2 - VETORES
Geométricamente, vetores são representados por segmentos orientados no
plano ou no espaço.
Figura 1: Vetor
Segmentos orientados com mesma direção, mesmo sentido e mesmo
comprimento representam o mesmo vetor.
Figura 2: Vetores iguais
2.1 Direção e Sentido
Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas suportes
desses vetores são paralelas ou coincidentes.
Dois vetores opostos, que possuem a mesma direção, têm sentidos
contrários.
r
s
u
u
v
r~s
v
r//s
Figura 3a: Vetores u e v com mesma direção e mesmo sentido.
2.1 Direção e Sentido
Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas suportes
desses vetores são paralelas ou coincidentes.
Dois vetores opostos, que possuem a mesma direção, têm sentidos
contrários.
r
s
u
u
v
r~s
v
r//s
Figura 3b: Vetores u e v com mesma direção e sentidos contrários.
2.2 Vetor unitário:
2.2 Vetor unitário:
2.3 Vetores colineares:
Dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção.
2.2 Vetor unitário:
2.3 Vetores colineares:
Dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção.
2.4 Vetores coplanares:
Dois vetores u e v quaisquer são sempre coplanares.
Três vetores poderão ou não ser coplanares.
u
v
w
Figura 4a:
u, v e w são coplanares
u
v
w
Figura 4a:
u, v e w são coplanares
u
v
w
Figura 4b:
u, v e w não são coplanares
2.5 Soma de Vetores
u
2.5 Soma de Vetores
u
v
2.5 Soma de Vetores
v
u
u+v
Figura 5a: Soma de vetores
2.5 Soma de Vetores
v
u
u+v
v
u
u+v = v+u
v
Figura 5a: Soma de vetores
u
A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v.
Figura 5b: Soma de vetores
A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v.
u
Figura 5b: Soma de vetores
A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v.
v
u
Figura 5b: Soma de vetores
A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v.
v
u
w
Figura 5b: Soma de vetores
A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v.
v
w
u
u+v
Figura 5b: Soma de vetores
A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v.
v
w
u
u+v
(u+v)+w
Figura 5b: Soma de vetores
A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v.
v
u
v+w
w
Figura 5b: Soma de vetores
A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v.
v
u
v+w
w
u+(v+w)
Figura 5b: Soma de vetores
A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v.
v
u
u+v
v+w
w
(u+v)+w = u+(v+w)
Figura 5b: Soma de vetores
Propriedades:
v + (-u) = v - u
v
Figura 6: Diferença de vetores
v + (-u) = v - u
v
u
Figura 6: Diferença de vetores
v + (-u) = v - u
v
-u
u
Figura 6: Diferença de vetores
v + (-u) = v - u
v
-u
u
Figura 6: Diferença de vetores
v + (-u) = v - u
v + (-u) = v - u
-u
v
u
Figura 6: Diferença de vetores
v + (-u) = v - u
v + (-u) = v - u
-u
v
v
u
Figura 6: Diferença de vetores
u
v + (-u) = v - u
v + (-u) = v - u
-u
v
v
u
Figura 6: Diferença de vetores
v-u
u
2.6 Multiplicação por um escalar
2.6 Multiplicação por um escalar
2.6 Multiplicação por um escalar
2.6 Multiplicação por um escalar
2.6 Multiplicação por um escalar
2.6 Multiplicação por um escalar
2.6 Multiplicação por um escalar
2.6 Multiplicação por um escalar
v
Figura 7: Multiplicação de vetor por escalar
2.6 Multiplicação por um escalar
v
2v
Figura 7: Multiplicação de vetor por escalar
2.6 Multiplicação por um escalar
v
2v
-1.5v
Figura 7: Multiplicação de vetor por escalar
2.6 Multiplicação por um escalar
v
2v
-1.5v
0.5v
Figura 7: Multiplicação de vetor por escalar
2.7 Ângulo entre vetores
.
A
v
.
v
u
.
O
B
u
2.7 Ângulo entre vetores
.
A
v
.
v
u
.
O
B
u
Figura 8: Ângulo entre vetores
v
u
u
v
u
v
v
u+v
u
.
v
u
2.8 Vetores no
Figura 9: Decomposição de um vetor no plano
y
(0,1)
(1,0)
0
Figura 10: Base canônica
x
y
0
x
Figura 11: Decomposição de um
vetor no plano xy
y
.
y
0
0
x
Figura 12:
Figura 13:
x
y
3
0
. P(2,3)
2
x
y
0
x
Figura 14: Soma de vetores
y
0
x
Figura 14: Soma de vetores
y
3
1
0
2
4
x
y
4
3
1
0
2
4
6
x
y
0
x
Figura 15: Multiplicação de um vetor por um escalar
y
0
x
Figura 15: Multiplicação de um vetor por um escalar
y
3
0
2
x
y
6
3
0
2
4
x
y
3
0
2
x
y
3
-6
0
2
-9
x
y
.A
.B
O
x
Figura 16: Vetor B - A
y
.A
.B
O
x
Figura 16: Vetor B - A
y
.B
4
.
A
.D
3
C
2
.
.P
1
-2
O
.
1
3
4
x
y
.B
4
.
A
.D
3
C
2
.
.P
1
-2
O
.
1
3
4
x
.
C
.
M
.
A
.N
.
B
y
0
x
Figura 17: Vetor no plano
y
3
-4
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
Placa
y
0
Placa
x
REFERÊNCIAS
[1] GEOMETRIA ANALÍTICA; Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle.
[2] GEOMETRIA ANALÍTICA; Fabiano José dos Santos, Silvimar Fábio Ferreira.
[3] MATRIZES, VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA; Reginaldo J. Santos,
Departamento de Matemática-ICEx
Universidade Federal de Minas Gerais