínio do tempo e
da frequência.
•
Diagrama de fasores para o RESISTOR:
Fasores e Elementos de Circuitos
• Para o indutor, assumindo que a corrente através dele é
, a tensão sobre ele será:
=
•
=−
+
=
+
+ 90o
Sendo a representação fasor:
=
•
(
)
=
⁄ + 90o
=
Mas a representação fasor da corrente é
então:
=
=
⁄
e
=
,
Fasores e Elementos de Circuitos
•
Relação tensão-corrente para o INDUTOR no domínio do tempo e
da frequência.
•
Diagrama de fasores para o INDUTOR:
Fasores e Elementos de Circuitos
• Para o capacitor, assumindo que a tensão sobre ele é
, a corrente sobre ele será:
=
•
Seguindo os mesmos passos anteriores, temos a representação
fasor:
=
⟹ =
Fasores e Elementos de Circuitos
•
Relação tensão-corrente para o CAPACITOR no domínio do tempo
e da frequência.
•
Diagrama de fasores para o CAPACITOR:
Fasores e Elementos de Circuitos
• Resumo das relações tensão-corrente:
Impedância e Admitância
•
A partir da relação tensão-corrente para os três elementos passivos:
=
=
=
temos:
= =
•
=
Podemos então obter a lei de Ohm na forma fasor para qualquer tipo de
elemento, como:
=
ou =
onde Z é uma quantidade dependente da frequencia conhecida como
impedância, medida em ohms (Ω).
Impedância e Admitância
•
A impedância Z de um circuito é a relação entre a tensão fasor V e
a corrente fasor I, medida em ohms (Ω).
•
Da tabela, temos que para
∞( → ∞,
= 0), assim:
=0(
= 0,
→ ∞) e para
→
Impedância e Admitância
•
Sendo uma quantidade complexa, a impedância pode ser expressa na
forma retangular:
= +
onde
•
= Re( ) é a resistência e
= Im( )é a reatância.
Observe que a reatância pode ser positiva (reatância indutiva) ou
negativa (reatância capacitiva), pois:
=
−
então:
= +
= −
•
(reatância indutiva – corrente atrasada em relação a tensão)
(reatância capacitiva – corrente adiantada em relação a tensão)
A impedância Z pode também ser escrita na forma polar:
=
⁄
Impedância e Admitância
onde:
=
⁄
=
+
+
=
e:
=
=
•
=
As vezes é conveniente utilizar o reciproco da impedância, chamada
de admitância.
Impedância e Admitância
•
A admitância Y é reciproca à impedância, medida em siemens (S).
=
•
1
e pode ser escrita:
=
onde
•
=
+
= Re( ) é a condutância e
= Im( )é a susceptância.
Relacionando Y e Z:
+
=
1
+
temos os termos real e imaginário:
=
+
= −
+
Leis de Kirchhoff no Domínio da
Frequência
•
Para analisar circuitos no domínio da frequência devemos expressar as
Leis de Kirchhoff no domínio da frequência:
+
•
+
Re(
)+
Se
=
+
+
) + ⋯+
cos(
+ …+
+
+
)+…+Re(
+ …+
)
)
]=0
≠ 0, então:
+ + …+
uu seja, a LTK se mantém para fasores.
=0
)=0
)=0
, então:
Re[(
Como
cos(
) + Re(
Re[(
•
=0
No regime permanente senoidal:
cos(
•
+ ⋯+
]=0
Leis de Kirchhoff no Domínio da
Frequência
•
Podemos adotar um procedimento similar para mostrar que a LCK
se mantém para fasores:
+
•
+ ⋯+
=0
Se I1, I2, …, In são a forma fasor das senoides i1, i2, …, in, então:
+
+ …+
que é a LCK no domínio da frequência.
=0
Combinação de Impedâncias
•
Em série:
=
•
+
+ …+
=0
1
1
1
Em paralelo:
=
=
+
+
+ ⋯+
+ …+
=0
Combinação de Impedâncias
•
Transformações Delta-Y e Y-Delta: