18.06 Conjunto de Problemas n.1 – Soluções
1a)
2a)
(2 pontos) Para que os dois vetores fiquem paralelos, é preciso ter (a,4) = c(2, 5) para
uma certa constante c. Assim, precisamos de a = 2 c e de 4 = c5. Segue-se que c =
e
a= .
(2 pontos). Vamos determinar aqueles valores de a para os quais o produto escalar ,
(a,2)
.
(a, -2) = 0. Como (a, 2) . (a, -2) = a 2 – 4, temos (a, 2) . (a, – 2) = 0 se a = 2 ou
a = -2.
1c)
(2 pontos) Calculamos
Portanto,
2
quando
(6 pontos) Se desenharmos todos os vetores iniciando na origem, teremos o ponto médio
da diagonal
no ponto final do vetor
, enquanto que o ponto médio da
diagonal
está em
. Mas
Portanto, os pontos médios coincidem e as diagonais se interceptam no meio.
3a)
(2 pontos) A equação matricial é
3b)
(2 pontos) Após eliminação, temos a matriz aumentada
Portanto, o sistema terá exatamente uma solução para quaisquer valores de t, s onde t+8 ≠
0 (esta condição nos dá um conjunto completo de 2 pivôs).
3c)
(2 pontos) Considere t = -8 e deixe s ser qualquer valor diferente de –16. Então teremos
uma equação da forma 0 ⋅ y = d onde d = s +16 ≠ 0, e então não há soluções.
3d)
(2 pontos) Tomando-se t = -8 e s = 16, chegamos a 0.y = 0, o que é satisfeito por
qualquer valor de y; portanto, há uma infinidade de soluções para o sistema.
3e)
(2 pontos) Em (b) duas linhas se intersectam exatamente em um ponto. Em (c) temos
duas linhas paralelas que nunca se encontram. Em (d) temos duas equações que nos dão a
mesma linha, de modo que qualquer ponto em uma linha está automaticamente na outra.
4)
(4 pontos) FALSO. Assumindo-se
1
Então
enquanto
5)
(4 pontos) Tome-se
2