Análise Matemática II
(apontamentos)
2007–2008
Segundo semestre
Américo Bento
letos u
Março, Abril, Maio
omp
008 inc
2
I
I
e
s
i
Anál
os 2008
t
e
l
p
m
co
e Junho
s in2008
entode
pontam
a
engenharia das energias — (ene)
engenharia de reabilitação e acessibilidade humanas — (rea)
engenharia mecânica — (mec)
Índice
1 Funções reais de n variáveis reais
3
1.1 Derivada da composta (regra da cadeia) . . . . . . . . . .
3
1.2 Derivadas de ordem superior à primeira . . . . . . . . . . .
3
1.3 Diferenciabilidade e plano tangente ao gráfico em situações
do tipo f : A → R, A ⊆ R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4 Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.5 Derivada da composta e gradiente . . . . . . . . . . . . . .
5
1.6 Gradiente e plano tangente a uma superfı́cie de nı́vel . . .
7
1.6.1 Equação do plano tangente a uma superfı́cie de nı́vel
8
1.7 Derivada direccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
etos u
1.7.1 Interpretação geométrica da derivada direccional noe II 2008 incompl
nális
caso ϕ : A → R, com A ⊆ R2 . . . .om. pl.et.os .20.08. A. . .
8
inc
s
o
t
n
e
1.7.2 Derivada direccional, adeclive
8
pontam e taxa de variação . .
1.8 Polinómio de Taylor de ordem 2 . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.9 Extremos de funções reais . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.9.1 Extremos locais (ou relativos) . . . . . . . . . . . .
10
1.9.2 Extremos de funções em conjuntos limitados e fechados 14
1.9.3 Extremos condicionados e multiplicadores de Lagrange 14
2 Cálculo integral em R2RRe em R3
2.1 Integrais duplos · · · Q ϕ dA . . . . . . . . . . . . . . . . .
RRR
2.2 Integrais triplos · · · · · · · · ·
Ω ϕ dV . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Mudança de coordenadas e integral triplo . . . . . .
20
20
20
23
3 Cálculo vectorial
3.1 Comprimento de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Integral de um campo escalar sobre uma curva . . . . . .
3.3 Integral de um campo vectorial sobre uma curva . . . . .
3.4 Parametrizações de superfı́cies . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Superfı́cies, parametrizações e vectores tangentes
31
31
33
34
35
37
1
.
.
.
.
.
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . . 2
3.4.2
3.4.3
Valor numérico da área de uma superfı́cie . . . . . .
Integral de um campo escalar sobre uma superfı́cie
38
41
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mentos
aponta
Capı́tulo 1
Funções reais de n variáveis reais
1.1
Derivada da composta (regra da cadeia)
... inserir grafo para o esquema da composta...
1.2
Derivadas de ordem superior à primeira
Sejam: A ⊆ Rn um aberto, X0 ∈ A e p ∈ N. Diz-se que f : A → R é de
classe C p em X0 se as derivadas parciais de f em X0 de ordens 1, 2, .., p
letos u
incomp
8
0
0
2
existirem e forem contı́nuas. No caso de existir derivada parcial denáqualquer
lise II
08 A
0
2
∞
s
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ordem, diz-se a função é de classe C .
comple
ntos in
e
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a
t
n
po
a
Notações:
2
∂ f
∂ ∂f
=
;
∂x2
∂x ∂x
∂ 2f
∂ ∂f
=
.
∂x∂y
∂x ∂y
Alguns exemplos...
Teorema 1 (parciais cruzadas) Seja A um aberto em Rn e X0 ∈ A. Se
f : A → R for de classe C 2 em X0 então as derivadas parciais cruzadas de
segunda ordem em X0 coincidem, isto é,
∂ 2f
∂ 2f
(X0 ) =
(X0 ),
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
3
i, j = 1, 2, ..., n.
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . . 4
1.3
Diferenciabilidade e plano tangente ao gráfico em
situações do tipo f : A → R, A ⊆ R2
Seja A ⊆ R2 um aberto e f : A → R diferenciável em X0 = (x0 , y0 ). Assim,
kf (X) − f (X0 ) − (Df )(X0 )(X − X0 )k
= 0.
X→X0
kX − X0 k
lim
Consequentemente, numa vizinhança de X0 , tem-se
f (X) ' f (X0 ) + (Df )(X0 )(X − X0 ),
isto é, numa vizinhança de X0 , a expressão
f (X0 ) + (Df )(X0 )(X − X0 )
representa f (X) com um certo erro. Em termos gráficos, isto significa que
que o gráfico Gf — o gráfico da função f — numa vizinhança do ponto
(X0 , f (X0 )) se confunde com o gráfico de função
L(X) := f (X0 ) + (Df )(X0 )(X − X0 ),
letos u
omp
isto é, o gráfico da função L é tangente ao gráfico Gf no ponto (X0 , fse(X
008 inc
02)).
I
I
i
Anál
Ora, L(X) é linear em X. Assim,
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mentos
aponta
in
z = f (X0 ) + (Df )(X0 )(X − X0 )
(1.1)
é uma equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (X0 , f (X0 )) ≡
(x0 .y0 , f (x0 , y0 )).
Exemplos... com funções cujas variáveis são representadas por x, z e por
y, z...
1.4
Gradiente
Sejam A ⊆ Rn , e1 , e2 , ..., en os vectores da base canónica do espaço vectorial
real Rn e f uma função real de n variáveis reais com domı́nio A.
Gradiente de f num ponto X = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ A é o vector — denotado por ∇f (X) — cujas componentes segundo e1 , e2 , ..., en são as derivadas parciais de f em ordem a x1 , x2 , ..., xn , respectivamente, isto é,
∂f
∂f
∂f
∇f (X) =
(X) e1 +
(X) e2 + · · · +
(X) en .
∂x1
∂x2
∂xn
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . . 5
Notemos que o vector ∇f é um vector do espaço vectorial real Rn .
Assim, admite a representação matricial com a forma


∂f
(X)

 ∂x1



 ∂f


(X)

 ∂x2
∇f (X) = 



.
..





 ∂f
(X)
∂xn
(n×1)
Devemos distinguir esta notação da notação matricial para a derivada de
f , a recordar:
h
i
∂f
∂f
∂f
(Df )(X) = ∂x1 (X) ∂x2 (X) · · · ∂xn (X)
.
(1×n)
Proposição 2 Sejam B ⊆ R2 um aberto e f : B → R uma função diferenciável em X0 = (x0 , y0 ) ∈ B.
O plano tangente ao gráfico de f no ponto (X0 , f (X0 )) tem equação
letos u
−−→
incomp
8
0
0
2
II
z = f (X0 ) + ∇f (X0 ) · X0 X.
Análise
08
letos 20
incomp
mentos
queaposentaescreveu
no
Demonstração. Tendo presente o
tópico precedente,
basta notar que se tem,
h
i x − x 0
∂f
∂f
[(Df )(X0 )] (X − X0 ) =
∂x (X0 ) ∂y (X0 )
y − y0
∂f
∂f
(X0 ) (x − x0 ) +
(X0 ) (y − y0 )
=
∂x
∂y
∂f
∂f
=
(X0 ) i +
(X0 ) j · [(x − x0 )i + (y − y0 )j]
∂x
∂y
−−→
= ∇f (X0 ) · X0 X.
1.5
Derivada da composta e gradiente
A derivada da composta de uma função real de n variáveis com uma função
n-vectorial de uma só variável pode ser expressa pelo produto interno entre
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . . 6
o gradiente da primeira e o vector-derivada da segunda. Explicitemos:
consideremos o esquema
R −→
R3
−→
R
t 7→ (x(t), y(t), z(t)) 7→ f (X(t))
|
{z
}
X(t)
A função f depende, portanto, da variável t por intermédio das variáveis
x, y, z. Tal dependência pode salientar-se com recurso a uma árvore-dedependências. No caso, assume a forma
x
t
f
y
t
z
t
De acordo com o teorema da derivada da função composta, a derivada
total de f em ordem a t é,
df
= D(f ◦ X)(t) = [Df (X(t))] DX(t)
dt

=
h
∂f
∂x (X(t))
∂f
∂y (X(t))

dx
i  dt 
letos u
incomp
8
0
∂f
0
dy
2


lise II
∂z (X(t))  dt 
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0
2
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comple
dz
ntos in
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a
t
n
dt
apo
∂f
dx ∂f
dy ∂f
dz
(X(t)) +
(X(t)) +
(X(t))
∂x
dt
∂y
dt ∂z
dt
∂f
dy
dz
∂f
∂f
dx
=
(X(t)) i +
(X(t)) j +
(X(t)) k ·
i+ j+ k
∂x
∂y
∂z
dt
dt
dt
0
= ∇f (X(t)) · X (t).
=
Assim, podemos escrever a
Proposição 3 Sejam A ⊂ R e B ⊂ R3 conjuntos abertos.
Se
X : A → B, t →
7 X(t) := (x(t), y(t), z(t)),
f : B → R,
X 7→ f (X)
forem funções diferenciáveis em t e X(t), respectivamente, então a derivada da função f ◦ X no ponto t é ∇f (X(t)) · X 0 (t), isto é,
[D(f ◦ X)](t) = ∇f (X(t)) · X 0 (t).
Inserir a Proposição relativa ao caso em que B ⊆ Rn ...
(1.2)
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . . 7
1.6
Gradiente e plano tangente a uma superfı́cie de
nı́vel
Seja F : R3 → R uma função real de três variáveis reais e de classe C 1 .
Consideremos a superfı́cie S em R3 caracterizada pelos pontos da forma
(x, y, z) tais que F (x, y, z) = c, isto é,
S = {(x, y, z) ∈ R3 : F (x, y, z) = c},
onde c é uma constante real. Esta superfı́cie é uma superfı́cie de nı́vel
constante c para F .
Seja A ⊂ R e consideremos uma curva parametrizada por
X : A → R3 ,
t 7→ X(t) = (x(t), y(t), z(t))
contida em S, isto é, verifica-se F (X(t)) = c, ou ainda, verifica-se
F (x(t), y(t), z(t)) = c.
(1.3)
Fixemos t0 ∈ A. Assim, X(t0 ) ∈ S, isto é, X(t0 ) é um ponto de S. Nestas
condições,
que relação existe entre os vectores ∇F (X(t0 )) e X 0 (t0 )?
Temos:
letos
incomp
8
0
0
2
lise II
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0
2
s
o
t
ple
s incom
amento
nt
t 7→ (x(t), y(t), z(t)) 7→ F (x(t), y(t),
= F (X(t)) = (F ◦ X)(t).
apoz(t))
Da relação (1.3) temos:
dF
= 0.
dt
Por outro lado, tendo presente a Proposição 3, temos
dF
= ∇f (X(t)) · X 0 (t).
dt
Decorre, portanto, de (1.4) e (1.5) que
∇f (X(t)) · X 0 (t) = 0,
(1.4)
(1.5)
(1.6)
isto é, o vector gradiente da função F em X(t) é ortogonal ao vector derivada X 0 (t). Uma vez que X(t) é uma curva arbitrária — podendo descrever uma qualquer trajectória que passe no ponto X(t0 ) —, decorre que o
vector ∇F (X(t0 )) é ortogonal à superfı́cie S no ponto X(t0 ). Consequentemente, o vector ∇F (X(t0 )) — se diferente de zero — pode ser tomado para
vector-director do plano tangente à superfı́cie S no ponto X(t 0 ). Temos,
portanto, a
u
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . . 8
Proposição 4 Seja F : R3 → R. Sendo F (x, y, z) = c uma equação de
uma superfı́cie S e se F é diferenciável numa vizinhança de X(t 0 ) ∈ S,
então o vector ∇F (X(t0 )) é ortogonal à superfı́cie S no ponto X(t0 ).
1.6.1
Equação do plano tangente a uma superfı́cie de nı́vel
Seja c uma constante real. Conhecido ∇F (P ) 6= 0, onde P é um ponto da
superfı́cie
S = {(x, y, z) ∈ R3 : F (x, y, z) = c},
se considerarmos X = (x, y, z) como um ponto arbitrário do plano tan−−→
gente, decorre que os vectores P X e ∇F (P ) são ortogonais. Portanto,
−−→
∇F (P ) · P X = 0.
Esta equação nas indeterminadas x, y, z descreve, analiticamente, o plano
tangente a S no ponto P . Temos, por conseguinte,
Proposição 5 Seja S = {(x, y, z) ∈ R3 : F (x, y, z) = c} uma superfı́cie
de nı́vel para F . Dado P ∈ S, se F for de classe C 1 numa vizinhança de
P e se ∇F (P ) 6= 0 então uma equação do plano tangente a S em P é
letos u
−−→
incomp
8
0
0
2
∇F (P ) · P X = 0,
lise II
08 Aná
onde X = (x, y, z) é um ponto
1.7
letos 20
comp
ntos in
e
m
arbitrário
do
plano.
a
t
n
apo
Derivada direccional
1.7.1
Interpretação geométrica da derivada direccional no caso
ϕ : A → R, com A ⊆ R2
1.7.2
Derivada direccional, declive e taxa de variação
1.8
Polinómio de Taylor de ordem 2
Seja X0 ∈ A ⊆ Rn , onde A é um aberto, e
ϕ : A → R,
X ≡ (x1 , x2 , ..., xn ) 7→ ϕ(X),
de classe C 2 numa vizinhança de X0 . A matriz hessiana de ϕ no ponto X0
— denotada por H[ϕ; X0 ] — é a matriz cuja coluna j é constituı́da pelas
componentes do vector
∂ϕ
∇
(X0 ).
∂xj
matriz
hessiana
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . . 9
Como exemplo, seja ϕ definida em R2 tal que ϕ(x, y, z) = xy arccos z.
Temos
h
i
−xy
√
y
arccos
z
x
arccos
z
Dϕ(X) =
.
1−z 2
Portanto,

0
arccos z

0
H[ϕ; X] =  arccos z
√ −y
1−z 2
√−x
1−z 2
√ −y
1−z 2
√−x
1−z 2
−xyz
√
(1−z 2 )3


.
Seja X0 ∈ A ⊆ Rn , com A aberto, e ϕ : A → R uma função de classe
C 2 numa vizinhança de X0 . Define-se polinómio de Taylor de ordem 2
para ϕ em torno do ponto X0 — e denota-se por P T aylor[ϕ; X0 ; 2] — pela
expressão designatória
1
ϕ(X0 ) + Dϕ(X0 )(X − X0 ) + (X − X0 )T H[ϕ; X0 ](X − X0 ).
2
polinómio
de
Taylor
Proposição 6 Seja A ∈ Rn um aberto. Se ϕ : A → R é de classe C 3
numa vizinhança U de X0 ∈ A, então P T aylor[ϕ; X0 ; 2] aproxima ϕ(X)
na vizinhança U , isto é,
Corolário 7 Se
ϕ(X) − ϕ(X0 ) '
1.9
letos u
omp
008 inc
2
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ϕ(X) ' P T aylor[ϕ; X0 ; 2].
e
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os 2008
t
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os inco
Dϕ(X0 ) = 0 então apontament
1
(X − X0 )T H[ϕ; X0 ](X − X0 ) .
{z
}
2|
(∗)
Extremos de funções reais
Note-se que se (∗) > 0 numa vizinhança U de X0 então ϕ(X) − ϕ(X0 ) > 0,
ou seja,
ϕ(X) > ϕ(X0 )
e, por outro lado, se ocorrer (∗) 6 0 numa vizinhança U de X0 então
ϕ(X) 6 ϕ(X0 ).
Seja X0 ∈ A ∈ Rn , com A aberto, e ϕ : A → R uma função diferenciável
em X0 . Diremos que X0 é ponto estacionário para ϕ se Dϕ(X0 ) = 0.
Como exemplo, calcule os pontos estacionários da função cuja expressão
designatória é ϕ(x, y, z) = x2 + ln(2 + sin2 y + z 2 ).
ponto
estacionário
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . 10
1.9.1
Extremos locais (ou relativos)
Sejam: A ⊆ Rn ; X0 ∈ A e ϕ : A → R.
(a) Diremos que ϕ(X0 ) é máximo local (e X0 o respectivo maximizante) se
existir uma vizinhança U de X0 tal que
∀X ∈ (U ∩ A),
ϕ(X) 6 ϕ(X0 ).
(b) Diremos que ϕ(X0 ) é mı́nimo local (e X0 o respectivo minimizante) se
existir uma vizinhança U de X0 tal que
∀X ∈ (U ∩ A),
máximo
local
maximizante
local
mı́nimo
local
minimizante
local
ϕ(X) > ϕ(X0 ).
Teorema 8 Sejam A ⊆ Rn um aberto e ϕ : A → R diferenciável em
X0 ∈ A. Se ϕ(X0 ) e um extremo local para ϕ então X0 é ponto estacionário
para ϕ.
Sendo A um conjunto, denotaremos por ∂A a sua fronteira. Seja ϕ :
A → R uma função contı́nua. Diremos que X0 é ponto crı́tico para ϕ se ponto
crı́tico
uma das asserções — (a) ou (b) — for verdadeira:
letos u
incomp
8
(a) X0 é ponto interior de A e X0 é ponto estacionário para ϕ ou a derivada
0
0
2
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08 Aná
0
2
s
o
de ϕ em X0 não existe;
t
comple
ntos in
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a
t
n
(b) X0 é ponto fronteiro de A e X0 aépoponto estacionário para ϕ|∂ ou a
derivada de ϕ|∂A em X0 não existe.
Dada a função ϕ : A → R, A ⊆ Rn aberto, diremos que
(X0 , ϕ(X0 ))
é um ponto de sela para ϕ se X0 é ponto estacionário para ϕ mas ϕ(X0 ) não
é extremo local para ϕ. Como exemplo, mostrar que o ponto (0, 0, ϕ(0, 0))
é um ponto de sela para a função cuja expressão designatória é ϕ(x, y) =
x2 − y 2 .
Consideremos X0 ∈ A ⊆ Rn , com A aberto, e ϕ : A → R de classe
C 3 . Ainda, suponhamos que Dϕ(X0 )0 e que H[ϕ; X0 ] 6= 0. Temos, pelo
Corolário 7,
1
ϕ(X) − ϕ(X0 ) ' (X − X0 )T H[ϕ; X0 ](X − X0 )
2
numa certa vizinhança U de X0 .
ponto
de
sela
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . 11
Se (X − X0 )T H[ϕ; X0 ](X − X0 ) tiver sinal invariante em U então ϕ(X0 )
é um extremo local para ϕ. De facto, se ocorrer
(X − X0 )T H[ϕ; X0 ](X − X0 ) > 0
em cada X ∈ U , então ϕ(X) − ϕ(X0 ) > 0 e, portanto, ϕ(X) > ϕ(X0 );
assim, ϕ(X0 ) é mı́nimo local. Por outro lado, se
(X − X0 )T H[ϕ; X0 ](X − X0 ) 6 0,
então ϕ(X) 6 ϕ(X0 ), ou seja, ϕ(X0 ) é máximo local.
Se (X − X0 )T H[ϕ; X0 ](X − X0 ) não tiver sinal invariante numa vizinhança U de X0 então (X0 , ϕ(X0 )) é ponto de sela para ϕ.
Notemos: dizer que (X − X0 )T H[ϕ; X0 ](X − X0 ) não tem sinal invariante em nenhuma vizinhança de X0 significa que há dois (pelo menos)
subconjuntos B1 , B2 ⊂ A tais que X0 ∈ B1 e X0 ∈ B2 de tal modo que se
verifica
ϕ(X) − ϕ(X0 ) > 0, X ∈ B1 \ {X0 }
ϕ(X) − ϕ(X0 ) < 0, X ∈ B2 \ {X0 }
letos u
A questão é, portanto, saber
omp
008 inc
2
I
I
e
s
i
Anál
os 2008
t
e
l
p
m
inco
em que
circunstâncias
é que
mentos
aponta
(X − X0 )T H[ϕ; X0 ](X − X0 )
tem sinal invariante ou não-invariante!
Seja



H=

h11 h12
h21 h22
..
..
.
.
hn1 hn2
· · · h1n
· · · h2n
. . . ...
· · · hnn



.

Denotemos por ∆p , p = 1, 2, ..., n, o determinante da submatriz de H
constituı́da pelas entradas das p primeiras linhas e das p primeiras colunas;
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . 12
explicitando:
∆1 = det[h11 ] = h11 ;
h11 h12
∆2 = det
;
h21 h22


h11 h12 h13
∆3 = det  h21 h22 h23 
h31 h32 h33
..
.
∆n = det H.
Teorema 9 Sejam: A ⊆ Rn um aberto; ϕ : A → R de classe C 2 em
X0 ∈ A; ∆p o determinante da submatriz de H[ϕ; X0 ] constituı́da pelas
entradas das p primeiras linhas e p primeiras colunas. Temos:
1. se ∆p > 0, para cada p ∈ {1, 2, ..., n}, então
(X − X0 )T H[ϕ; X0 ](X − X0 ) > 0,
sempre que X − X0 6= 0;
2. se ∆2p−1 < 0 e ∆2p > 0,
letos
incomp
8
0
0
2
álise II
para cada p ∈ {1, 2, ..., n},letoentão
008 An
2
s
mp
tos inco
n
e
m
a
t
T
apon
(X − X0 ) H[ϕ; X0 ](X − X0 ) < 0,
sempre que X − X0 6= 0.
Com base neste teorema e tendo presente a discussão que o precede,
podemos escrever o seguinte
Teorema 10 Sejam: A ⊆ Rn um aberto; ϕ : A → R de classe C 2 em
X0 ∈ A; ∆p o determinante da submatriz de H[ϕ; X0 ] constituı́da pelas
entradas das p primeiras linhas e p primeiras colunas. Temos:
1. se ∆p > 0, para cada p ∈ {1, 2, ..., n}, então ϕ(X0 ) é mı́nimo local
(e X0 o respectivo minimizante local);
2. se ∆2p−1 < 0 e ∆2p > 0, para cada p ∈ {1, 2, ..., n}, então ϕ(X0 ) é
máximo local
(e X0 o respectivo maximizante local).
O teorema que a seguir apresentamos estabelece uma condição suficiente
para identificarmos um ponto de sela.
u
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . 13
Teorema 11 Sejam: A ⊆ Rn um aberto; ϕ : A → R de classe C 2 no ponto
estacionário X0 ∈ A. Temos:
1. se todos os valores próprios da matriz H[ϕ; X0 ] são positivos, então
ϕ(X0 ) é mı́nimo local (e X0 o respectivo minimizante local);
2. se todos os valores próprios da matriz H[ϕ; X0 ] são negativos, então
ϕ(X0 ) é máximo local (e X0 o respectivo maximizante local);
3. se a matriz H[ϕ; X0 ] tiver dois valores próprios de sinal contrário,
então (X0 , ϕ(X0 )) é um ponto de sela.
Como exemplo para este teorema: consideremos a função cuja expressão
designatória é
ϕ(x, y) = arctan(xy).
i
h
y
x
Temos: Dϕ(X) = 1+(xy)2 1+(xy)2 . Portanto, o único ponto estacionário
é (0, 0). Ora, a matriz hessiana é
#
" −2xy3
1−x2 y 2
H[ϕ; X] =
2
(1+(xy)2 )
1−x2 y 2
2
(1+(xy)2 )
Portanto,
2
(1+(xy)2 )
−2yx3
2
(1+(xy)2 )
letos
incomp
8
0
0
2
lise II
08 Aná
0
2
s
o
t
ple
s incom
amento
apont0
H[ϕ; (0, 0)] =
.
1
1 0
.
Os valores próprios desta matriz são os zeros do polinómio caracterı́stico
det (H[ϕ; (0, 0)] − λI), isto é, são as raı́zes da equação caracterı́stica
0 1
1 0
det
−λ
= 0.
1 0
0 1
Ora,
det
0 1
1 0
−λ
1 0
0 1
= det
−λ 1
1 −λ
= λ2 − 1.
Os zeros deste polinómio são λ1 = −1 e λ2 = 1. São valores com sinal
simétrico. Pelo teorema precedente, o ponto (0, 0) não é extremante para
ϕ; o ponto (0, 0, ϕ(0, 0)) é ponto de sela para ϕ.
u
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . 14
1.9.2
Extremos de funções em conjuntos limitados e fechados
Impõe-se, desde já, o teorema de Weirstrass, a saber:
Teorema 12 (Weirstrass) Seja B ⊆ Rn um conjunto limitado e fechado.
Se ϕ : B → R é contı́nua, então existem X0 e X1 em B tais que ϕ(X0 ) e
ϕ(X1 ) são extremos absolutos de ϕ em B.
Mostrar que o recı́proco do teorema precedente não é verdadeiro. Use a
função definida por
2
x + y2,
x2 + y 2 < 1
.
f (x, y) =
4 − x2 − y 2 , 1 6 x2 + y 2 6 2
Teorema 13 Seja B ⊆ Rn um conjunto limitado e fechado. Se ϕ : B → R
é contı́nua e ϕ(X0) é extremo para ϕ então X0 é ponto crı́tico para ϕ.
O teorema precedente diz-nos que devemos procurar os extremantes da
função no universo dos seus pontos crı́ticos. Assim, o primeiro passo será
identificar o referido universo.
letos
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0
0
2
lise II
08 Aná
0
2
s
o
t
comple
R 2 : x2 +
ynt2os6in1}
e
m
a
t
apon
Exemplo 14 Identificar os pontos do conjunto
B = {(x, y) ∈
onde a função definida em B e cuja expressão designatória é
ϕ(x, y) = x2 + y 2 − x − y + 1
tem extremos.
Para uma resposta. (1)...
1.9.3
Extremos condicionados e multiplicadores de Lagrange
Consideremos o seguinte problema: identificar três números positivos de
produto máximo e cuja soma é 100.
Denotando os números por x, y, z, o problema pode ser reescrito na
forma:
maximize a função f : (R+ )3 → R cuja expressão designatória é
f (x, y, z) = xyz no conjunto dos x, y, z tais que x + y + z = 100.
u
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . 15
Este problema é, pois, um problema de extremos condicionados. Trata-se
de encontrar pontos (x, y, z) que maximizam uma função e que estão sujeitos a uma outra condição. Esta condição, por vezes, é dita de condição
de vı́nculo por vincular os pontos a um conjunto.
O teorema que se segue diz-nos como devemos abordar este tipo de
problemas.
Teorema 15 (Lagrange) Sejam: A um aberto de Rn , ϕ, ψ : A → R
funções de classe C 1 e S um conjunto de nı́vel constante c relativo a ψ,
isto é,
S = {X ∈ A : ψ(X) = c}.
Tem-se: se X0 ∈ S é tal que ∇ψ(X0 ) 6= 0 e ϕ|S tiver um extremo em X0
então existe um real α tal que
∇ϕ(X0 ) = α∇ψ(X0 ).
(1.7)
Notemos que a relação (1.7) significa que os vectores ∇ϕ(X0 ), ∇ψ(X0 )
são linearmente dependentes. Em termos operacionais, devemos procurar
os pontos X0 ∈ S onde, eventualmente, ϕ|S é extremo local com o sistema
letos u
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0
0
2
lise II
∇ϕ(X) = α∇ψ(X)
08 Aná
0
2
s
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t
. comple
X∈S
ntos in
e
m
a
t
n
o
ap
Como a condição X ∈ S equivale à condição ψ(X) = c, o sistema que
devemos considerar para cálculos é
∇ϕ(X) = α∇ψ(X)
.
ψ(X) = c
Exemplo 16 Seja ϕ : R2 → R tal que ϕ(x, y) = x2 + y 2 − x − y + 1. (i)
Justifiquemos que ϕ admite extremos no conjunto
S = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1}
e (ii) identifiquemos os pontos onde ocorrem.
Quanto à questão (i): o conjunto {1} é um conjunto fechado; a função
f : R2 → R tal que f (x, y) = x2 + y 2 é uma função contı́nua; logo, o
conjunto S ⊂ R2 é a pré-imagem de um conjunto fechado por intermédio
de uma função contı́nua. Consequentemente, S é fechado.
Recordemos que é possı́vel justificar que S é fechado com a seguinte frase:
S contém a sua
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . 16
fronteira; logo, S é fechado. (Na verdade, S é igual à sua fronteira, uma vez que o interior de
S é o vazio.)
Sobre a questão (ii): de acordo com o que escrevemos em resposta a (i),
o conjunto S é o conjunto solução da condição f (x, y) = 1. Assim, e de
acordo com o teorema 15, os candidatos a extremantes da função ϕ|S são
as soluções do sistema
∇ϕ(x, y) = α∇f (x, y)
.
(1.8)
f (x, y) = 1
Ora,
∂ϕ
∂ϕ
i+
j
∂x
∂y
= (2x − 1)i + (2y − 1)j.
∇ϕ(x, y) =
e
∂f
∂f
i+
j
∂x
∂y
= 2xi + 2yj.
∇f (x, y) =
Por conseguinte, o sistema (1.8) é equivalente ao sistema
letos u
incomp
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0
0
2
lise II
08 Aná
0
2
(2x − 1)i + (2y − 1)j = α(2xi + 2yj)
s
o
t
compl.e
(1.9)
ntos in
e
m
a
x2 + y 2 = 1
t
n
apo
Deste último resulta,

1

 x = 2(α−1)
1
y = 2(α−1)
.

 x2 + y 2 = 1
(1.10)
Usando os valores de x e de y, em função de α, na terceira equação do
sistema, encontraremos dois valores para α. Estes dois valores permitem
identificar dois pontos (x0 , y0 ) e (x1 , y1 ) do conjunto S. Um deste pontos é
maximizante e o outro é minimizante para a restrição de ϕ ao conjunto S,
isto é, para a função ϕ|S .
Exercı́cio 17 Seja ϕ : R2 → R tal que ϕ(x, y) = x2 − y 2 . Justifique que ϕ
admite extremos absolutos no conjunto
B = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 6 1}
e identifique os pontos onde ocorrem.
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . 17
*****
Vimos como resolver questões sobre extremos condicionados a uma
condição de vı́nculo. Surge, naturalmente, a pergunta: e se os pontos
que procuramos estiverem vinculados a duas condições? Como proceder?
Explicitando, como resolver um problema com a forma:
Identificar os pontos (x, y, z) mais próximos e os mais afastados
da origem que pertencem ao plano de equação x − y + z = 1 e ao
cilindro caracterizado por x2 + y 2 = 1.
Aqui, os pontos (x, y, z) estão vinculados pelas duas condições
x − y + z = 1,
x2 + y 2 = 1.
Temos, portanto, duas condições de vı́nculo que determinam outros tantos
conjuntos, a saber:
B1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x − y + z = 1},
B2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 1}.
pletos u
m
08 inco
A função das indeterminadas x, y, z é a função distância de umálponto
I 20à
I
e
s
i
An
origem. A sua expressão designatória é, portanto,incompletos 2008
s
papontamento
ϕ(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 .
Com estas considerações, o problema pode ser reescrito na forma:
identificar os pontos (x, y, z) que extremam a função
p
ϕ(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2
e que estão sujeitos às condições x − y + z = 1, x2 + y 2 = 1 ou, de outro modo,
identificar os pontos (x,p
y, z) do conjunto B1 ∩ B2 que extremam a função ϕ(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 . Será que este problema tem solução? Isto é, será que ϕ tem máximo e
mı́nimo no conjunto B1 ∩ B2 ? Se o conjunto B1 ∩ B2 e a função ϕ estiverem
nas condições do teorema 12, podemos afirmar que o problema tem solução.
Sabendo, à priori, se o problema tem solução, ficamos com mais ferramentas para controlar os
cálculos...)
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . 18
(1) — Ora, tanto B1 como B2 são conjuntos fechados, de acordo com
o que se escreveu sobre (i) no Exemplo 16. Logo, o conjunto B1 ∩ B2 é
fechado.
(2) — Agora, será que B1 ∩ B2 é limitado? O cilindro B2 é paralelo ao
eixo Oz; tem Oz como eixo de simetria. E o plano B1 não é paralelo ao
eixo Oz, uma vez que o vector i − j + k — vector director do plano B1 —
não é ortogonal ao vector k. Consequentemente, o conjunto B1 ∩ B2 é uma
linha fechada — uma elipse — e, portanto, existe M > 0 que satisfaz
∀ ∈ B 1 ∩ B2 ,
kXk < M,
isto é, o conjunto B1 ∩ B2 é limitado.
p
(3) — Quanto à continuidade de ϕ: a função (·) é contı́nua em R+
0;
+ 3
qualquer função polinomial é contı́nua; portanto, ϕ é contı́nua em (R 0 ) .
3
Uma vez que B1 ∩ B2 é um subconjunto conexo de (R+
0 ) , decorre que ϕ é
contı́nua em B1 ∩ B2 .
(4) — De (1), (2) e (3), concluı́mos que o problema tem solução!
Bom, mostrámos que o problema tem solução... mas como encontrá-la?
O teorema que se segue diz-nos como proceder.
Teorema 18
funções de classe C 1 e S1 , S2 , ..., Sp conjuntos de nı́vel constante c1 , c2 , ..., cp
relativos a ψ1 , ψ2 , ..., ψp , respectivamente, isto é,
S1 = {X ∈ A : ψ1 (X) = c1 }
S2 = {X ∈ A : ψ2 (X) = c2 }
..
.
Sp = {X ∈ A : ψp (X) = cp }
Se X0 ∈ S =
letos u
omp
008 inc
2
I
I
n
e
s
i
(Lagrange) Sejam: A um aberto de R , s 2008 Anál
leto
incomp
s
o
t
n
e
am
ϕ, ψ1 , ψ2 , ..., ψappo:ntA
→R
p
\
i=1
Si é tal que os vectores ∇ψ1 (X0 ), ∇ψ2 (X0 ), ..., ∇ψp (X0 )
são linearmente independentes e a restrição de ϕ ao conjunto S, ϕ |S , tem
um extremo em X0 então existem escalares reais β1 , β2 , ..., βp tais que
∇ϕ(X0 ) = β1 ∇ψ1 (X0 ) + β2 ∇ψ2 (X0 ) + · · · + βp ∇ψp (X0 ). (1.11)
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . 19
Em termos operacionais, o sistema a resolver para encontrar os candidatos a extremantes é, portanto,


∇ϕ(X0 ) = β1 ∇ψ1 (X0 ) + β2 ∇ψ2 (X0 ) + · · · + βp ∇ψp (X0 )




 ψ1 (X) = c1
ψ2 (X) = c2
(1.12)

.

..



 ψ (X) = c
p
p
*****
letos u
omp
008 inc
2
I
I
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s
i
Anál
os 2008
t
e
l
p
m
inco
mentos
aponta
Capı́tulo 2
Cálculo integral em R2 e em R3
Um pré-requisito fundamental para os assuntos que aqui vamos tratar é o
cálculo diferencial e integral de uma variável. Assim, a noção de primitiva
de uma função real de variável real e os métodos para o seu cálculo são
ferramentas basilares para prosseguirmos na ampliação do edifı́cio.
O Cálculo Integral de uma variávelR assenta na integração sobre um
b
segmento de recta. Expressões do tipo a f (x)dx são a campaı́nha que nos
remete para tal.
Aqui, trataremos
RRa integração sobre uma região bidimensional — cuja
letos u
incomp
expressão chave é Q g(x, y)dA — e a integração sobre uma região tridi8
0
0
2
RRR
lise II
08 An.á
0
2
s
y,
z)dV
mensional, a qual nos traz expressões da forma coΩmh(x,
o
t
ple
entos in
apontam
RR
2.1
Integrais duplos · · ·
2.2
Integrais triplos · · · · · · · · ·
Q ϕ dA
RRR
Ω ϕ dV
Seja Ω = [a, b] × [c, d] × [e, f ]. Consideremos
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b;
c = y0 < y1 < y2 < · · · < ym = d;
e = z0 < z1 < z2 < · · · < zp = f.
A partir destas relações, construimos uma partição do conjunto Ω, a saber:
P(Ω) = {Ωijl : i = 1, ..., n; j = 1, ..., m; l = 1, ..., p},
onde Ωijl = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] × [zl−1 , zl ].
Considerando ∆xi = (xi − xi−1 ), a diâmetro da partição é
δ = max{∆xi ∆yj ∆zl : i = 1, ..., n; j = 1, ..., m; l = 1, ..., p}.
20
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . 21
Definição 19 Seja B ⊆ R3 tal que Ω ⊆ B. Diz-se que ϕ : B → R é
integrável em Ω se existir o limite
XXX
ϕ(xi , yj , zl )∆xi ∆yj ∆zl ,
(xi , yj , zl ) ∈ Ωijl .
(2.1)
lim
δ→0
Quando o limite em (2.1) existe, dizemos que existe o integral triplo de
ϕ sobre a região Ω e usa-se o sı́mbolo
ZZZ
ϕdV
Ω
no lugar da expressão em (2.1).
Como consequência imediata de (2.1), sePϕ(x,
y, z) = 1 em cada ponto
PP
(x, y, z) do conjunto Ω, a expressão limδ→0
∆xi ∆yj ∆zl representa
o valor numérico do volume de Ω. Consequentemente, o volume de Ω pode
ser representado pelo integral triplo
ZZZ
1 dV.
Ω
volume
e
integral
triplo
Teorema 20 Seja Ω = [a, b] × [c, d] × [e, f ] ⊆ B ⊆ R3 . Se ϕ : B → R é
letos u
incomp
8
0
0
2
II
contı́nua em Ω então ϕ é integrável em Ω.
Análise
O teorema que se segue
de um integral triplo.
008
pletos 2
m
o
c
n
i
mentos
apresenta-nos
apontaum modo de abordar
o cálculo
Teorema 21 Sejam Ω = [a, b] × [c, d] × [e, f ] ⊆ B ⊆ R3 e ϕ : B → R
contı́nua, com expressão designatória ϕ(x, y, z).
Se, para cada x ∈ [a, b], existir
ZZ
ϕ(x, y, z)dA, (y, z) ∈ U = [c, d] × [e, f ],
U
então existe
ϕ(x,
y,
z)dA
dx e tem-se
U
ZZZ
Z b Z Z
ϕ dV =
ϕ(x, y, z)dA dx.
R b RR
a
Ω
a
U
O integral triplo sobre conjuntos que não são representáveis na forma
[a, b] × [c, d] × [e, f ] caracteriza-se de modo semelhante ao usado para os
integrais duplos.
Regiões elementares 3D do tipo R3Dxy . Um conjunto do tipo
R3Dxy
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . 22
{(x, y, z) ∈ R3 : a 6 x 6 b ∧ y1 (x) 6 y 6 y2 (x) ∧ z1 (x, y) 6 z 6 z2 (x, y)},
(2.2)
onde y1 , y2 são funções contı́nuas no intervalo [a, b] e z1 , z2 são funções
contı́nuas no conjunto
{(x, y) ∈ R2 : a 6 x 6 b ∧ y1 (x) 6 y 6 y2 (x)},
designa-se por região elementar 3D do tipo R3Dxy . Caracterizam-se, de
modo semelhante, as restantes configurações possı́veis para regiões 3D.
Teorema 22 Seja Ω uma região do tipo R3Dxy . Se ϕ : Ω → R é integrável
então
ZZZ
Z b Z y2 (x) Z z2 (x,y)
ϕ(x, y, z) dzdydx.
ϕ dV =
Ω
a
z1 (x,y)
y1 (x)
Exemplo 23 Seja Ω = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 6 x 6 2 ∧ x2 + y 2 6 z 6 4}.
Calcular o integral
ZZZ
x dV.
Ω
Para a resposta. (1) A função integranda tem expressão designatória
x. Tal função é contı́nua
em qualquer subconjunto conexo de R 3 . Portanto, incompletos u
RRR
I 2008
existe o integral
nálise I
A
8
Ω x dV .
0
0
tos 2
comple elementar do tipo
inregião
(2) O conjunto Ω “quase” tem a forma ade
uma
s
o
t
n
e
pont m
R3Dxy ; “falta-lhe” a explicitação de y. a
Quando a variação de uma das variáveis está dada de modo implı́cito,
devemos tomá-la como a maior possı́vel. No caso, tal variação decorre da
condição que resulta entre os extremos da condição
x2 + y 2 6 z 6 4.
Portanto, a condição é x2 + y 2 6 4. Esta condição equivale à inequação do
segundo grau em y,
x2 + y 2 − 4 6 0.
Ora
x2 + y 2 − 4 = 0 ⇔ y = −
p
p
4 − x2 ∨ y = 4 − x2 .
Uma vez que o coeficiente do termo de segundo grau é positivo, decorre que
p
p
2
2
2
x + y − 4 = 0 ⇔ − 4 − x 6 y 6 4 − x2 .
Podemos, portanto, re-escrever Ω como se segue:
p
p
3
2
Ω = {(x, y, z) ∈ R : 0 6 x 6 2 ∧ − 4 − x 6 y 6 4 − x2 ∧ x2 +y 2 6 z 6 4}.
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . 23
(3) O cálculo do integral pode agora desenvolver-se. Temos, assim:
ZZZ
x dV =
0
Ω
=
=
Z
4−x2
√
− 4−x2
√
2 Z 4−x2
√
0
− 4−x2
Z 2 Z √4−x2
√
0
=
√
Z 2Z
Z
2
√
4
x dzdydx
x2 +y 2
x[z]4(x2 +y2 ) dydx
x[4 − (x2 + y 2 )] dydx
− 4−x2
Z √4−x2
x
0
Z
− 4−x2
4 − (x2 + y 2 ) dydx
√4−x2
Z 2 3
y
x 4x − x2 y −
dx
=
3 −√4−x2
0
Z 2
3
1
1 2
=
8x 4 − x2 2 − 2x3 4 − x2 2 − x 4 − x2 2 dx
3
0
..
. (uma página de cálculos...!)
128
.
=
15
Veremos, mais à frente, que
menos consumo de energia em
2.2.1
letos
incomp
8
0
0
2
se II
Análipermite
08 que
0
2
há um sistema de coordenadas
s
o
t
mple
tos inco
n
e
m
a
cálculos...
t
apon
Mudança de coordenadas e integral triplo
Para além das situações em que uma mudança de coordenadas é imposta
pela própria natureza do integral que queremos calcular...
R 2 √— recorde-se
o procedimento a tomar perante o problema: calcular 0 4 − x2 dx —,
por vezes, o cálculo de integrais é menos demorado se for possı́vel uma
certa mudança de coordenadas. O Teorema que se segue apresenta-nos as
condições em que um tal mudança de variáveis é possı́vel.
Teorema 24 Sejam Ω, Ω∗ ⊆ R3 e γ : Ω∗ → Ω uma função bijectiva e de
classe C 1 . Se ϕ : Ω → R é integrável então
ZZZ
ZZZ
(ϕ ◦ γ)| det(Dγ)| dV ∗ ,
ϕ dV =
Ω
Ω∗
onde dV ∗ é o produto dos diferenciais das variáveis que descrevem o conjunto Ω∗ .
u
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . 24
Corolário 25 (integral triplo e coordenadas cilı́ndricas) Se γ é a transformação
(r, θ, z) 7→ γ(r, θ, z) = (x(r, θ), y(r, θ), z) = (r cos θ, r sin θ, z)
então
ZZZ
ϕ dV =
Ω
ZZZ
ϕ(r cos θ, r sin θ, z) r dV ∗ .
Ω∗
Exercı́cio 26 Mostrar que | det(Dγ)| = r, sendo γ a transformação definida no corolário precedente.
Exemplo 27 Retomemos o problema apresentado no Exemplo 23. Usando
coordenadas cilı́ndricas, calculemos o mesmo integral.
Recordemos: Ω = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 6 x 6 2 ∧ x2 + y 2 6 z 6 4}.
Queremos calcular o integral
ZZZ
x dV.
Ω
Pelo Corolário 25, temos
ZZZ
ZZZ
x dV =
Ω
r(cos θ)r dV ∗ =
Ω∗
letos
incomp
8
0
0
2
I
∗
lise I(2.3)
r2 costoθs dV
08 .Aná
0
2
∗ comple
entosΩin
ZZZ
apontam
Para identificarmos os limites de integração é necessário explicitar Ω em
coordenadas cilı́ndricas. Assim, as condições que caracterizam Ω em coordenadas cilı́ndricas começam por ser (a partir das condições cartesianas
respectivas):
0 6 r cos θ 6 2
e
r 2 6 z 6 4.
Uma vez que r é não-negativo, da primeira condição resulta cos θ > 0 e,
portanto,
π
π
− 6θ6 .
2
2
2
Da segunda condição, resulta r − 4 6 0 e, consequentemente,
−2 6 r 6 2.
Mas, porque r > 0, fica 0 6 r 6 2. Finalmente, Ω em coordenadas
cilı́ndricas é descrito por
Ω∗ = {(r, θ, z) : −
π
π
6θ6
∧ 0 6 r 6 2 ∧ r 2 6 z 6 4}.
2
2
u
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . 25
Com isto e tendo presente a relação (2.3), temos sucessivamente:
Z π Z 2Z 4
ZZZ
2
x dV =
r2 cos θ dzdrdθ
Ω
=
Z
− π2
0
r2
π
2
cos θ dθ
− π2
Z
Z
2
0
r2 [z]4r2 dr
2
(π)
4r2 − r4 dr
= [sin θ] −2 π
( 2) 0
2
4 3 1 5
= 2 r − r
3
5 0
128
32 32
−
− (0 − 0) =
.
= 2
3
5
15
Devemos salientar o “ganho” conseguido com o uso de coordenadas
cilı́ndricas! Basta comparar!
No entanto, notemos que este “ganho” não resulta sempre... A utilização de coordenadas cilı́ndricas não é, só por si, a causa do “ganho”
conseguido. A forma do conjunto e a expressão da função integranda são,
também, factores que podem influenciar o número de obstáculos que te-8 incompletos u
I 200
nálise I
mos de transpor... Por conseguinte, quanto maior for a onossa
capacidade
A
8
0
0
let s 2
incomp
s
o
de efectuar “testes”... com o fim de escolher
o
caminho
com menos “pet
n
e
apontam
dras”... melhor!
Corolário 28 (integral triplo e coordenadas esféricas) Se γ é a transformação
(r, θ, z) 7→ γ(r, θ, z) = (x(ρ, θ, φ), y(ρ, θ, φ), z(ρ, θ, φ))
= (ρ cos θ sin φ, ρ sin θ sin φ, ρ cos φ)
então
ZZZ
ϕ dV =
Ω
ZZZ
ϕ(ρ cos θ sin φ, ρ sin θ sin φ, ρ cos φ) ρ2 sin φ dV ∗ .
Ω∗
Exercı́cio 29 Mostrar que | det(Dγ)| = ρ2 sin φ, sendo γ a transformação
definida no corolário precedente.
Exemplo 30 Seja Ω o conjunto limitado pelas superfı́cies
p
z = x2 + y 2 ,
x2 + y 2 + z 2 = 4;
e que contém o ponto P = (0, 0, 1).
integral
triplo
e
coordenadas
esféricas
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . 26
1. Descreva Ω num referencial cartesiano.
ZZZ
2. Calcule
z dV em coordenadas cartesianas.
Ω
3. Calcule
ZZZ
z dV em coordenadas esféricas.
Ω
p
Para uma resposta a 1. (a) A relação z = x2 + y 2 caracteriza a
superfı́cie cónica de revolução gerada pela rotação das semi-rectas
z = −y, y < 0,
z = y, y > 0,
em torno do eixo Oz, porque:
(i) toda a superfı́cie está acima do plano z = 0, uma vez que a raı́z de
um número real não-negativo é um número real
pnão-negativo;
+
(ii) para cada z = β ∈ R , a condição β = x2 + y 2 descreve a circunferência com centro (0, 0) e raio = β; assim, todos os pontos (x, y) desta
circunferência têm imagem
z(x, y) = β. Consequentemente, o gráfico da
p
2
2
função z = z(x,
p y) = x + y — isto é, a superfı́cie caracterizada pela
condição z = x2 + y 2 —, pode ser interpretada (obtida) como resultante
letos u
incomp
8
0
0
2
da rotação (em torno de Oz) da sua intersecção com um dos planos
II
lise coor08 Aná
0
2
s
o
t
denadas x = 0 ou y = 0. Ora, uma destas intersecções
mpleé
tos inco
n
e
m
a
t
apon
x=p
0
z = x2 + y 2
p
Da relação z = 02 + y 2 resulta z = |y| e, portanto,

x=0
z = −y, y < 0 (bissectriz do 2o quadrante do plano x=0)

z = y, y > 0 (bissectriz do 1o quadrante do plano x=0)
Convida-se o leitor a esboçar a superfı́cie descrita.
(b) A condição x2 + y 2 + z 2 = 4 caracteriza a superfı́cie esférica com
centro no ponto (0, 0, 0) e raio = 2 (logo, o centro desta superfı́cie coincide
com o vértice do cone acima descrito).
(c) O ponto P = (0, 0, 1) está na região convexa definida pela superfı́cie
esférica porque 02 + 02 + 12 < 4; e√também está na região convexa definida
pela superfı́cie cónica porque 1 > 02 + 02 .
Finalmente, o conjunto Ω é a intersecção das duas regiões convexas
fechadas definidas pelas superfı́cies cónica e esférica. Pode ser interpretado
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . 27
como resultante da rotação, em torno do eixo Oz, da secção circular de
raio = 2, amplitude angular igual a π2 e eixo de simetria Oz + (no plano
x = 0 ou noutro qualquer plano que contenha o eixo Oz). Analiticamente,
o conjunto Ω pode descrever-se por
p
p
3
2
2
x + y 6 z 6 4 − x2 − y 2 }.
(2.4)
Ω = {(x, y, z) ∈ R :
Convida-se o leitor a fazer um esboço do conjunto descrito.
RRR
Para uma resposta a 2. Para calcular o integral
Ω z dV em coordenadas cartesianas, precisamos de identificar os limites de integração.
A descrição de Ω em (2.4) apresenta-nos os limites para a variação de z.
Resta-nos, portanto, obter as variações para x e para y.
Para conseguirmos o pretendido, pensemos dop
seguinte modo: o objecto
4 − x2 − y 2 e fronteira
Ω tem fronteira “superior” na
psuperfı́cie z =
“inferior” na superfı́cie z = x2 + y 2 . Interessa-nos conhecer os pares
(x, y) para os quais a cota z está entre as duas superfı́cies referidas. A linha
que estabelece a fronteira do conjunto dos (x, y) no plano Oxy é a projecção
da linha definida pela intersecção das duas superfı́cies: a “inferior” com a
“superior”. Esta projecção é o conjunto de pontos (x, y) nos quais ocorre
p
letos u
z = px2 + y 2
incomp
8
0
0
2
lise II
08 Aná
0
z = 4 − x2 − y 2
2
s
o
t
mple
tos inco
n
p
p
e
m
a
t
apoyn2 e, portanto, x2 + y 2 = 2. AsDaqui, resulta x2 + y 2 = 4 − x2 −
sim, a projecção de Ω no plano Oxy é o cı́rculo fechado cuja condição
caracterizadora é x2 + y 2 6 2. Se denotarmos este cı́rculo por Q, temos
Q = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 6 2}.
O conjunto Ω pode, agora, descrever-se na seguinte forma
p
p
3
2
2
x + y 6 z 6 4 − x2 − y 2 }.
Ω = {(x, y, z) ∈ R : (x, y) ∈ Q ∧
Deste modo, temos
ZZZ
z dV =
Ω
Z Z Z √4−x2 −y2
Q
√
z dV.
(2.5)
x2 +y 2
Agora, escolhemos uma variação: a de x ou a de y e a outra fica determinada. Escolhendo a de x, isto é, escolhemos x para tomar valores entre
duas constantes (consequentemente, o integral “de fora” fica fixado!), a
variação de y fica determinada pela relação x 2 + y 2 6 2; a saber:
p
p
2
− 2 − x 6 y 6 2 − x2 .
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . 28
Com isto, o conjunto Ω fica explicitado como uma região elementar 3D do
tipo R3Dxy cuja condição definidora é
p
p
p
p
√
√
− 2 6 x 6 2 ∧ − 2 − x2 6 y 6 2 − x 2 ∧ x2 + y 2 6 z 6 4 − x 2 − y 2 .
Com isto e tendo presente (2.5), temos sucessivamente:
ZZZ
Z √ Z √ 2Z √ 2 2
2
z dV =
Ω
√
− 2
2−x
√
− 2−x2
√
4−x −y
z dzdydx
x2 +y 2
..
. (uma página de cálculos)
Z √2 p
4 2p
8
2
2 − x − x 2 − x2 dx
=
√
3
3
− 2
..
. (uma página de cálculos)
v
s
√ u
2
2 !3
Z √2 √
u
x
x
8 2
8 2t
1− √
1− √
−
=
dx (∗)
√
9
2
2
− 2 3
..
. (duas páginas de cálculos!)
u
= 2π.
mpletos
08 inco
I 20
nálise I
A
8
0
0
tos 2(necessária!).
mudançantode
comple
invariável
s
e
apontam
A continuação de (∗) passa por uma
Para uma resposta a 3. Retomemos Ω em coordenadas cartesianas
(e na forma mais reduzida):
p
p
Ω = {(x, y, z) ∈ R3 :
x2 + y 2 6 z 6 4 − x2 − y 2 }.
Temos, (i) x2 + y 2 = ρ2 cos2 θ sin2 φ + ρ2 sin2 θ sin2 φ = ρ2 sin2 φ.
(ii) z = ρ cos φ. De (i) e (ii),
p
p
x2 + y 2 6 z 6 4 − x 2 − y 2
m
p
p
ρ2 sin2 φ 6 ρ cos φ 6 4 − ρ2 sin2 φ
m p
ρ sin φ 6 ρ cos φ 6 4 − ρ2 sin2 φ,
uma vez que ρ e sin φ são não-negativos.
Uma vez que z > 0, decorre que cos φ > 0; logo,
ρ sin φ 6 ρ cos φ ⇔ 0 6
sin φ
6 1 ⇔ 0 6 tan φ 6 1
cos φ
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . 29
e, por conseguinte, encontramos a variação para o parâmetro φ, a saber:
06φ6
π
.
4
Tendo presente que ρ cos φ > 0, da relação ρ cos φ 6
resulta, sucessivamente:
p
ρ cos φ 6 4 − ρ2 sin2 φ
m
2
2
ρ cos φ 6 4 − ρ2 sin2 φ
m
2
2
ρ cos φ + ρ2 sin2 φ 6 4
m
2
ρ 64
m
−2 6 ρ 6 2.
(2.6)
p
4 − ρ2 sin2 φ
Daqui e porque ρ é não-negativo, fica:
0 6 ρ 6 2.
(2.7)
letos u
omp
008 inc
2
I
I
e
s
i
ál
8 An(2.6)
Tendo presente que o parâmetro θ não está condicionado,
e de
os 200de
t
e
l
p
m
inco
s
o
t
n
e
m
(2.7), o conjunto Ω em coordenadas esféricas
aponta descreve-se por:
π
∧ 0 6 θ 6 2π ∧ 0 6 ρ 6 2}.
4
RRR
Podemos, finalmente, calcular o integral
Ω z dV por intermédio de
coordenadas esféricas.
ZZZ
ZZZ
(ρ cos φ)(ρ2 sin φ) dV ∗
z dV =
∗
Ω
Z π ZΩ 2π Z 2
4
=
ρ3 cos φ sin φ dρdθdφ
0
Z 2π Z 2
Z0 π 0
4
cos φ sin φ dφ
=
dρ
ρ3 dρ
0
0
0
2
π4
1
1 2
sin φ × 2π × ρ4
=
2
4 0
0


√ !2
1
2
16
=
− 0 = 2π.
− 0 × 2π ×
2
2
4
Ω∗ = {(ρ, θ, φ) : 0 6 φ 6
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . 30
Tal como no exemplo atrás apresentado no contexto das coordenadas
cilı́ndricas, as coordenadas esféricas são um factor que pode contribuir para
simplificar bastante o cálculo de alguns integrais triplos.
letos u
omp
008 inc
2
I
I
e
s
i
Anál
os 2008
t
e
l
p
m
inco
mentos
aponta
Capı́tulo 3
Cálculo vectorial
Seja I um intervalo real. Consideremos o campo vectorial σ : I → R3 tal
que
t 7→ σ(t) = (σ1 (t))i + (σ2 (t))j + (σ3 (t))k,
onde σi (t), para cada i ∈ {1, 2, 3}, é um campo escalar diferenciável em I.
O conjunto de pontos da forma
t ∈ I,
(σ1 (t), σ2 (t), σ3 (t)),
designa-se por curva (ou linha). Denota-se por σ(I) (e diz-se que está
letos u
incomp
8
0
0
2
parametrizada pelo campo vectorial σ).
lise II
08 Aná
0
2
s
o
t
A derivada do campo vectorial σ é
comple
ntos in
me
aponta
dσ
dσ1
dσ2
dσ3
=
i+
j+
k.
dt
dt
dt
dt
3.1
Comprimento de arco
Seja I = [a, b] um intervalo real e considere-se uma sua partição com a
forma
a = t0 < t1 < t2 < · · · < tn = b.
Considere-se uma curva γ parametrizada pelo campo vectorial
σ : I → R3 ,
t 7→ σ(t).
inserir imagem
−−→
Denotemos por Pi o ponto que satisfaz a igualdade OPi = σ(ti ), para
cada ti . Pi é um ponto da curva γ(= σ(I)).
A soma dos comprimentos
P0 P1 , P1 P2 , ..., P n − 1Pn
31
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . 32
aproxima o comprimento da curva σ(I). Assim, quanto mais fina for a
partição de I, menor é a diferença entre o comprimento da curva σ(I) e a
soma
P0 P1 + P1 P2 + · · · + P n − 1Pn .
Temos, sucessivamente,
Pi Pi+1
=
=
=
=ti+1 →ti
kσ(ti+1 ) − σ(ti )k
kσ(ti+1 ) − σ(ti )k
(ti+1 − ti )
t
−
t
i+1
i
σ(ti+1 ) − σ(ti ) ti+1 − ti (ti+1 − ti )
dσ
(ti ) ∆ti . (rever este passo...)
dt
Portanto, o comprimento da curva é aproximado pela soma
n−1 X
dσ
(ti ) ∆ti .
dt
i=0
O seu comprimento é o limite
letos u
omp
008 inc
2
I
I
e
n−1
s
i
X dσ
Anál
os 2008
t
e
l
p
m
lim
∆t
, co
dt (toin)tam
enitos in
ap
i=0
isto é, o comprimento da curva σ(I) é o integral
Z b
dσ (t) dt.
dt a
Para futuras referências, assinalamos este resultado com a seguinte
Proposição 31 (comprimento de curva) Sendo σ : [a, b] → R3 uma
parametrização de certa curva, o valor numérico do seu comprimento é
Z b
dσ (t) dt.
dt a
Corolário 32 Sendo f um campo escalar real diferenciável com domı́nio
[a, b], o comprimento do gráfico de f é
Z bq
1 + (f 0 (x))2 .
a
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . 33
Para justificarmos este resultado basta considerar a parametrização induzida por f , a saber:
σ : [a, b] → R2 ,
x 7→ σ(x) = xi + (f (x))j
e aplicarmos a tese da Proposição 31.
Exemplo 33 ... inserir... com imagem
Proposição 34 (função comprimento de arco) O comprimento do arco
da curva σ(I) entre os pontos Pa e Pt é
Z t
dσ (τ ) dτ.
s(t) =
dτ
a
Notar que, sendo I = [a, b], s(b) = comp(σ(I)). A derivada da função
comprimento de arco é, naturalmente,
dσ dσ ds
(t) = =
dτ (τ )
dt (t)
dt
τ =t
e, portanto,
dσ ds = dt (t) dt.
3.2
Integral de um
diferencial
comprimento
de arcoetos u
ompl
i
008 nc
2
I
I
e
s
i
Anál
s 2008 curva
campo escalar sobre
ouma
t
e
l
p
m
inco
mentos
aponta
Sejam: I = [a, b] ⊂ R; σ : I → B ⊂ R3 de classe C 1 e f : B → R tal que a
função composta
f ◦ σ : I → R,
t 7→ (f ◦ σ) (t),
é contı́nua. Seja Pt ∈ R3 definido pela relação σ(t) = OPt , para cada t ∈ I,
onde O representa a origem do referencial. Assim, o ponto Pt pode ser
interpretado como sendo a extremidade do vector σ(t).
Definição 35 Define-se integral do campo escalar f sobre a curva σ(I)
por
Z b
Z b
dσ dσ f (Pt ) f (σ(t)) ou
dt (t) dt
dt (t) dt .
a
a
Tendo presente a caracterização do diferencial da função comprimento
de arco, este integral pode ser denotado por
Z
Z
f ds
ou
f ds .
σ
Exemplo 36 ... inserir...
σ(I)
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . 34
Interpretação geométrica do integral de um campo escalar não-negativo sobre
uma curva
inserir
f igura
O integral de um campo escalar f não-negativo sobre uma curva σ(I)
é igual ao valor numérico da área da “sebe” de base σ(I) e altura definida
pelo campo vectorial β (induzido por σ) caracterizado por
I 7→ β(t) = σ1 (t)i + σ2 (t)j + [σ3 (t) + f (σ(t))] k.
3.3
Integral de um campo vectorial sobre uma curva
Sejam: I = [a, b] ⊂ R; σ : I → B ⊂ R3 de classe C 1 e f : B → R3 o campo
vectorial tal que a função composta
f ◦ σ : I → R3 ,
t 7→ (f ◦ σ) (t),
é contı́nua.
mpletos
inco
Definição 37 Define-se integral do campo vectorial f sobre a curva
I 2008
se Iσ(I)
li
á
n
A
008
por
pletos 2
m
o
c
n
i
ntos
apoZntabme
Z b
dσ
dσ
ou
f (σ(t)) · (t) dt .
f (Pt ) · (t) dt
dt
dt
a
a
Usando a identificação dσ = dσ
(t)
dt, um modo sintético de exprimir
dt
este integral é
Z
Z
σ
f · dσ
ou
σ(I)
f · dσ .
Exemplo 38 ... inserir
Um caso particular no contexto presente ocorre quando o campo vectorial é um gradiente de um campo escalar real. Assim,
Teorema 39 Seja σ : [a, b] → B ⊂ R3 uma parametrização de classe C 1
de uma curva γ (isto é, σ([a, b]) = γ). Se f : B → R é de classe C 1 , então
Z
∇f · dσ = f (Pb ) − f (Pa ) .
γ
u
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . 35
Exemplo 40 ... inserir
Corolário 41 Se Pb = Pa (isto é, a curva é fechada), então
Z
∇f · dσ = 0.
γ
Exemplo 42 ... inserir
3.4
Parametrizações de superfı́cies
Vimos como caracterizar curvas em R3 : uma curva é um conjunto de pontos “gerados” por um campo vectorial. Procederemos de modo semelhante,
para construir representantes de superfı́cies. Assim, uma superfı́cie é interpretada como um conjunto de pontos em R3 “gerados” por um campo vectorial cujas componentes dos vectores da base canónica [i, j, k] são campos
escalares, de duas variáveis, de classe C 1 e cujo domı́nio é um subconjunto
conexo de R2 .
Definição 43 Seja S ⊂ R3 uma superfı́cie conexa.
1. Uma parametrização para S é
Q ⊆ R2 e int(Q) 6= ∅, tal que
letos
incomp
8
0
0
2
II
AnáRli3se, onde
08→
0
um campo vectorial
ϕ
:
Q
2
s
o
t
mple
tos inco
n
e
m
a
t
apon
ϕ(u, v) = ϕ1 (u, v)i + ϕ2 (u, v)j + ϕ3 (u, v)k.
A cada vector ϕ(u, v) associamos o ponto da superfı́cie
P(u,v) = (ϕ1 (u, v), ϕ2 (u, v), ϕ3 (u, v)) .
2. Diz-se que S é diferenciável se ϕ1 , ϕ2 e ϕ3 são diferenciáveis.
A partir de uma parametrização de uma superfı́cie S é possı́vel, por
vezes, construir uma equação cartesiana que a represente. Uma estratégia
para tal passa por fazermos a identificação

 x = ϕ1 (u, v)
y = ϕ2 (u, v)

z = ϕ3 (u, v)
e eliminar, neste sistema, os parâmetros u e v.
u
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . 36
Exemplo 44 Seja S a superfı́cie parametrizada por
ϕ : [0, 1] × [0, π] → R3 ,
(u, v) 7→ (cos v)i + (sin v)j + (u)k.
De que quádrica S é parte? Para uma resposta: fazemos

 x = cos v
y = sin v

z=u
(3.1)
Notemos que não é possı́vel estabelecer qualquer relação de interdependência
de z para x, y.
Quadrando os membros das duas primeiras equações, obtemos
 2
 x = cos2 v
y 2 = sin2 v
(3.2)

z=u
Adicionando, ordenadamente, as mesmas equações, resulta
 2
 x = cos2 v
letos u
x2 + y 2 = 1
(3.3)
incomp
8
0
0
2

lise II
z=u
08 Aná
0
2
s
o
t
e
l
mp
os inco
ment
aponta
Para cada valor de z = u ∈ [0, 1], a segunda equação em (3.3) caracteriza
a circunferência com centro em (0, 0, u) e raio 1, se x e y não tiverem
restrições para além da própria equação. Ora, como v ∈ [0, π], decorre
que sin v ∈ [0, 1]; logo, por (3.1), y > 0. Por conseguinte, a superfı́cie S
caracteriza-se, cartesianamente, por
x2 + y 2 = 1 ∧ y > 0 ∧ 0 6 z 6 1.
Assim, S é parte do cilindro circular de raio 1 e eixo de simetria Oz.
Mais: S é a parte do cilindro de equação x2 + y 2 = 1 cujas ordenadas y
são não-negativas que estão entre os planos de equações z = 0 e z = 1.
inserir imagem de S aqui
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . 37
3.4.1
Superfı́cies, parametrizações e vectores tangentes
Proposição 45 Seja ϕ : Q → R3 uma parametrização de uma superfı́cie
S diferenciável tal que
(u, v) 7→ ϕ(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k.
1. Os vectores
Tu =
∂y
∂z
∂x
i+
j+
k,
∂u
∂u
∂u
Tv =
∂x
∂y
∂z
i+ j+ k
∂v
∂v
∂v
são tangentes à superfı́cie S no ponto P(u,v) .
2. O vector (Tu × Tv )(u,v) é ortogonal à superfı́cie S no ponto P(u,v) .
3. Uma equação geral do plano tangente a S no ponto P (u,v) é
−−−−→
P(u,v) X · (Tu × Tv )(u,v) = 0,
onde X = (x, y, z) é um ponto arbitrário do plano.
O cálculo do vector (Tu × Tv )(u,v) pode ser conseguido com recurso ao
letos u
incomp
8
0
0
2
determinante simbólico
lise II
08 Aná
0
2
s
i j k o
t
∂x ∂y ∂z mentos incomple
onta ,
(3.4)
∂u ∂u ap∂u
∂y
∂x
∂z
∂v
∂v
∂v
cujo desenvolvimento pela primeira linha permite obter
∂x ∂z ∂x
∂y ∂z ∂u i − ∂u ∂u j + ∂u
(Tu × Tv ) = ∂u
∂y ∂z ∂x ∂z ∂x
∂v
∂v
∂v
∂v
∂v
Exemplo 46 ... inserir exemplo...
∂y
∂u
∂y
∂v
k.
(3.5)
Definição 47 Seja ϕ : Q → R3 uma parametrização de uma superfı́cie S
tal que
(u, v) 7→ ϕ(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k.
Diz-se que S é suave no ponto P(u,v) se
(Tu × Tv )(u,v) 6= 0.
Diz-se que S é suave se o for em todos os seus pontos.
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Exercı́cio 48 Considere-se a superfı́cie S parametrizada por ϕ : R 2 → R3
cuja expressão designatória é
ϕ(u, v) = (u cos v)i + (u sin v)j + (u2 + v 2 )k.
1. Descreva S num referencial Oxyz.
2. Identifique os ponto onde S é suave.
3. Escreva o plano tangente a S no ponto P(1,0) .
3.4.2
Valor numérico da área de uma superfı́cie
~ e F~ dois vectores, tem-se
Proposição 49 Sendo E
~
~~
~
~
~
E × F = E F sin E, F .
A demonstração deste facto pode fazer-se com recurso à igualdade de Lagrange.
~ F~ dois vectores não-colineares. O valor numérico
Proposição 50 Sejam E,
~ e F~ é
da área do paralelogramo cujos lados estão representados por E
letos u
incomp
8
0
0
2
~
II
Análise
E × F~ .
os 2008
t
comple
Demonstração. (... inserir imagem e
ntos in
ontame
p
a
dedução...).
Proposição 51 Seja S uma superfı́cie parametrizada por
ϕ : Q → R3 ,
ϕ(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k.
O valor numérico da área de S é
ZZ
kTu × Tv k dA.
Q
Demonstração...
Exercı́cio 52 Seja S a superfı́cie representada por
ϕ : [0, 1] × [0, π] → R3 ,
(u, v) 7→ ϕ(u, v) = (cos v)i + (sin v)j + (u)k.
1. Usando a tese expressa na Proposição 51, calcule o valor numérico da
área de S.
2. Recorrendo a ferramentas da geometria elementar, verifique a resposta
à alı́nea precedente.
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Área de uma superfı́cie da forma z = f (x, y)
Proposição 53 Seja Q um subconjunto limitado de R2 . Considere-se f :
Q → R um campo escalar diferenciável com expressão designatória f (x, y).
O valor numérico da área do gráfico de f é
s
2 2
ZZ
∂f
∂f
+
dA.
1+
∂x
∂y
Q
Demonstração. O gráfico da função f é o conjunto
Gf = {(x, y, z) ∈ R3 : z = f (x, y), (x, y) ∈ Q}
ou, de outro modo:
Gf = {(x, y, f (x, y)) ∈ R3 : (x, y) ∈ Q}.
Ora, a forma analı́tica de Gf induz a construção da parametrização
ϕ : Q → R3 ,
ϕ(x, y) = xi + yj + f (x, y)k.
Temos:
Tx = 1i + 0j +
Logo,
e, portanto,
letos
incomp
8
0
0
2
∂f
II
Ty = 0i + 1j + letosk.2008 Análise
mp ∂y
tos inco
n
e
m
a
t
apon
∂f
k,
∂x
i j k ∂f
∂f
∂f
Tx × Ty = 1 0 ∂x = − i −
j+k
∂x
∂y
0 1 ∂f
∂y
kTx × Ty k =
s
∂f
1+ −
∂x
2
∂f
+ −
∂y
2
.
Usando esta relação na Proposição 51, temos o pretendido.
Exemplo 54 Calcule o valor numérico da área da superfı́cie de equação
5x + y − 3z = 0 que está “dentro” do cilindro caracterizado por x 2 + z 2 = 4.
Resposta: a equação 5x + y − 3z = 0 caracteriza um plano que não
é paralelo a nenhum do eixos coordenados. O cilindro caracterizado por
x2 +z 2 = 4 tem eixo de simetria Oy; logo, é paralelo ao eixo Oy. Portanto,
o plano não é paralelo ao cilindro. Assim, a região do plano que está
“dentro” do cilindro é uma região elı́ptica. Denotemos por S esta região.
u
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . 40
A projecção de S no plano y = 0 (o plano Oxz) determina o cı́rculo
fechado cuja fronteira é definida por x2 + z 2 = 4. Denotemos por Q o
referido cı́rculo. Assim,
Q = {(x, z) ∈ R2 : x2 + z 2 6 4}.
Para cada ponto (x, z) de Q, existe um e um só (x, y, z) em S. Uma
vez que S é caracterizado por 5x + y − 3z = 0, podemos considerar y como
função de (x, z) pela relação
y = −5x + 3z,
(x, z) ∈ Q.
Este facto permite interpretar S como sendo o gráfico da função g, onde
g : Q → R,
g(x, z) = −5x + 3z.
Esta função g está nas condições da Proposição 53; logo:
ZZ p
ZZ √
√ ZZ
area(S) =
1 + (−5)2 + (3)2 dA =
35 dA = 35
1 dA.
Q
Q
Q
A região Q é um cı́rculo centrado na origem e de raio 2. Descrevendo incompletos u
I 2008
nálise I
Q em coordenadas polares [inserir relações funcionais...], temos
A
8
0
0
2
Q∗ = {(r, θ) : 0 6 θ
letos
incomp
s
o
t
n
e
m
onta∧
6ap2π
0 6 r 6 2}.
Assim,
area(S) =
√
35
ZZ
Q
√ ZZ
1 dA = 35
∗
r dA =
Q∗
Z
2π
0
Z
2
0
r drdθ = · · ·
Exercı́cio 55 Calcular o valor numérico da área da parte do cone de
equação z 2 = x2 + y 2 caracterizada por
x > 0 ∧ y > 0 ∧ z 2 = x2 + y 2 ∧ 0 6 z 6 1.
Exercı́cio 56 Seja S a superfı́cie caracterizada por
ϕ : [0, 2] × [0, 2π] → R3 ,
ϕ(u, v) = (u cos v)i + (u sin v)j + (u)k.
Calcule o valor numérico da área de S e descreva S num referencial cartesiano Oxyz.
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . 41
3.4.3
Integral de um campo escalar sobre uma superfı́cie
Definição 57 Seja f : B → R, B ⊆ R3 , um campo escalar contı́nuo e
S ⊂ B uma superfı́cie diferenciável parametrizada por ϕ : Q → R 3 ,
(u, v) 7→ ϕ(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k.
O integral de f sobre a superfı́cie S é
ZZ
f P(u,v) kTu × Tv k dA.
Q
A identificação dS = kTu × Tv k dA permite uma notação mais sintética
para este integral, a saber:
ZZ
ZZ
f dS
ou
f dS .
S
ϕ
Exemplo 58 Seja g : R3 → R o campo escalar tal que g(x, y, z) = e−(y
e ψ : [0, 3] × [0, 2π] → R3 uma parametrização da superfı́cie S tal que
2
+z 2 )
ψ(u, v) = (0)i + (u cos v)j + (u sin v)k.
Calcule o integral do campo escalar g sobre a superfı́cie S.
Resposta. Seja Q = [0, 3] × [0, 2π]. Temos:
P(u,v) =
letos u
omp
008 inc
2
I
I
e
s
i
Anál
os 2008
t
e
l
p
(0, u cos v, u sinov),
m
inco
ment s
aponta
kTu × Tv k = · · · = k(u)i + (0)j + (0)kk = · · · = |u|,
2
2
2
g P(u,v) = g(0, u cos v, u sin v) = e−((u cos v) +(u sin v) ) = · · · = e−u .
Portanto,
ZZ
Z 3Z
ZZ
2
e−u |u| dA =
g P(u,v) kTu × Tv k dA =
Q
Q
0
2π
0
2
e−u |u| dvdu = · · ·
Interpretação geométrica do integral de um campo escalar não-negativo sobre
uma superfı́cie
Seja Q ⊂ R2 um conjunto limitado e suponhamos que as superfı́cies S1 e
S2 caracterizadas por ϕ : Q → R3 e ψ : Q → R3 , com
ϕ(u, v) = ϕ1 (u, v)i + ϕ2 (u, v)j + ϕ3 (u, v)k,
ψ(u, v) = ϕ1 (u, v)i + ϕ2 (u, v)j + (f (x, y, z) + ϕ3 (u, v)) k,
são tais que S1 ∩S2 = ∅, onde f é um campo escalar contı́nuo e não-negativo
em S1 .
utad . . . . . eng.as: ene; mec; rea . . . . . análise matemática II . . . . . 2007–2008 . . . . . 42
... inserir imagem da situação...
O volume do espaço entre as superfı́cies S1 e S2 é numericamente igual ao
integral de f sobre a superfı́cie S, isto é, sendo Ω o referido espaço, temos
ZZ
ZZ
vol(Ω) =
f P(u,v) kTu × Tv k dA =
f dS.
Q
S1
*****
letos u
omp
008 inc
2
I
I
e
s
i
Anál
os 2008
t
e
l
p
m
inco
mentos
aponta