M ÓDULO D ISCURSIVO
2
M AT E M Á T I C A
Uma pesquisa publicada pela Organização das Nações
Unidas para a Agricultura e Alimentação mostra como a
crise global provoca o aumento do número de pessoas que
passam fome no mundo.
1
São curiosos os números. Às vezes é mais útil arredondálos do que trabalhar com seu valor “exato”. Se, por
exemplo, 2 366 pessoas assistiram a um show musical,
podemos aproximar o número à centena mais próxima e
dizer que cerca de 2 400 pessoas presenciaram o show.
Observe com atenção esta pesquisa feita pela ANCINE,
Agência Nacional do Cinema, sobre a evolução da
quantidade de salas de cinema no Brasil, devido à
concorrência, entre outros, de filmes na televisão e filmes
em DVD.
a) Aproxime os dados do gráfico à centena mais próxima
e responda: Em 2008, quantas salas de cinema estavam
localizadas em municípios com 100 000 ou menos
habitantes?
b) Usando os dados arredondados do item A, expresse,
em porcentagem, a redução do número de salas de
cinema brasileiras de 2008, em relação ao número de
salas de 1975.
Resolução
a) Em 2008, existiam aproximadamente 2300 salas
de cinema no Brasil. Delas, estão localizadas em
municípios de até 100 mil habitantes cerca de
4% . 2300 = 92 salas.
b) Em 1975, existiam aproximadamente 3300 salas
de cinemas. Em 2008, esse número caiu para aproximadamente 2300, significando uma redução
porcentual de
3300 – 2300
––––––––––– . 100% ≅ 30,3%
3300
A partir das informações dos gráficos acima, calcule:
a) O número de pessoas subnutridas na zona de Ásia e
Pacífico em 2009.
b) O número de pessoas subnutridas na zona de Ásia e
Pacífico em 2008.
Resolução
Admitindo-se que nas demais regiões e países do
mundo (não assinalados no gráfico) não existam pessoas subnutridas, tem-se:
a) O número de pessoas subnutridas na zona de Ásia
e Pacífico em 2009, em milhões, era:
1017 – 15 – 42 – 53 – 265 = 642
Respostas: a) 92 salas
b) 30,3%
OBJETIVO
21
GV (Administração) — Junho/2010
Resolução
b) O número de pessoas subnutridas na zona de Ásia
e Pacífico em 2008, também em milhões, era:
Vamos admitir que a primeira camponesa vendeu x
ovos a m kreuzers cada um e a segunda camponesa
vendeu y ovos a n kreuzers cada um. Então:
642
642
–––––––– = ––––– ⯝ 583,6
1,10
1 + 10%
3
x + y = 100
n
x
–– = ––
m y
x x
45 ⇒
–– . –– = –––
y y
20
x
3
–– = ––
y
2
⇒
⇒
x + y = 100
9
x2
––– = ––
2
4
y
⇒
x = 60
y = 40
Resposta: A primeira carregava 60 ovos e a segunda,
40 ovos.
5
a) Os irmãos Pablo, Ana e Marta tiraram uma foto juntos,
um ao lado do outro. Com uma régua, obtiveram as
alturas na foto:
Pablo: 8,1 centímetros; Ana: 6,2 centímetros; Marta:
5,7 centímetros.
A altura real de Ana é 1,24 metro. Qual é a altura real
de Pablo e de Marta?
4
b) Provavelmente, você não sabe que os cartões de crédito
ou de débito que tanto usamos são retângulos áureos,
ou seja, a razão entre seus lados é igual ao número de
No seu livro Introdução à Álgebra, Leonhard Euler
propõe um curioso e interessante problema aos leitores:
Duas camponesas juntas carregam 100 ovos para vender
em uma feira e cada uma vai cobrar seu preço por ovo.
Embora uma tivesse levado mais ovos que a outra, as duas
receberam a mesma quantia em dinheiro. Uma delas
disse, então:
— Se eu tivesse trazido o mesmo número de ovos que
você trouxe, teria recebido 15 kreuzers (antiga moeda
austríaca).
Ao que a segunda respondeu:
— Se eu tivesse trazido a quantidade de ovos que você
20
trouxe, teria recebido ––– kreuzers.
3
Releia o texto com atenção e responda:
Quantos ovos carregava cada uma?
GV (Administração) — Junho/2010
x + y = 100
n.x
15
––––– = ––––
m.y
20
–––
3
14243
Sendo a a medida da aresta do cubo, em metros,
temos:
5a2 = 31,25 ⇒ a2 = 6,25 ⇒ a = 2,5
Como o reforço especial de madeira compensada será
colocado em todas as arestas do cubo, o carpinteiro vai
utilizar 12 . 2,5 m = 30 m de reforço especial.
Assim, sendo V o preço, em reais, que ele deve vender
a caixa para obter um lucro de 20% sobre a quantia
gasta na compra dos materiais, temos:
V = 1,2 . (31,25 . 12 + 30 . 3) = 558
Resposta: O carpinteiro deve vender a caixa por
R$ 558,00
m.x=n.y
x + y = 100
14243
⇒
Resolução
20 ⇒
m . y = –––
3
14243
⇒
n . x = 15
14243
Um carpinteiro deve construir uma caixa com a forma de
um cubo, porém aberta, sem uma tampa. Vai usar
31,25 m2 de madeira, que ele compra em uma loja de
materiais de construção por R$ 12,00 o metro quadrado.
Além disso, haverá um reforço especial de madeira
compensada em todas as arestas, que lhe custará R$ 3,00
por metro. A que preço o carpinteiro deve vender a caixa
para obter um lucro de 20% sobre a quantia gasta na
compra dos materiais que usou para construir a caixa?
x + y = 100
144424443
144424443
Respostas: a) 642 milhões de pessoas
b) 583,6 milhões de pessoas
1 + 兹苵苵
5
ouro: ––––––– .
2
a
5
1 + 兹苵苵
Observe a figura e demonstre que ––– = ––––––– .
b
2
22
OBJETIVO
Resolução
colocado conseguiu 21 pares corretos; o segundo
colocado tinha dois terços dos pares corretos e o
terceiro, quatro a mais do que a metade do número de
pares corretos. Qual era o total de pares corretos de
palavras sinônimas?
a) Sendo x e y as alturas reais, em metros, de Pablo e
Marta, respectivamente, temos:
1,24
x
–––– = –––– ⇒ x = 1,62 e
6,2
8,1
Resolução
1,24
y
–––– = –––– ⇒ y = 1,14
6,2
5,7
a) Se x ∈ , então
10–1 . x ≤ 0,425
14243
⇔
10–1 . x ≥ 0,06
⇔
14243
14243
b)
x ≥ 0,06 . 10
x ≤ 0,425 . 10
⇔
x ≥ 0,6
x ≤ 4,25
⇔ x ∈ {1; 2; 3; 4}
b) Se x ∈ for o número total de pares corretos,
então:
冢
a
–––
b
冣
2
x < 31,5 ⇔
x > 24
2x
2) ––– ∈ ⇒ x é múltiplo de 3
3
a
– ––– – 1 = 0 ⇒
b
1
3) –– x + 4 ∈ ⇒ x é múltiplo de 2
2
a
a
5
1 + 兹苵苵
⇒ ––– = ––––––– , pois ––– é positivo
b
b
2
Respostas: a) A altura real de Pablo é 1,62 metro e a
de Marta é 1,14 metro.
b) Demonstração
4) De (1), (2) e (3), tem-se: x = 30
Respostas: a) {1; 2; 3; 4}
b) 30 pares
7
Extraímos uma bola da urna representada abaixo,
anotamos o seu número e a devolvemos à urna. Retiramos
uma segunda bola, anotamos o seu número e o adicionamos ao anterior. Qual é a probabilidade de que a
soma seja 4?
6
a) Determine todos os números naturais que satisfazem
simultaneamente as inequações:
10–1x ≥ 0,06 e 10–1 x ≤ 0,425
b) Os sistemas de inequações são úteis para resolver
antigos problemas como este, aproximadamente, do
ano 250:
Três estudantes receberam cada um uma mesma lista
de palavras sinônimas que deveriam ser escolhidas em
pares. Cada palavra tinha uma única palavra sinônima
correspondente. Dentro do tempo permitido, o primeiro
OBJETIVO
1
2x
–– x + 4 < ––
2
3
⇔
x > 21
⇔ x ∈ {25; 26; 27; 28; 29; 30; 31}
b2
ab
⇒ ––– – –––– – ––– = 0 ⇒
b2
b2
b2
⇒
2x
––– < 21
3
14243
a2
1)
144
4244
43
Um retângulo é áureo quando, retirando-se dele
um quadrado, obtém-se um retângulo semelhante
ao primeiro.
Assim, da semelhança dos triângulos RST e PQR,
temos:
b
a
––– = –––– ⇒ a2 – ab = b2 ⇒ a2 – ab – b2 = 0 ⇒
a–b
b
21 < x
23
GV (Administração) — Junho/2010
Resolução
Para que a soma dos dois números retirados, com
reposição da primeira bola, seja 4, devemos ter:
(1 e 3); (3 e 1) ou (2 e 2).
Portanto, a probabilidade, p, pedida é
1
1
1
1
1
1
1
p = ––– . ––– + ––– . ––– + ––– . ––– ⇔ p = –––
3
3
3
3
3
3
3
1
Resposta: –––
3
8
a) Use os dados obtidos pelo topógrafo e calcule a distância do ponto A ao barco. É conveniente traçar a altura
–––
AH do triângulo ABC.
Ao copiar da lousa uma equação polinomial de 3.o grau e
de coeficientes inteiros, Carlos escreveu errado o termo
em x e o termo que não tem fator x. Resolvendo-a, duas
das raízes que encontrou foram – i e 2. A professora já
havia adiantado que uma das raízes da equação original
era 2i.
a) Qual é a equação original?
b) Quais são as outras duas raízes da equação original?
b) Use esses mesmos dados para calcular o valor de
cos 48º. Se quiser, utilize os produtos:
88 × 94 = 8272 e 47 × 34 = 1598.
Resolução
a) Sendo AH a altura do ΔABC, em relação ao vértice
A, temos:
Resolução
Seja a equação polinomial de 3.o grau, com coeficientes
inteiros, do tipo: a . (x – α) . (x – β) . (x – γ), em que α,
β e γ são as raízes e a ≠ 0.
I) Equação obtida por Carlos:
a . (x + i) . (x – i) . (x – 2) = 0 ⇔
⇔ a . (x3 – 2x2 + x – 2) = 0
II) Equação original:
a . (x – α) . (x – 2i) .(x + 2i) = 0 ⇔
⇔ a . (x3 – αx2 + 4x – 4α) = 0
III) Como Carlos escreveu errados o termo em x e o
termo que não tem fator x, comparando (I) e (II),
temos: α = 2
a) Supondo a = 1, uma possível equação original
seria: x3 – 2x2 + 4x – 8 = 0
b) As outras duas raízes da equação original
a . (x – 2) . (x – 2i) . (x + 2i) = 0 seriam: 2 e – 2i
1) No triângulo retângulo ABH:
AH
sen 62° = –––– ⇒ AH = 50 . 0,88 = 44 m
50
2) No triângulo retângulo ACH:
44
AH
sen 70° = –––– ⇒ AC = –––– ≅ 47 m
0,94
AC
Portanto, a distância do ponto A ao barco é aproximadamente 47 m.
Respostas: a) Uma possível equação original:
x3 – 2x2 + 4x – 8 = 0
b) 2 e – 2i
b) cos 48° = cos [180° – (70° + 62°)] = – cos (70° + 62°) =
= – [cos 70° . cos 62° – sen 70° . sen 62°] =
= sen 70° . sen 62° – cos 70° . cos 62° =
= 0,94 . 0,88 – 0,34 . 0,47 =
= 0,8272 – 0,1598 ≅ 0,667
Assim: cos 48° ≅ 0,67
9
A figura ilustra as medidas que um topógrafo tomou para
calcular a distância do ponto A a um barco ancorado no
mar.
sen 62° = 0,88; cos 62° = 0,47
sen 70° = 0,94; cos 70° = 0,34
GV (Administração) — Junho/2010
Respostas: a) Aproximadamente 47 m
b) cos 48° ≅ 0,67
24
OBJETIVO
10
Os diretores de uma empresa de consultoria estimam que,
com x funcionários, o lucro mensal que pode ser obtido é
dado pela função:
冢 冣
x2
P(x) = 20 + ᐉn ––– – 0,1x mil reais.
25
Atualmente a empresa trabalha com 20 funcionários.
Use as aproximações: ᐉn 2 = 0,7; ᐉn 3 = 1,1 para
responder às questões seguintes:
a) Qual é o valor do lucro mensal da empresa?
b) Se a empresa tiver necessidade de contratar mais
10 funcionários, o lucro mensal vai aumentar ou
diminuir? Quanto?
Resolução
a) Com x = 20 funcionários, o lucro da empresa, em
milhares de reais, resulta igual a:
202
P(20) = 20 + ᐉn ––– – 0,1 . 20 =
25
( )
= 20 + ᐉn 16 – 2 = 20 + ᐉn 24 – 2 =
= 20 + 4 . ᐉn 2 – 2 = 20 + 4 . 0,7 – 2 =
= 20 + 2,8 – 2 = 20,8
No caso, o lucro é, portanto, igual a R$ 20 800,00.
b) Com x = 20 + 10 = 30 funcionários, o lucro da
empresa, em milhares de reais, resulta igual a:
302
P(30) = 20 + ᐉn ––– – 0,1 . 30 =
25
( )
= 20 + ᐉn 36 – 3 = 20 + ᐉn 22 . 32 – 3 =
= 20 + 2ᐉn 2 + 2ᐉn 3 – 3 =
= 20 + 2 . 0,7 + 2 . 1,1 – 3 =
= 20 + 1,4 + 2,2 – 3 = 20,6
O lucro mensal passará a ser, portanto, de
R$ 20 600,00. Logo, vai diminuir de
R$ 20800,00 – R$ 20600,00 = R$ 200,00.
Respostas: a) R$ 20800,00
b) diminuir em R$ 200,00
OBJETIVO
25
GV (Administração) — Junho/2010
REDAÇÃO
– A página 2 é destinada ao rascunho e não será considerada na correção da prova.
* As questões das provas do Vestibular foram elaboradas
conforme as novas regras do Acordo Ortográfico da Língua
Portuguesa, promulgado, no Brasil, pelo Decreto 6.583, em
29/09/2008. No texto escrito pelos candidatos, serão aceitos
os dois Sistemas Ortográficos em vigor.
TEXTO
“No mundo moderno, cuja legitimidade é baseada na
liberdade e igualdade de seus membros, o poder não se
manifesta abertamente como no passado. No passado, o
pertencimento à família certa e à classe social certa dava
a garantia, aceita como tal pelos dominados, de que os
privilégios eram ‘justos’ porque espelhavam a ‘superioridade natural’ dos bem-nascidos (...).
A ideologia principal do mundo moderno é a ‘meritocracia’, ou seja, a ilusão, ainda que seja uma ilusão bem
fundamentada na propaganda e na indústria cultural, de
que os privilégios modernos são ‘justos’ (...). O ponto
principal para que essa ideologia funcione é conseguir
separar o indivíduo da sociedade (...). O ‘esquecimento’
do social no individual é o que permite a celebração do
mérito individual, que em última análise justifica e legitima todo tipo de privilégio em condições modernas.”
Comentário à proposta de Redação
Além de solicitar que o candidato expusesse o próprio ponto de vista sobre as ideias defendidas por Jessé
Souza, em A Ralé Brasileira, a Banca Examinadora
determinou que, na discussão a ser feita, estivessem
explícitos aspectos relativos à meritocracia.
Caberia, primeiramente, definir meritocracia em
seu sentido original, a saber, o reconhecimento, na
forma de recompensa, fundamentado no mérito individual. Aplicando-se tal conceito ao Brasil, o candidato
poderia tecer algumas reflexões sobre a história do
País, em que os privilégios sempre refletiram a “superioridade natural” dos “bem-nascidos”. Somente há
pouco tempo conceitos como desempenho, habilidade,
esforço – entre outros –, passaram a ser lembrados.
Seria apropriado, porém, observar que tais qualidades, por estarem atreladas à igualdade de oportunidades, pouco são valorizadas. Para ilustrar essa tese,
seria interessante lembrar as ações afirmativas que
vêm sendo adotadas sobretudo no ensino superior, as
quais, se por um lado criam oportunidades para aqueles que não tiveram acesso a um ensino de qualidade,
por outro restringem o acesso dos mais qualificados.
Essa tendência se torna ainda mais visível na infinidade de funções públicas e de cargos de confiança,
criados pelo Estado, que dispensam a necessidade de
os funcionários se submeterem a concursos públicos.
Restaria às empresas privadas, sob essa óptica, a
implementação da meritocracia, pois, desde o processo
de admissão, avaliam constantemente seus empregados – quer para mantê-los no exercício de suas
funções, quer para promovê-los ou remanejá-los de
acordo com suas aptidões, sem descartar a possibilidade de demiti-los caso não correspondam às expectativas dos patrões. Em face dessas considerações, a
meritocracia poderia representar uma “ilusão”, já
que, por dar prioridade ao individual em detrimento
do social, legitima “todo tipo de privilégio em condições modernas”, afastando-se do seu significado real
para dar lugar aos bem relacionados, a parentes, a
amigos. Em síntese, continuariam a prevalecer os
mesmos critérios do passado, apenas revestidos de
outros nomes, eufemismos subordinados à demagogia
ou ao interesse de quem detém alguma forma de
poder.
(Jessé Souza, A Ralé Brasileira, 2009, p. 43)
Escreva uma redação argumentativa discutindo o texto
acima, na qual, além de seu ponto de vista sobre as ideias
defendidas pelo autor, estejam explícitos os seguintes
aspectos:
– em que consiste a meritocracia?
– por que o autor considera a meritocracia uma “ilusão”?
– de que maneira a meritocracia se manifesta na realidade brasileira?
Para avaliar a redação, serão considerados, principalmente:
• o conhecimento de fatos históricos, geográficos e da
realidade atual, necessários ao desenvolvimento do
texto;
• a correta expressão em língua portuguesa;
• a clareza, a concisão, a coesão e a coerência;
• a capacidade de argumentar.
Instruções:
– A redação deverá seguir as normas da língua escrita
culta*.
– O texto deverá ter, no mínimo, 20 e, no máximo, 30
linhas escritas.
– Textos fora desses limites não serão corrigidos, recebendo, portanto, nota zero.
– A redação deverá ser apresentada a tinta.
GV (Administração) — Junho/2010
26
OBJETIVO