- 1 -
EC1 - LAB – MEDIDAS DE
L
E
C
POR ONDA QUADRADA
P r o f : M A S S I M O A R G E N TO
C ON SI D ER A Ç ÕE S
TE Ó R I CA S
I NI CI AI S:
Imagin e mos u m circu i to c o mpos to p or uma
tensão do tipo :
possu ía u ma
como
a)
medi d a
de
I N DU TÂ N CIA:
séri e R – L , a l i me ntad o p or u m a
A . H(t), e aind a co nsideremo s que no insta nte 0 - o ind u to r
co rre nte
resi dual inicial I 0 . Mo s tra mos abai xo o ci rcuit o, b e m
o seu equ i valen te e m do mínio “S”; Va mo s det ermin ar a co rre nte n o
circuito , (Que s erá proporc i onal á tensão so bre o re sisto r). Tere mos:
Ii(t)
+
-
L
A.H(t)
W =
=
A + SL .Io
S
SL + R
K

1
W
⋅ 
+

L
S + R / L 
 S
A + SL .Io
S
que: I(S)
=
=
A
R
+
=
L ( R .Io − A )
R
;
( Io −
( Io −
VR(S)
1
A + SL .Io
⋅
;
L
S .( S + R / L )
=
S=0
AL
; e :
R
portanto poderemos escrever
=
R
+
L.I0 +
R
=
A + SL .Io
S + R / L
 AL / R
L ( R .Io − A ) / R 
1
⋅ 
+

L
S
S + R / L


A
R
-
I(S)
-
A + SL .Io
S .( SL + R )
onde : K =
S= −R / L
Antitransformando: i(t) =
i(t) =
+
A
S
R
A
+ L .Io
S
SL + R
I(S) =
I (S) =
SL
I0
A / R
S
+
− .t
A
). e L ; chamando:
R
Io − A / R
S + R / L
L
= τ tem-se:
R
A
) . e − t / τ : Equação geral da corrente num circuito R – L.
R
- 2 ANÁLISE DOS RESULTADOS OBTIDOS:
teremos a equação geral
Suponhamos ainda que
A
valor dado por : I 1 =
R
Suponhamos inicialmente Io = 0 ;
A
A
dada inicialmente por : i(t)
=
. e−t/ τ .
−
R
R
num determinado instante t 1 a corrente i(t) possua um
A
. e − t 1 / τ ; ou seja:
−
R
iv g (t)
A
It 1
Ii(t)
Ii 1
It 1
Vamos agora em seguida supor que a partir de t 1 , a tensão do gerador passe a
ser 0V ; obviamente teremos a partir deste instante a equação geral com A = 0
e com
Io
=
I 1 , ou seja: i(t)
=
I 1 .e - t / τ
.
Suponhamos ainda que num
determinado instante t 2 a corrente possua um valor I 2 = I 1 .e - t 2 / τ . Graficamente
teremos:
iv g (t)
A
It 1
It 2
It 1
It 2
Ii(t)
I1
I2
Vamos agora em seguida supor que a partir de t 2 , a tensão do gerador passe a
ser A . H(t)
A = A
; obviamente teremos a partir deste instante a equação geral com
A
A
) . e − t / τ . Acreditamos
e com Io = I 2 , ou seja: i(t) =
+ (I 2 −
R
R
- 3 -
que seja bem claro, que ao excitarmos o circuito em questão com uma onda
quadrada de período relativamente menor do que τ , após alguns ciclos teremos o
equilíbrio atingido entre um valor Máximo (IM) e um valor Mínimo (Im) de
corrente, ou seja:
iv g (t)
A
It
T
Ii(t)
IM
Im
It
Onde:
IM =
T
A
R
+
Im = IM. e
−
T
2τ
;
T
−
A
) . e 2τ
R
( Im −
⇒
−
A
(1 − e 2 τ )
R
IM.( 1 − e
−
ou ainda:
T
τ
+
Im e
−
T
2τ
e:
substituindo as equações tem-se:
T
IM =
−
A
(1 − e 2 τ )
R
IM =
+
IM. e
−
A
IM =
⋅
R
1
1+ e
−
T
2τ
.e
−
T
2τ
T
⇒
⇒
;
−
A
(1 − e 2 τ )
R
IM =
−
T
−
A
) =
(1 − e 2 τ )
R
T
2τ
T
+
−
IM. e
−
T
A 1 − e 2τ
A
1 − e 2τ
IM =
=
⋅
⋅
;
T
T
T
R
R
−
−
−
1− e τ
( 1 − e 2 τ ).( 1 + e 2 τ )
donde:
Im = IM. e
−
T
2τ
=
A
⋅
R
e
−
T
2τ
1+ e
−
T
2τ
;
Nestas condições teremos que a corrente de pico a pico I P P será dada por:
−
I P P = IM - Im
⇒
IPP =
T
τ
T
A
1 − e 2τ
⋅
T
R
−
2τ
1 + e
;
se considerarmos
a tensão
- 4 -
sobre o resistor R ,
VR(PP) = R . I
teremos um valor de tensão de pico a pico dado por:
⇒
PP
A ⋅
VR(PP) =
1 − e
1 + e
−
T
2τ
−
T
2τ
;
Denominando de
VE(PP) a
amplitude “A” da tensão de entrada do gerador , teremos:
iv g (t)
A
V E(PP)
It
T
Iv R (t)
VM
V R(PP)
Vm
It
ou seja: V R ( P P ) = V E ( PP ) ⋅
1 − e
1 + e
V R ( PP ) + V R ( PP ) . e
portanto:
e
−
T
2τ
T
Ln ( e 2 τ ) = Ln
−
T
2τ
=
2 Ln
−
T
2τ
T
2τ
= V E ( PP ) − V E ( PP ) . e
V E ( PP ) − V R ( PP )
V E ( PP ) + V R ( PP )
V E ( PP ) + V R ( PP )
⇒
V E ( PP ) − V R ( PP )
T
τ =
−
V E ( PP ) + V R ( PP )
;
como
⇒
−
T
2τ
⇒
(1 + e
VR(PP)
⇒e
e
−
T
2τ
T
2τ
2 Ln
T
2τ
) = V E ( PP ) ( 1 − e
=
V E ( PP ) + V R ( PP )
V E ( PP ) − V R ( PP )
V E ( PP ) + V R ( PP )
T
= Ln
2τ
V E ( PP ) − V R ( PP )
L
= τ ,
R
−
T
2τ
);
( V E ( PP ) + V R ( PP ) ) = V E ( PP ) − V R ( PP )
; ainda:
⇒
teremos finalmente:
V E ( PP ) − V R ( PP )
L =
−
R ⋅ T
V E ( PP ) + V R ( PP )
V E ( PP ) − V R ( PP )
- 5 -
b) me d ida de C A PAC I T Ã N C I A : I m agin e mos u m circu i to c o mpos to p or u ma séri e
R-C, ali men tad o po r uma t ensão do tipo : A . H(t), e aind a con s ide re mos que no
instant e 0 - o c apaci tor possu ía u m a ten s ã o res i dual inicia l V 0 . Mos t r a mo s
abai xo o circ uito , b em co mo
o seu equi va len te e m do mínio “S”; Vamo s
dete r minar a tens ão so bre o resist or e sob re o capa citor. Te mo s
+
-
IV R
Iv R (t)
A.H(t)
Vo
+ ++
-- - --
C
O equacionamento fornece: I(S) =
VO
A
−
S
S
1
R +
SC
Como : V R (S) = R.I(S) ⇒
= RC ⋅
ainda:
V C (S) =
V R (S)
=
V R (S)
A − VO
S + 1 / RC
A − VO
A
−
;
S
S + 1 / RC
produto RC = τ , iremos ter :
+
A
S
iv C (t)
; como
Vo
S
+ IV C
-
A − VO
=
A − VO
S
= C ⋅
;
SRC + 1
SRC + 1
SC
A − VO
SRC + 1
V C (S)
Antitransformando
v C (t) =
I(S)
-
1
SC
=
=
A − VO
RC
⋅
RC
S + 1 / RC
A
− VR ( S )
S
V C (S)
;
ou
teremos :
e denominando o
A - ( A - Vo ) e - t /
τ
Que é a Equação Geral da carga ou descarga de um Capacitor num circuito RC , onde τ é denominado de constante de tempo do circuito, e representa em
termos físicos o tempo necessário à carga , ou à descarga do capacitor.
Se fizermos o mesmo raciocínio que fizemos no circuito R – L , porém em termos
de tensão no capacitor, e ainda considerando-se uma constante de tempo τ
suficientemente grande , perceberemos que após alguns ciclos da onda quadrada
deveremos ter:
- 6 iv g (t)
A
V E(PP)
It
T
Iv C (t)
VM
V C(PP)
Vm
It
onde: VM
VM
=
A - ( A - Vm ) e - T / 2
=
A - ( A - VM e - T / 2
VM .(1 - e
-T/τ
τ
) = A . ( 1 - e
) e-T/2
-T/2τ
τ
τ
e :
Vm
⇒ VM
-
⇒
)
VM =
= VM e - T / 2
VM e - T /
A
τ
1 − e
= A
−T
1 − e
fatorando-se o denominador: VM =
1
A
1 + e
determinar Vm
tem-se:
Vm
=
e
A
−T
1 + e
pico a pico sobre o capacitor será dada por:
VC(PP)
=
A
1
1 + e
T
−
2τ
-
A
e
−
T
2τ
1 + e
T
−
2τ
−T
;
−T
portanto:
-
Ae - T / 2 ;
τ
ou ainda,
τ
substituindo-se
para
;
logo a tensão de
2τ
VC(PP)
⇒
2τ
;
2τ
2τ
−T
τ
=
VC(PP)
VM
=
A
-
Vm
1 − e
1 + e
−
T
2τ
−
T
2τ
;
Escrevendo-se “A” como sendo o valor pico a pico da tensão de entrada , em
onda quadrada ; ou seja: A = V E P P iremos ter:
- 7 -
VC(PP)
=
VEPP
1 − e
1 + e
τ
−
T
2τ
τ
=
= Ln
⇒
T
−
2τ
e-T/2 ( VE(PP) + VC(PP)) =
−
T
2τ
VE(PP) -
V E ( PP ) − V C ( PP )
V E ( PP ) + V C ( PP )
⇒
T
2 ⋅ Ln
τ
V E ( PP ) + V C ( PP )
τ
V C ( P P ) (1 + e - T / 2 ) =
⇒
VC(PP)
T
2τ
=
e-T/2
Ln
τ
=
V E ( PP ) + V C ( PP )
V E ( PP ) − V C ( PP )
;
⇒
ainda :
= RC teremos finalmente:
V E ( PP ) − V C ( PP )
T
2 R . Ln
V E ( PP ) − V C ( PP )
V E ( PP ) + V C ( PP )
; Lembrando que τ
C =
V E ( P P ) (1 - e - T / 2 ) ⇒
V E ( PP ) + V R ( PP )
V E ( PP ) − V R ( PP )
- 8 PART E EXP E R I ME NTA L :
a) MEDIDA DE I N DUT ÂNCI A : Mo nt e o circuit o a baixo, ajus tan do a freqüê ncia
do ge ra d or, e o val or da déc ada r e s is t i va d e m o d o a o b t e r
“boas formas de
onda ” , que per mi t am l ei t u ras c oe r e n t e s :
CANA L “Y ”( V E(PP) )
CANA L “X ”(V R(PP) )
Ri
L
RL
DÉCADA
RESISTIVA
Anote o valor da Resistência da década resistiva Rd . Meça então V E ( P P ) , V R ( P P )
e T conforme ilustrado abaixo:
iv g (t)
A
V E(PP)
T
It
Iv R (t)
VM
V R(PP)
Vm
It
M E D I D A D A RE S I S T E N CI A I NT E R NA D O G E RA D OR:
Se m alte rar a úl ti ma fre qüência o u te nsão do gerado r, meç a a tens ão em
“abe rto ” do ge rad or . Conec te e m se g uida a d écad a resisti va S E M NE N H U M A
ALTE R AÇÃ O DE T EN S Ã O OU F RE Q U ÊNC I A no g era dor, co mo most rado a
- 9 -
seguir, e a l te re o valo r d a mesma at é q ue a tens ão mo strada n a tela do
osciloscópi o, ca ia à met ade do valor da tens ão e m “abert o ”. O va l o r da d écad a
resisti va nest e p onto , se rá e xata m ent e igu al a o valo r da resistê ncia i nterna do
gera dor . Anot e es te Va lor Ri.
A)
B)
OSCILOSCÓPIO
Ri
Ri
OSCILOSCÓPIO
DÉCADA
RESISTIVA
M E D I D A D A RE S I S T E N CI A I NT E R NA D O I N D UTO R:
Meç a R L di ret a men te co m o Oh mi met ro; a no te o valo r R L .
CA LC UL O D A I ND U T Â N CI A: de posse dos valo res a not ados a pliq ue a fó rmula :
L =
2 Ln
R ⋅ T
V E ( PP ) + V R ( PP )
V E ( PP ) − V R ( PP )
Onde R = Ri + R L + Rd
b) MEDI DA DE CAPA CIT Â NCIA : Mo nt e o ci rcuit o a s egui r, aju s ta ndo a
freq üência do ge rado r, e o valor da décad a resisti va de mod o a obt er
formas de ond a” , qu e pe rmit am lei turas coe ren tes:
“boas
- 10 -
CANA L “Y ”( V E(PP) )
DÉCADA
RESISTIVA
CANA L “X ”(V R(PP) )
Ri
C
Anote o valor da Resistência da década resistiva Rd . Meça então V E ( P P ) , V C ( P P )
e T conforme ilustrado abaixo:
iv g (t)
A
V E(PP)
It
T
Iv C (t)
VM
V C(PP)
Vm
It
M E D I D A D A RE S I S T E N CI A I NT E R NA D O GE RA D OR: Rep i ta o p roce di ment o
já conh ecido po r oca s ião da me did a de
In dutâ ncia p ara a
medid a d a
resistê ncia i nte rna do g era dor . dete r mine o valor de Ri
M E D I D A D A RE S I S T Ê N CI A I NT E R NA D O C A PA CI TO R :
A resistênc ia in terna de u m cap acitor, é e m p aral elo c o m o mes mo, e
dificil men te pode rá s er medid a co m o Ohmi metro, po r s er prátic a m e nte
infinit a; nã o e xecut e e ntão esta medi da.
- 11 -
CA LC UL O D A C A PAC I T Â N CI A:
d e p osse d os val ores ano tado s ap lique a
fórmul a:
C =
2 R . Ln
T
V E ( PP ) + V R ( PP )
V E ( PP ) − V R ( PP )
On de R = R d + Ri
RE LAT Ó RI O
A p r e s e n t e t o d o s o s r e s u l t a d o s e f or m a s d e o n d a v e r i f i c a d os n a e xp er i ê n c i a ;
c o m e n t e e v e nt u a i s d i s c r e p â n c i a s
E XE RC Í C I O S( A p r e s e n t a r n o R e l a t ó r i o )
1)
Dad o o ci rcuit o a baixo , obs erva -se c o m o
osciloscó pio con ectad o a os
termin ais d o capa cito r, q ue a fo rma de onda da tens ão so bre o mes mo, n ão
atinge o va lor “V E ( P P ) ” apes ar de n ota rmos q ue a cons tan te d e t e mpo τ é
razoa v el men te p eque na ; e xp lique po rque .
,
CANAL “Y” ( V E(PP) )
CANAL “X” (V C(PP) )
Ri
R
C
Y
X
- 12 -
2) Dad o o ci rcuit o ab ai xo,
o nde es(t ) é a t ensã o forn eci da por u m g erad or de
onda quad ra da co m 5 V P P e c o m R i = 1 9 5Ω , p e d e-s e ap r es en tar as form a s d e
onda (Com a m plitu des, e p erí odos ) vist as no oscilosc ópio conec tad o como
abai xo mostrado , para as co ndições a s egui r:
C
(1)
Ri
(2)
L
OSCILOSCÓPIO
RL
R
A)
F =
4 KHz
e
B)
F =
40 KHz
e
chave
na posição (1);
C)
F =
600 Hz
e
chave
na posição (2);
D)
F =
7KHz
e
chave
chave
na posição (1);
na posição (2)
Dados: C = 0,1µF ; L = 15mH
; R L = 15Ω
R = 790Ω
Obs: Supor Ri = 0 quando a chave estiver na posição (1)