INSTITUTO DE ELETRÔNICA DE POTÊNCIA
Departamento de Engenharia Elétrica
Centro Tecnológico
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
PRINCÍPIOS DE MODULAÇÃO VETORIAL
Acadêmicos:
Carlos Henrique Illa Font
Flábio Alberto Bardemaker Batista
Ricardo Luiz Alves
Disciplina:
EEL6560 – T. A. em Eletrônica de Potência: Retificadores Trifásicos PWM com
Elevado Fator de Potência
Professor:
Ivo Barbi
DEZEMBRO/2003
Caixa Postal 5119 – CEP 88040-970 – Florianópolis – SC
Tel. : (0xx48) 331-9204 – Fax: (0xx48) 234-5422 – Internet: www.inep.ufsc.br
1
ÍNDICE
1 – VETOR ESPACIAL ( CAMPO GIRANTE )............................................................................................. 2
2 – EXEMPLOS DE APLICAÇÃO ................................................................................................................ 5
2.1 – INVERSOR MEIA PONTE A DOIS NÍVEIS ........................................................................................................... 5
2.2 – INVERSOR MEIA PONTE A TRÊS NÍVEIS ........................................................................................................... 9
3 – MODULAÇÃO VETORIAL ................................................................................................................... 10
3.1 – DETERMINAÇÃO DOS VETORES DISPONÍVEIS .................................................................................................. 10
3.2 – FATORES DE MÉRITO DE UMA MODULAÇÃO ................................................................................................... 12
3.3 – VETORES DISPONÍVEIS EM CADA QUADRANTE – QUADRANTE I ...................................................................... 12
3.4 – FORMAÇÃO DO VETOR RESULTANTE – QUADRANTE I .................................................................................... 13
3.5 – VISUALIZAÇÃO DOS SINAIS DE COMANDO DOS INTERRUPTORES – QUADRANTE I ........................................... 16
3.6 – VETORES DISPONÍVEIS EM CADA QUADRANTE – QUADRANTE II ..................................................................... 17
3.7 – FORMAÇÃO DO VETOR RESULTANTE – QUADRANTE II ................................................................................... 18
3.8 –VISUALIZAÇÃO DOS SINAIS DE COMANDO DOS INTERRUPTORES – QUADRANTE II ........................................... 20
4 – CONTROLE VETORIAL DA CORRENTE COM MODULADOR VETORIAL ESPACIAL.................... 21
4.1 – CÁLCULO DE T1, T2 E TO A PARTIR DE VD E VQ ........................................................................................... 22
2
1 – VETOR ESPACIAL ( CAMPO GIRANTE )
Seja o circuito apresentado na Fig. 1, representando as tensões de alimentação de um
sistema trifásico.
V1(wt)
V2(wt)
V3(wt)
L1
L2
L3
Fig. 1 – Tensões de alimentação de um sistema trifásico.
O sistema de alimentação pode ser representado pelas equações apresentadas em (1).
⎧V1 (t ) = V1 (θ ) ⋅ cos(ω ⋅ t )
⎪
⎨V2 (t ) = V2 (θ ) ⋅ cos(ω ⋅ t + 120º )
⎪
⎩V3 (t ) = V3 (θ ) ⋅ cos(ω ⋅ t + 240º )
(1)
→
→
Pode-se formar o diagrama apresentado na Fig. 2, onde os módulos dos vetores V1 , V2 e
→
V3
variam co-senoidalmente sobre seus respectivos eixos de acordo com a expressão (2).
Fig. 2 – Diagrama vetorial.
3
⎧V1 (θ ) = V ⋅ cos(θ )
⎪
⎨V2 (θ ) = V ⋅ cos(θ + 120º )
⎪
⎩V3 (θ ) = V ⋅ cos(θ + 240º )
(2)
⎧ JJG
JJG
⎪V1 = V 0º
⎧V1 = V ⋅ cos(0º ) 0º
⎪
⎪⎪ JJG
1
⎪ JJG
⎨V2 = V ⋅ cos(+120º ) +120º ⇒ ⎨V2 = − ⋅ V +120º
2
⎪ JJG
⎪
1
⎪ JJG
⎩⎪V3 = V ⋅ cos(−120º ) −120º
⎪⎩V3 = − 2 ⋅ V −120º
(3)
Para θ = 0o tem-se:
Então, o diagrama vetorial para este instante é representado na Fig. 3.
Fig. 3 – Vetor resultante de tensão para o instante θ = 0º.
→
→
→
A amplitude do vetor resultante é obtida através da soma vetorial dos vetores V1 , V2 e V3 ,
ou seja:
→
→
→
→
VR = V1 + V2 + V3
(4)
→
1
1
VR = V − ⋅ V +120º − ⋅ V −120º
2
2
(5)
→
3
VR = ⋅ V 0º
2
(6)
Considerando agora o instante de tempo θ = 30o tem-se:
4
⎧ JJG
3
⋅ V 0º
⎪V1 =
JJG
2
⎧V1 = V ⋅ cos(30º ) 0º
⎪
⎪⎪ JJG
3
⎪⎪ JJG
⋅ V 120º
⎨V2 = V ⋅ cos(30º +120º ) 120º ⇒ ⎨V2 = −
2
⎪ JJG
⎪ JJG
⎩⎪V3 = V ⋅ cos(30º +240º ) 240º ⎪V3 = 0 240º
⎪
⎪⎩
(7)
Então, o diagrama vetorial para este instante é representado na Fig. 4.
JJG
V1
JJG
V3
JJG
VR
JJG
V2
Fig. 4 – Vetor resultante de tensão para o instante
θ = 30o .
A amplitude do vetor resultante neste caso é dada pela expressão (8).
→
VR =
3
3
⋅V −
⋅ V 120º + 0 240º
2
2
→
3
VR = ⋅ V −30º
2
(8)
(9)
Considerando agora o instante de tempo θ = 60º tem-se:
⎧ JJG 1
JJG
⎪V1 = 2 ⋅ V 0º
⎧V1 = V ⋅ cos(60º ) 0º
⎪⎪ JJG
⎪⎪ JJG
⎨V2 = V ⋅ cos(60º +120º ) 120º ⇒ ⎨V2 = −1 120º
⎪ JJG
⎪ JJG 1
240º
⎩⎪V3 = V ⋅ cos(60º +240º ) 240º ⎪V3 =
2
⎪⎩
Então, o diagrama vetorial para este instante é representado na Fig. 5.
(10)
5
JJG
V1
JJG
V3
JJG
V2
JJG
VR
Fig. 5 – Vetor resultante de tensão para o instante θ = 60º.
A amplitude do vetor resultante neste caso dada pela expressão (12).
→
VR =
1
1
⋅ V 0º − 1⋅ V 120º + ⋅ V 240º
2
2
→
3
VR = ⋅ V −60º
2
(11)
(12)
Desta análise é possível concluir que o vetor resultante possui amplitude constante e gira
com velocidade constante igual a ω. A expressão geral para o vetor resultante é dada pela
equação (13).
→
VR =
3
3
⋅ V ⋅ −θ = ⋅ V .e j .(ω .t −θ )
2
2
2 – EXEMPLOS DE APLICAÇÃO
2.1 – INVERSOR MEIA PONTE A DOIS NÍVEIS
Seja o conversor meia ponte a dois níveis apresentado na Fig. 6.
(13)
6
V
S1
Va
N
Load
V
S2
Fig. 6 – Conversor meia ponte a dois níveis.
Para este conversor existem apenas duas etapas de operação, apresentadas na Fig. 7.
S1
V
Va
S1
N
S2
Va
V
(a)
V
N
S2
V
(b)
Fig. 7 – Etapas de operação.
Analisando a Fig. 7 é possível concluir que para gerar a tensão VaN existem apenas duas
possibilidades (mantendo o interruptor S1 fechado e o interruptor S2 aberto ou o interruptor S2
fechado e o interruptor S1 aberto).
A combinação de interruptores produz uma tensão positiva de módulo igual a V
enquanto que com a segunda opção tem-se um valor negativo de tensão. A cada uma destas
combinações atribui-se um vetor, cuja amplitude é igual ao valor da tensão VaN aplicada. Agindo
desta forma é possível representar tais vetores segundo a Fig. 8.
7
β
α
→
→
V1 = V 0º
V2 = V 180º
Fig. 8 – Vetores disponíveis.
Em um período de chaveamento uma determinada tensão VaN , representada na Fig. 9 pelo
→
vetor resultante VR , pode ser obtida através da expressão (14).
β
→
VR
→
→
V2 = V 180º
V1 = V 0º
α
Fig. 9 – Formação do vetor resultante.
→
VR =
T1 → T2 →
⋅ V1 + ⋅ V2
T
T
(14)
onde:
T1 + T2 = T = período de chaveamento
(15)
Admitindo agora que o vetor resultante evolua senoidalmente segundo a expressão (16).
→
VR = A ⋅ sen(θ )
(16)
A = m ⋅V
(17)
m = índice de modulação
(18)
onde:
Assim, realizando um simples substituições e igualando-se as expressões (14) e (16) temse:
→
VR =
T1
T
⋅ V − 2 ⋅ V = m ⋅ V ⋅ sen(θ )
T
T
(19)
8
T1 − T2 = T ⋅ m ⋅ sen(θ )
(20)
Substituindo o valor de T2 da expressão (15) em (20), obtém-se (21).
T1 − (T − T1 ) = T ⋅ m ⋅ sen(θ )
(21)
2 ⋅ T1 = T + T ⋅ m ⋅ sen(θ )
(22)
T
⋅ (1 + m ⋅ sen(θ ) )
2
(23)
T1 =
Da equação (23) implica, segundo (15), que:
T2 =
T
⋅ (1 − m ⋅ sen(θ ) )
2
(24)
T1
T
m/2
A Fig. 10 apresenta a evolução dos tempos T1 e T2 para o inversor em questão.
m/2
0,5
m/2
T2
T
m/2
0,5
Fig. 10 – Tempos de duração dos vetores T1 e T2 para o inversor Meia Ponte Dois Níveis.
O equacionamento apresentado permite concluir que para obter uma determinada tensão
senoidal na entrada do filtro LC do sistema apresentado na Fig. 6, pode-se empregar o diagrama
mostrado na Fig. 11.
S1
m
ω
PWM
S1
S2
S2
Fig. 11 – Diagrama de controle.
9
2.2 – INVERSOR MEIA PONTE A TRÊS NÍVEIS
Seja o conversor meia ponte a dois níveis apresentado na Fig. 12.
V
S1
Va
N
Load
V
S2
S3
Fig. 12 – Conversor meia ponte a três níveis.
A inclusão do terceiro interruptor permite aplicar uma tensão nula na carga, aumentando
assim o número de vetores disponíveis para formar a tensão VaN desejada.
Sendo assim, o diagrama vetorial para este caso é apresentado na Fig. 13.
β
→
V3 = 0
→
→
V1 = V 0º
V2 = V 180º
α
Fig. 13 – Vetores disponíveis.
Em um período de chaveamento uma determinada tensão VaN , representada na Fig. 14
→
pelo vetor resultante VR , pode ser obtida através da expressão (25).
β
→
→
V3 = 0
→
V2 = V 180º
VR
→
V1 = V 0º
Fig. 14 – Formação do vetor resultante.
α
10
→
VR =
To → T1 → To →
⋅ Vo + ⋅ V1 +
⋅ Vo
T
2 ⋅T
2 ⋅T
(25)
onde:
To
T
+ T1 + o = T1 + To = T = período de chaveamento
2
2
(26)
Fazendo o vetor resultante variar novamente de forma senoidal tem-se:
→
VR = A ⋅ sen(θ )
(27)
A = m ⋅V
(28)
onde:
Assim:
→
VR =
To
T
T
⋅ 0 + 1 ⋅ V + o ⋅ 0 = m ⋅ V ⋅ sen(θ )
T
T
T
T1 = T ⋅ m ⋅ sen(θ )
(30)
To = T ⋅ (1 − m ⋅ sen(θ ) )
(31)
3 – MODULAÇÃO VETORIAL
3.1 – DETERMINAÇÃO DOS VETORES DISPONÍVEIS
Seja o inversor trifásico representado de forma simplificada na Fig. 15.
S1
E
(29)
a
S2
S3
S5
c
b
S4
S6
Fig. 15 – Inversor de tensão trifásico.
11
O circuito possui 6 interruptores e 8 estados topológicos possíveis. A cada estado
topológico, representado de forma simplificada na Fig. 16, está associado um vetor com o
formato (x1, x2, x3). As grandezas x1, x2, e x3 podem assumir os valores 0 e 1. Os estados dos
interruptores S1 e S2 estão associados diretamente à x1, ou seja x1 representa o braço “a” do
inversor. Da mesma forma, x2 e x3 representam os braços “b” e “c”.
V
1
E
a
b
V
2
E
c
0
a
b
c
a
0
b
0
a
(010)
V6
E
c
c
a
c
a
0
b
V8
E
c
a
0
(001)
c
(011)
V7
E
b
b
0
(110)
V5
a
b
V
4
E
0
(100)
E
V
3
E
b
c
0
(101)
(111)
(000)
Fig. 16 – Estados topológicos do inversor trifásico.
Seja a Fig. 17 onde os eixos “a”, “b” e “c” representam os setores representados por cada
braço respectivo do inversor. O eixo “a” representa o braço “a”. Quando S1 está fechado, sobre o
→
eixo “a” é representado o vetor V1 , cujo medulo é E. A mesma idéia pode ser usada para
representar os outros braços.
b
→
(1,1,0)
(0,1,0) V3
→
V2
II
I
III
→
→
V4
V7 (1,1,1)
→
(0,1,1)
(1,0,0)
→
(0,0,0) V
V1
8
IV
a
VI
V
→
V5
(1,0,1)
(0,0,1)
→
V6
c
Fig. 17 – Vetores disponíveis para o inversor trifásico.
12
→
A cada estado topológico corresponde um vetor. Como pode ser verificado, os vetores V1 ,
→
V2
→
→
→
→
→
→
, V3 , V4 V5 e V6 são não nulos e possuem a mesma amplitude (E). Os vetores V7 e V8 , por sua
vez apresentam amplitude nula.
Os seis vetores não nulos estão defasados de 60º e geram seis setores identificados na Fig.
17 pelos algarismos romanos I, II, III, IV, V e VI.
3.2 – FATORES DE MÉRITO DE UMA MODULAÇÃO
Os fatores de mérito de uma determinada modulação são:
9 Índice de modulação;
9 Ondulação da Corrente;
9 Minimização das perdas de comutação;
9 Distribuição das perdas de condução.
De acordo com a Fig. 18, a circunferência inscrita no polígono tem como raio R.
→
V2
→
R
30 o
→
V1
Fig. 18 – Circunferência inscrita.
R = V1 .s e n(60o ) =
3
.E
2
3.3 – VETORES DISPONÍVEIS EM CADA QUADRANTE – QUADRANTE I
(32)
13
Seja o quadrante I. As fronteiras com os demais quadrantes são definidas pelos vetores
→
→
→
→
adjacentes V1 e V2 e pelos vetores nulos V7 e V8 .
→
Considerando o vetor VR conforme apresentado na Fig. 19, com módulo A e ângulo θ em
→
relação ao vetor V1 .
→
V2
→
VR
→
VR1
θ
→
V7
→
→
→
VR 2
V8
V1
Fig. 19 – Formação de um vetor no quadrante I.
→
→
Embora existam outros vetores que estejam disponíveis deve-se empregar apenas V1 , V2 ,
→
V7
→
→
e V8 para construir VR , pois isto reduz o número de comutações realizadas pelo conversor.
→
O vetor VR gira com velocidade angular constante ω no sentido anti-horário. No instante
→
→
→
observado podem-se determinar as componentes VR1 , alinhada com V1 e VR 2 alinhada com o vetor
→
V2
.
3.4 – FORMAÇÃO DO VETOR RESULTANTE – QUADRANTE I
→
→
→
→
Os vetores VR1 e VR 2 são determinados pelos intervalos de duração dos vetores V1 e V2 ,
respectivamente.
→
Considerando que a seqüência utilizada para gerar o vetor resultante VR seja:
→
→
→
→
→
→
→
→
V8 , V1 , V2 , V7 , V7 , V2 , V1 , V8
A duração de cada um dos vetores da expressão (33) é definida por:
(33)
14
To
⎧→
⎪V8 ⇒ 2
⎪→
⎪⎪V1 ⇒ T1
⎨→
⎪V2 ⇒ T2
⎪→
⎪V ⇒ To
⎪⎩ 7
2
(34)
To
T T
+ T1 + T2 + o =
2
2 2
(35)
De tal modo que:
Onde T é o período de chaveamento, cujo valor é constante.
Deste modo pode-se concluir que:
T1 →
⎧→
⎪⎪VR1 = 2 ⋅ T ⋅ V1
⎨→
→
⎪V =2 ⋅ T2 ⋅ V
2
R2
⎪⎩
T
(36)
Assim:
→
VR = 2 ⋅
→
→
T1 →
T →
⋅ V1 + 2 ⋅ 2 ⋅ V2
T
T
(37)
→
Os ângulos dos vetores VR1 , VR 2 e VR em relação ao eixo zero são respectivamente 0º, 60º
e θ.
Sejam:
⎧→
⎪VR = VR ⋅ ( cos θ + j ⋅ sin θ )
⎪→
2 ⋅ T1 ⋅ E
⎪
⋅ ( cos 0D + j ⋅ sin 0D )
⎨VR1 =
T
⎪
2 ⋅ T2 ⋅ E
⎪→
⋅ ( cos 60D + j ⋅ sin 60D )
⎪⎩VR 2 = T
(38)
Assim, substituindo a expressão (36) em (38) e após em (37):
VR ⋅ ( cos θ + j ⋅ sin θ ) =
(
)
2
2
⋅ T1 ⋅ E ⋅ cos 0D + j ⋅ sin 0D + ⋅ T2 ⋅ E ⋅ ( cos 60D + j ⋅ sin 60D )
T
T
(39)
2
2
⋅ T1 ⋅ E + ⋅ T2 ⋅ E ⋅ ( cos 60D + j ⋅ sin 60D )
T
T
(40)
VR ⋅ ( cos θ + j ⋅ sin θ ) =
Separando as partes real e imaginária tem-se:
2
2
⎧
D
⎪⎪VR ⋅ cosθ = T ⋅ T1 ⋅ E + T ⋅ T2 ⋅ E ⋅ cos 60
⎨
⎪V ⋅ sin θ = 2 ⋅ T ⋅ E ⋅ sin 60D
2
⎪⎩ R
T
(41)
15
⎧
T2 ⎞
2 ⎛
⎪VR ⋅ cos θ = ⋅ E ⎜ T1 + ⎟
T
2⎠
⎪
⎝
⎨
2
3
⎪
⎪⎩VR ⋅ sin θ = T ⋅ T2 ⋅ E ⋅ 2
(42)
Assim:
T2 =
⋅ sin θ
(43)
T VR ⋅ cos θ T2
⋅
−
2
E
2
(44)
V ⋅T
T VR
⋅ ⋅ cos θ − R
⋅ sin θ
2 E
E ⋅ 3⋅2
(45)
sin θ ⎞
T VR ⎛
⋅ ⋅ ⎜ cos θ −
⎟
2 E ⎝
3 ⎠
(46)
VR
E
(47)
T1 =
T1 =
VR ⋅ T
E⋅ 3
T1 =
Definindo:
m=
Tem-se:
⎧
sin θ ⎞
T ⎛
⎪T1 = m ⋅ ⋅ ⎜ cos θ −
⎟
2 ⎝
⎪
3 ⎠
⎨
⎪T = m ⋅ T ⋅ sin θ
⎪⎩ 2
3
(48)
O intervalo de tempo To pode ser obtido através da expressão (35), ou seja:
To =
T
− T1 − T2
2
(49)
Neste ponto é importante observar que o ângulo θ varia em intervalos discretos
denominados ∆θ. Isto permite escrever:
∆θ = ω ⋅ T
(50)
θ n +1 = θ n + ∆θ
(51)
θ n +1 = θ n + ω ⋅ T
(52)
Assim:
Desta forma, para cada valor de θ , conhecendo-se o índice de modulação (m), e o
período de chaveamento (T) é possível obter T1, T2 e To. Tais tempos são obtidos em tempo real,
quer seja por processamento numérico quer seja por leitura de tabelas.
16
3.5 – VISUALIZAÇÃO DOS SINAIS DE COMANDO DOS INTERRUPTORES –
QUADRANTE I
Seja a seqüência de vetores para o primeiro quadrante:
→
→
→
→
→
→
→
→
V8 , V1 , V2 , V7 , V7 , V2 , V1 , V8
(53)
Os respectivos estados topológicos estão representados na Fig. 20.
V
8
E
b
a
V
1
E
c
0
b
a
b
a
0
c
b
a
0
To
2
(111)
T2
(110)
c
To (111)
2
V
1
E
c
(110)
b
a
0
T2
b
a
c
0
(100)
V
2
E
V
7
E
0
T1
V
7
b
a
c
0
To (000)
2
E
V
2
E
E
(111)
b
a
c
V
8
c
0
T1
(100)
To
2
(000)
Fig. 20 – Estados topológicos para o 1º quadrante.
Os sinais de gatilho correspondentes estão mostrados na Fig. 21, de onde é possível
afirmar que, para o setor I as razões cíclicas de cada braço são dadas pela expressão (54)
17
T0
2
T1
T0
2
T2
T0
2
T2
T1
T0
2
cmd A
t
cmd B
t
cmd C
t
V0
V1
V2
V7
V7
V2
V1
V0
( 0 0 0 ) (1 0 0 ) (1 1 0 ) (1 1 1) (1 1 1) (1 1 0 ) (1 0 0 ) ( 0 0 0 )
T
Fig. 21 – Sinais de comando para os interruptores dos braços "a", "b" e "c" do retificador.
T
⎧
T +T + o
⎪D = 1 2
2
⎪ 1
T
⎪
T
⎪⎪
T2 + o
2
⎨ D2 =
T
⎪
To
⎪
⎪D = 2
⎪ 3
T
⎪⎩
(54)
Vale ressaltar que as expressões para as razões cíclicas são diferentes para cada setor.
3.6 – VETORES DISPONÍVEIS EM CADA QUADRANTE – QUADRANTE II
Seja o quadrante II. As fronteiras com os demais quadrantes são definidas pelos vetores
→
→
→
→
adjacentes V2 e V3 , e pelos vetores nulos V7 e V8 .
→
Considerando o vetor VR conforme apresentado na Fig. 22, com módulo A e ângulo θ em
JJG
relação ao vetor V1 .
18
(1 1 0) V
V3 (0 1 0)
2
JJJG
VR
θ
(1 0 0)
(0 1 1)
V4
V1
(1 0 1) V6
V5 (0 0 1)
Fig. 22 – Formação de um vetor no quadrante II.
→
→
→
→
→
Neste caso deve-se empregar apenas V2 , V3 , V7 e V8 para construir VR , pois isto reduz o
número de comutações realizadas pelo conversor.
→
O vetor VR gira com velocidade angular constante ω. No instante observado podem-se
JJJG
JJG
JJJG
JJG
determinar as componentes VR 2 , alinhada com V2 e VR 3 alinhada com o vetor V3 .
3.7 – FORMAÇÃO DO VETOR RESULTANTE – QUADRANTE II
JJJG
JJG
JJJG
Os vetores VR 2 e VR 3 são determinados pelos intervalos de duração dos vetores V2 e
JJG
V3 respectivamente.
→
Considerando que a seqüência utilizada para gerar o vetor resultante VR seja:
JJG JJG JJG JJG JJG JJG JJG JJG
V7 , V2 , V3 , V8 , V8 , V3 , V2 , V7
(55)
A duração de cada um dos vetores da expressão (55) é definida por:
JJG T
⎧V
⇒ o
⎪ 7
2
JJ
G
⎪
⇒
V
T
⎪ 2
1
⎨ JJG
⎪V3 ⇒ T2
⎪ JJG T
⎪V8 ⇒ o
⎩
2
Da mesma forma analisada para o quadrante I, pode-se concluir que:
(56)
19
J
T1 JG
⎧ JJJG
⎪⎪VR 2 = 2 ⋅ T ⋅ V2
⎨ JJJG
JJG
⎪V =2 ⋅ T2 ⋅ V
3
⎪⎩ R 3
T
(57)
Assim:
Os ângulos dos vetores
JJG
T JJG
T JJG
VR = 2 ⋅ 1 ⋅ V2 + 2 ⋅ 2 ⋅ V3
T
T
JJG
JJJG JJJG
VR 2 , VR 3 e VR em relação
(58)
ao eixo zero são respectivamente 60º,
120º e θ.
Sejam:
⎧ JJG
⎪VR = VR ⋅ ( cos θ + j ⋅ sin θ )
⎪ JJJG
2 ⋅ T1 ⋅ E
⎪
⋅ ( cos 60D + j ⋅ sin 60D )
⎨VR 2 =
T
⎪
⎪ JJJG 2 ⋅ T2 ⋅ E
⋅ ( cos120D + j ⋅ sin120D )
⎪⎩VR 3 = T
(59)
Assim, substituindo a expressão (59) em (57) e após em (58):
VR ⋅ ( cos θ + j ⋅ sin θ ) =
2
2
⋅ T1 ⋅ E ⋅ ( cos 60D + j ⋅ sin 60D ) + ⋅ T2 ⋅ E ⋅ ( cos120D + j ⋅ sin120D )
T
T
(60)
⎛1
⎛ 1
2
3⎞ 2
3⎞
⋅ T1 ⋅ E ⋅ ⎜⎜ + j ⋅
⎟⎟ + ⋅ T2 ⋅ E ⋅ ⎜⎜ − + j ⋅
⎟
2 ⎠ T
2 ⎟⎠
T
⎝2
⎝ 2
(61)
VR ⋅ ( cos θ + j ⋅ sin θ ) =
Separando as partes real e imaginária tem-se:
⎧
⎛ 1⎞
2
1 2
⎪VR ⋅ cos θ = ⋅ T1 ⋅ E ⋅ + ⋅ T2 ⋅ E ⋅ ⎜ − ⎟
T
2 T
⎝ 2⎠
⎪
⎨
⎪V ⋅ sin θ = 2 ⋅ T ⋅ E ⋅ ⎛ 3 ⎞ + 2 ⋅ T ⋅ E ⋅ ⎛ 3 ⎞
1
⎪ R
⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎜⎜ 2 ⎟⎟ T 2
T
⎝
⎠
⎝
⎠
⎩
(62)
E
⎧
⎪⎪VR ⋅ cos θ = T ⋅ (T1 − T2 )
⎨
⎪V ⋅ sin θ = E ⋅ 3 ⋅ (T + T )
1
2
⎪⎩ R
T
(63)
Assim:
T1 =
T VR
⋅
2 E
⎛
sin θ ⎞
⋅ ⎜ cos θ +
⎟
3 ⎠
⎝
(64)
T2 =
T VR
⋅
2 E
⎛ sin θ
⎞
⋅⎜
− cos θ ⎟
⎝ 3
⎠
(65)
⎧
T ⎛
sin θ ⎞
⎪T1 = m ⋅ ⋅ ⎜ cos θ +
⎟
2
3 ⎠
⎪
⎝
⎨
⎪T = m ⋅ T ⋅ ⎛ − cos θ + sin θ ⎞
⎜
⎟
⎪ 2
2 ⎝
3 ⎠
⎩
(66)
20
O intervalo de tempo To pode ser obtido através da expressão (67).
To =
T
− T1 − T2
2
(67)
3.8 –VISUALIZAÇÃO DOS SINAIS DE COMANDO DOS INTERRUPTORES –
QUADRANTE II
Seja a seqüência de vetores para o segundo quadrante:
JJG JJG JJG JJG JJG JJG JJG JJG
V7 , V2 , V3 , V8 , V8 , V3 , V2 , V7
(68)
Os respectivos estados topológicos estão representados na Fig. 23.
V
7
E
b
a
V
2
E
c
0
b
a
b
a
0
c
b
a
0
To
2
(111)
T2
(110)
c
To (111)
2
V
2
E
c
(110)
b
a
E
(111)
V
7
b
a
c
0
T2
b
a
c
0
(100)
V
3
E
V
8
E
0
T1
V
8
b
a
c
0
To (000)
2
E
V
3
E
c
0
T1
(100)
To
2
(000)
Fig. 23 – Estados topológicos para o 2º quadrante.
Os sinais de gatilho correspondentes estão mostrados na Fig. 24, de onde é possível
afirmar que, para o setor II as razões cíclicas de cada braço são dadas pela expressão (69).
21
T0
2
T1
T2
T0
2
T0
2
T2
T1
T0
2
cmd A
t
cmd B
t
cmd C
t
V0
V1
V2
V7
V7
V2
V1
V0
( 0 0 0 ) (1 0 0 ) (1 1 0 ) (1 1 1) (1 1 1) (1 1 0 ) (1 0 0 ) ( 0 0 0 )
T
Fig. 24 – Sinais de comando para os interruptores dos braços "a", "b" e "c" do retificador.
T
⎧
T +T + o
⎪D = 1 2
2
⎪ 1
T
⎪
T
⎪⎪
T2 + o
2
⎨ D2 =
T
⎪
To
⎪
⎪D = 2
⎪ 3
T
⎪⎩
(69)
4 – CONTROLE VETORIAL DA CORRENTE COM MODULADOR VETORIAL
ESPACIAL
Seja o diagrama de blocos apresentado na Fig. 25.
22
Vs1
L1
Vs2
L2
Vs3
L3
+
Retificador
Co
PWM
Vo
Ro
-
S1 S2 S3 S4 S5 S6
i1 i2 i3
θ
dqo
id
T1
iq
Vo
+
To
id
Vo*
T2
-
Hv(s)
id*
Hd(s)
+
Vd
T1
T2
iq
iq*
Hq(s)
+
To
Vq
V1d V1q V2d V2q
m
ω
T
Fig. 25 – Diagrama de blocos do sistema de controle.
Considerando que a transformação dqo e o projeto dos compensadores sejam conceitos
dominados, resta, segundo a lógica apresentada na Fig. 25, determinar os tempos T1, T2, To a
partir de Vd e Vq.
4.1 – CÁLCULO DE T1, T2 E TO A PARTIR DE VD E VQ
JJG
JJG
Admitindo a existência dos vetores V1 e V2 , as projeções destes sobre os eixos d e q
podem ser obtidas segundo o equacionamento apresentado a seguir:
23
q
→
V2q
→
T2 ⋅ V2
→
V1q
→
→
V2d
V1d
d
Fig. 26 – Projeções nos eixos d e q.
Da Fig. 26 pode-se escrever:
JJG
JJG
JG
J
T ⋅ VR = T1 ⋅ V1 + T2 ⋅ V2
(70)
Decompondo os vetores nas componentes d e q:
JJG
VR = VRd + j ⋅ VRq
(71)
JJG
V1 = V1d + j ⋅ V1q
(72)
JJG
V2 = V2 d + j ⋅ V2 q
(73)
T ⋅ (VRd + j ⋅ VRq ) = T1 ⋅ (V1d + j ⋅ V1q ) + T2 ⋅ (V2 d + j ⋅ V2 q )
(74)
Assim:
Igualando-se as partes reais e imaginárias:
T ⋅ VRd = T1 ⋅ V1d + T2 ⋅ V2 d
(75)
T ⋅ VRq = T1 ⋅ V1q + T2 ⋅ V2 q
(76)
De forma matricial:
⎡T ⋅ VRd ⎤ ⎡V1d
⎢T ⋅ V ⎥ = ⎢V
Rq ⎦
⎣
⎣ 1q
V2 d ⎤ ⎡ T1 ⎤
⋅
V2 q ⎥⎦ ⎢⎣T2 ⎥⎦
(77)
Assim:
1 ⎡ T1 ⎤ ⎡V1d
⋅⎢ ⎥ = ⎢
T ⎣T2 ⎦ ⎣V1q
Sejam:
−1
V2 d ⎤ ⎡VRd ⎤
⋅
V2 q ⎥⎦ ⎢⎣VRq ⎥⎦
(78)
24
T1
= t1
T
(79)
T2
= t2
T
(80)
−1
⎡ t1 ⎤ ⎡V1d
⎢t ⎥ = ⎢V
⎣ 2 ⎦ ⎣ 1q
V2 d ⎤ ⎡VRd ⎤
⋅
V2 q ⎥⎦ ⎢⎣VRq ⎥⎦
(81)
V2 d ⎤ ⎡1 0 ⎤
=
V2 q ⎥⎦ ⎢⎣ 0 1 ⎥⎦
(82)
Seja o produto matricial:
⎡ a b ⎤ ⎡V1d
⎢ c d ⎥ ⋅ ⎢V
⎣
⎦ ⎣ 1q
Assim:
⎧a ⋅ V1d + b ⋅ V1q = 1
⎪
⎪c ⋅ V1d + d ⋅ V1q = 0
⎨
⎪a ⋅ V2 d + b ⋅ V2 q = 0
⎪c ⋅ V + d ⋅ V = 1
2q
⎩ 2d
(83)
Trabalhando a expressão (83), pode-se escrever:
b ⋅ V2q = −a ⋅ V2d
(84)
a ⋅ V1d + b ⋅ V1q = 1
(85)
Desta forma:
b = −a ⋅
V2 d
V2 q
(86)
E assim, substituindo (86) em (85):
V2 d
⋅ V1q = 1
V2 q
(87)
⎛
⎞
V
a ⋅ ⎜ V1d − 2 d ⋅ V1q ⎟ = 1
⎜
⎟
V2 q
⎝
⎠
(88)
a ⋅ V1d − a ⋅
⎛ V1d ⋅ V2 q − V2 d ⋅ V1q
a ⋅⎜
⎜
V2 q
⎝
a=
⎞
⎟⎟ = 1
⎠
V2 q
(89)
(90)
V1d ⋅ V2 q − V2 d ⋅ V1q
Substituindo (90) em (86):
b=−
V2q
V1d ⋅ V2 q − V2 d ⋅ V1q
b=−
Reescrevendo a expressão (81):
⋅
V2 d
V2 q
V2 d
V1d ⋅ V2 q − V2 d ⋅ V1q
(91)
(92)
25
⎡ t1 ⎤ ⎡ a b ⎤ ⎡VRd ⎤
⎢t ⎥ = ⎢ c d ⎥ ⋅ ⎢V ⎥
⎦ ⎣ Rq ⎦
⎣ 2⎦ ⎣
(93)
t1 = a ⋅ VRd + b ⋅ VRq
(94)
Assim:
t1 =
V2 q ⋅ VRd − V2 d ⋅ VRq
(95)
V1d ⋅ V2 q − V2 d ⋅ V1q
Por um processo semelhante obtém-se o tempo t2:
t2 =
V1d ⋅ VRq − 12 q ⋅ VRd
(96)
V1d ⋅ V2 q − V2 d ⋅ V1q
Generalizando para um tempo n qualquer:
tn =
V( n +1) q ⋅ VRd − V( n +1) d ⋅ VRq
(97)
Vnd ⋅ V( n +1) q − V( n +1) d ⋅ Vnq
t( n +1) =
Vnd ⋅ VRq − 1( n +1) q ⋅ VRd
(98)
Vnd ⋅ V( n +1) q − V( n +1) d ⋅ Vnq
De acordo com o esquema apresentado na Fig. 25 pode-se afirmar:
9 VRd e VRq são gerados pelos compensadores de corrente;
9 Vnd e Vnq são as componentes do vetor Vn;
9 V(n+1)d e V(n+1)q são as componentes do vetor V (n+1);
9 Os vetores Vn e V(n+1) são os vetores adjacentes de cada quadrante.
Para uma melhor distribuição das perdas de condução empregam-se os 2 vetores nulos,
conforme apresentado na Tabela 1.
Tabela 1 – Seqüência de vetores que minimizam as perdas.
T
2
To
2
JJG
V7
T1
T2
JJG
V1
JJG
V2
To
2
JJG
V8
⎛T ⎞
Quando (T1 + T2 ) > ⎜ ⎟ o vetor desejado não pode ser sintetizado pelo conversor. Neste
⎝2⎠
caso faz-se To = 0 , ou seja, o vetor nulo é excluído da seqüência de vetores. Assim. O vetor
resultante (VR ) teria uma amplitude limitada através do escalonamento apropriado dos tempos Tn
e Tn +1 , conforme apresentado a seguir:
26
Tn'
Tn
=
T Tn + Tn +1
(99)
Tn'+1
Tn +1
=
T
Tn + Tn +1
(100)
Tn
⋅T
Tn + Tn +1
(101)
Tn +1
⋅T
Tn + Tn +1
(102)
Assim:
Tn' =
Tn'+1 =